Mat1-KFeA-AB-SCAN.2011
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abitur-Aufgaben im Fach Mathematik im Jahr 2011 in Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
A Freie und Hansestadt Hamburg schuichiffre Behörde für Schule und Berufsbildung _/_ Kurs-Nr. / Schüler-Nr. Schriftliche Abiturprüfung Schuljahr 2010/2011 Kernfach Mathematik - erhöhtes Anforderungsniveau Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen 3. Februar 2011, 9.00 Uhr Unterlagen für die Prüfungsteilnehmer- Haupttermin Allgemeine Arbeitshinweise • Tragen Sie bitte rechts oben auf diesem Blatt die Schulchiffre ein, die Sie im Stempel auf Ihrem Arbeitspapier finden. • Tragen Sie rechts oben auf diesem Blatt und auf Ihren Arbeitspapieren Ihre Kursnummer und Ihre Schülernummer ein, wie Sie sie auf Ihrem Namensschild finden. • Verwenden Sie auf keinen Fall Ihren "Namen und den Namen Ihrer Schule. • Kennzeichnen Sie bitte Ihre Entwurfsblätter (Kladde) und Ihre Reinschrift. Fachspezifische Arbeitshinweise • Die Arbeitszeit beträgt 300 Minuten. • Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner (nicht programmierbar und nicht grafikfahig), Formelsammlung „Das große Tafelwerk interaktiv", Cornelsen- Verlag, Rechtschreiblexikon, Operatorenliste (s. S. 2 und 3). Aufgaben • Sie erhalten zwei Aufgaben. • Überprüfen Sie an Hand der Seitenzahlen, ob Sie alle Unterlagen vollständig erhalten haben. • Bearbeiten Sie beide Aufgaben. • Vermerken Sie auf der Reinschrift, welche Aufgabe (z.B. 1.2) Sie jeweils bearbeitet haben. Matl-KFeADb-AB Seite 1 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur2011 Grundkurs Mathematik Operatoren Definitionen Beispiele Angeben, Ohne nähere Erläuterungen und Begründun- Geben Sie drei Punkte an, die in der nennen gen, ohne Lösungsweg aufzählen Ebene liegen. l Nennen Sie drei weitere Beispiele zu ... Anwenden Einen bekannten Sachverhalt oder eine Hand- Wenden Sie das in Matrix L gegebene 1-11 lungsanweisung, Formel, Vorschrift aufEle- Populationsmodel! auch auf den Be- mente ihres jeweiligen Definitionsbereichs stand B an. anwenden. Wenden Sie die Funktionsgleichung auch auf die gegebenen Zahlen an. Begründen Einen angegebenen SachverhaltaufGesetz- Begründen Sie, dass die Funktion nicht 11-111 mäßigkeiten bzw. kausale Zusammenhänge mehr als drei Wendestellen aufweisen zurückführen. Hierbei sind Regeln und ma- kann. thematische Beziehungen zu nutzen. Begründen Sie die Zurückweisung der Hypothese. Berechnen Ergebnisse von einem Ansatz ausgehend Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit l durch Rechenoperationen gewinnen des Ereignisses. Beschreiben Sachverhalt oder Verfahren in Textform unter Beschreiben Sie den Bereich möglicher 1-11 Verwendung der Fachsprache in vollständigen Ergebnisse. Sätzen darstellen (hier sind auch Einschrän- Beschreiben Sie. wie Sie dieses Problem kungen möglich: „Beschreiben Sie in Stich- lösen wollen, und führen Sie danach Worten") Ihre Lösung durch. Bestätigen Eine Aussage oder einen Sachverhalt durch Bestätigen Sie, dass die gegebene Funk- 1-11 Anwendung einfacher Mittel (rechnen scher tion eine Stammfunktion zur wie argumentativer) sichern. Ursprungsfunktion ist. Der Anspruch liegt deswegen unterhalb von Bestätigen Sie die Parallelität der beiden „Zeigen" oder „Beweisen". Ebenen. Bestätigen Sie, dass in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit unter 0,1 liegt. Bestimmen, Einen Lösungsweg darstellen und das Ergeb- Ermitteln Sie grafisch den Schnittpunkt. ermitteln nis formulieren (die Wahl der Mittel kann Bestimmen Sie aus diesen Werten die 11-111 unter Umständen eingeschränkt sein) Koordinaten der beiden Punkte. Beurteilen Zu einem Sachverhalt ein selbstständiges Beurteilen Sie, welche der beiden vor- III Urteil unter Verwendung von Fachwissen und geschlagenen modellierenden Funktio- Fachmethoden formulieren nen das ursprüngliche Problem besser darstellt. Beweisen, Beweisführung im mathematischen Sinne Beweisen Sie. dass die Gerade auf sich widerlegen unter Verwendung von bekannten mathemati- selbst abgebildet wird. III sehen Sätzen, logischer Schlüsse und Aquivalenzumformungen, ggf. unter Verwen- düng von Gegenbeispielen Entscheiden Bei Alternativen sich begründet und eindeutig Entscheiden Sie, für welchen der beiden u auf eine Möglichkeit festlegen Beobachter der Aufschlagpunkt näher ist. Entscheiden Sie, welche der Ihnen be- kannten Verteilungen auf die Problem- Stellung passt. Matl-KFeADb-AB Seite 2 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur2011 Grundkurs Mathematik Operatoren Definitionen Beispiele Ergänzen, Tabellen, Ausdrücke oder Aussagen nach Ergänzen Sie die Tabelle der Funkti- vervollständigen bereits vorliegenden Kriterien, Formeln oder onswerte. l Mustern füllen. Vervollständigen Sie die Zeichnung mit den in der Aufgabestellung gegebenen Punkten. Erstellen Einen Sachverhalt in übersichtlicher, meist Erstellen Sie eine Wertetabelle für die l fachlich üblicher oder vorgegebener Form Funktion. darstellen Herleiten Die Entstehung oder Ableitung eines gegebe- Leiten Sie die gegebene Formel flir die Il nen oder beschriebenen Sachverhalts oder Stammfunktion her. einer Gleichung aus anderen oder aus allge- meineren Sachverhalten darstellen (Re-) Die Ergebnisse einer mathematischen Uberle- Interpretieren Sie: Was bedeutet Ihre Interpretieren gung rückübersetzen auf das ursprüngliche Lösung für die ursprüngliche Frage? 11-111 Problem Skizzieren Die wesentlichen Eigenschaften eines Objek- Skizzieren Sie die gegenseitige Lage der 1-11 tes grafisch darstellen (auch Freihandskizze drei Körper. möglich) Untersuchen Sachverhalte nach bestimmten, fachlich übli- Untersuchen Sie die Funktion ... Il chen bzw. sinnvollen Kriterien darstellen Untersuchen Sie, ob die Verbindungs- kurve ohne Knick in die Gerade ein- mündet. Vergleichen Nach vorgegebenen oder selbst gewählten Vergleichen Sie die beiden Vorschläge 11-111 Gesichtspunkten Gemeinsamkeiten, Ahnlich- ... nach der von den Kurven einge- keiten und Unterschiede ermitteln und darstel- schlossenen Fläche. len Zeichnen, Eine hinreichend exakte grafische Darstellung Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. grafisch anfertigen Stellen Sie die Punkte und Geraden im darstellen Koordinatensystem mit den gegebenen 1-11 Achsen dar. Zeigen, Eine Aussage, einen Sachverhalt nach gülti- Zeigen Sie, dass das betrachtete Viereck nachweisen gen Schlussregeln, Berechnungen, ein Drachenviereck ist. 11-111 Herleitungen oder logischen Begründungen bestätigen Zuordnen Ohne tiefer gehende Erläuterung eine Verbin- Ordnen Sie die Graphen den gegebenen 1-11 düng zwischen zwei Listen herstellen Gleichungen zu. Matl-KFeADb-AB.doc Seite 3 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur2011 Mathematik - Kurs auf erhöhtem Niveau Analysis 1 1.1 Keramik Ein Unternehmen produziert u. a. bunte Keramik- Anzahl der Erfahrungswerte für becher, die in Kartons zu je 100 Bechern verkauft lOOer-Kartons die Gesamtkosten in € werden. Es werden aber auch kleinere Einheiten 0 750 — sogar Einzelstücke — verkauft. l 1190 Pro Tag können Becher für maximal 8 Kartons 2 1330 produziert werden. 3 1390 Erfahrungswerte über die anfallenden Gesamt- 4 1580 kosten für Mengen bis zu 5 Kartonfüllungen 5 1920 können der nebenstehenden Tabelle entnommen werden. Die Becher werden für 530 € je Karton an den Großhandel weitergegeben. Im Kleinverkauf sind die Becher aus Werbegründen nicht teurer (5,30 €/Stück). Zur Kalkulation hat die Planungsabteilung der Firma eine Gesamtkostenfunktion K entwickelt mit K{x) = 25x3 - 200jr + 600x + 750 (x ist die Anzahl der l OOer-Kartons). Der Graph dieser Funktion ist in der Anlage dargestellt. Gehen Sie davon aus, dass es gelingt, alle produzierten Becher zu verkaufen. a) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion K die gegebenen Tabellenwerte in guter Näherung erfasst. Darunter soll zu verstehen sein, dass die jeweiligen Abweichungen nicht mehr als 3 % der Erfahrungswerte betragen. (10P) b) • Ermitteln Sie grafisch denjenigen Produktionsbereich, für den mit Gewinn gearbeitet wird. • Bestimmen Sie rechnerisch die Höhe des maximal erreichbaren Gewinns. (25P) c) Die Firmenleitung möchte durch eine vorübergehende Preissenkung neue Marktanteile erobern. Daher soll kalkuliert werden, wie weit der Verkaufspreis vorübergehend gesenkt werden könnte, so dass die variablen Kosten K„ noch gerade eben gedeckt werden. Diesen Preis bezeichnet man als kurzfristige Preisuntergrenze. • Zeichnen Sie den Graphen von K in die Abbildung ein. • Ermitteln Sie zeichnerisch den Graphen derjenigen Erlösgeraden (genannt E^ ) mit dem geringstmöglichen Preis, der die variablen Gesamtkosten für eine spezielle Produktionsmenge gerade eben noch deckt. • Bestimmen Sie einen Schätzwert für den Verkaufspreis, den Sie aus dieser Grafik als kurzfristige Preisuntergrenze entnehmen können. (20P) Matl-KFeAH-AB.doc - Seite 1 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermln Abitur2011 Mathematik - Kurs auf erhöhtem Niveau d) Wir betrachten die variablen Stückkosten. • Geben Sie die Gleichung für die Funktion der variablen Stückkosten ky begründet an. Berechnen Sie'dann das Minimum der variablen Stückkosten. Hinweis: A-,,(x) = 25x2 - 200x + 600. • Vergleichen Sie die Ergebnisse der Aufgabenstellungen c) 3. Punkt und d) l. Punkt und begründen Sie ohne Rechnung, warum Sie dieselben Ergebnisse erhalten müssen. (20P) Das Konzept der Preispolitik ist aufgegangen: Durch eine vorübergehende Preissenkung wurde die Nachfrage nach den Keramikbechern deutlich erhöht. Die Firmenleitung beschließt daher, ab sofort Becher für 6 große l OOer-Kartons pro Tag zu produzieren. Es entstehen dafür Gesamtkosten von 29106. Die Firmenleitung geht davon aus, wieder für den ursprünglichen Preis von 530 € verkaufen zu können. e) Die Planungsabteilung stellt fest, dass die bisher verwendete kubische Kostenfunktion K im betrachteten Produktionsbereich viel zu kleine Werte liefert. Die Planer vermuten daher, dass die Gesamtkosten ab einer Produktionsmenge von 5 Kartons nicht nur kubisch, sondern sogar exponentiell steigen. Sie wählen nun den Ansatz K,^,(x') = a • e . Bestimmen Sie mithilfe der Erfahrungswerte (5|1 920) und (6|2 910) die Parametergrößen a und b. (15P) Gehen Sie im Folgenden von K,,, (x) == 240 • e0-4"" für x > 5 aus. f) Die Planer sollen die Firmenleitung beraten, ob eine Produktionsausweitung auf 6 oder mehr lOOer-Kartons sinnvoll ist. Beurteilen Sie, welchen Rat die Planer der Firmenleitung geben sollten, wenn sie ihre Modellfunktion Ky zur Entscheidung heranziehen. (10P) •Matl-KFeAH-AB.doc Seite 2 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur2011 Mathematik - Kurs auf erhöhtem Niveau Anlage zur Aufgabe „Keramik" p >0 )6( >4C >2C iOC ^8( 10 -6C •4C •2C •oc l8C >6C 4C >2C »oc ;8C ;6C 4C 2C oc _^ T 8C ^ M. 6C y^ 4C 2C ^- /\ 0 8C 7[ 6C 4C
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung . Haupttermin Abitur2011 Mathematik - Kurs auf erhöhtem Niveau Analysis 2 1.2 Pelzkrankheit bei Schafen In einem großen Schafzuchtbetrieb wird eine Herde von 1000 jungen Schafen zur Produktion von Wolle gehalten. Eine Geburten- oder Ster- berate kann bei diesen Tieren wäh- rend des im Folgenden betrachteten . . • Zeitraums vernachlässigt werden. An einem bestimmten Tag stellt der - Züchter fest, dass 50 Schafe unter der so genannten Pelzkrankheit lei- den (dieser Tag wird als Tag 0 be- . zeichnet). Die Krankheit äußert sich durch lästigen Juckreiz. Außerdem kann sie langfristig die Qualität der Wolle beeinträchtigen. Sie ist zwar nicht lebensbedrohlich für die Schafe, doch der Heilungsprozess dauert einige Monate. Leider ist die Pelzkrankheit für die Schafe ansteckend. Der Züchter weiß aus Erfahrung, dass die Anzahl der erkrankten Tiere sich näherungsweise mithilfe einer Funktion B mit B(t) = G-g- e beschreiben lässt. a) • Bestätigen Sie, dass in diesem Zusammenhang G = 1000 zu.wählen ist. • Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms g • e im Sachkontext. • Begründen Sie, dass hier g = 950 anzusetzen ist, • Interpretieren Sie die Bedeutung und den Einfluss des Parameters k im Sachkontext. (20P) Am nächsten Tag, genannt Tag l, zählt der Züchter 87 h-anke Tiere. b) Auf Grundlage dieser Zahlung soll eine Hochrechnung für den Parameter k durchgeführt werden. Bestimmen Sie k auf vier "Nachkommastellen genau. (5P) Der Züchter sieht sich auch bei Zahlungen an den nächsten Tagen im Wesentlichen bestätigt, er arbeitet nun für Prognosen mit der Bestandsfunktion B(t) = 1000 - 950 • e~°' . c) Angenommen, es würden keine Maßnahmen gegen die Krankheit unternommen: • Berechnen Sie die Anzahl kranker Tiere am Tag 10 gemäß dem Model.!. • Bestimmen Sie gemäß dem Modell, nach wie vielen Tagen 50 % der Tiere von der Krankheit befallen sind. • Skizzieren Sie den Graphen von B in das Koordinatensystem in der Anlage, (l 5P) Mat1-KFeA12-AB.doc Seite 1 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur2011 Mathematik- Kurs auf erhöhtem Niveau Natürlich ergreift der Züchter Maßnahmen: Er mischt ein Medikament ins Trinkwasser für alle Tiere. Er rechnet damit, dass ab dem Tag 6 ein Gesundungsprozess eintritt. Um den Einfluss des Medikaments abschätzen zu können, geben Fachleute dem Züchter den Ansatz für eine neue Bestandsfunktion M. nach Medikamentengabe an die Hand, die wiederum den Bestand der kranken Tiere beschreiben soll und ab dem Tag 6 Gültigkeit haben soll: M^a-eb^-c-^=a-eb-^-e-c-(t-^ für a,b,c>0. Der Parameter b beschreibt im neuen FunktionsansatzMdie Ansteckungsrate der Krankheit, der Parameter c misst die Stärke der Heilungswirkung des Medikaments. d) • Bestätigen Sie, dass M(6) = a gilt, geben Sie die Bedeutung der Größe a im Sachkontext an und bestimmen Sie einen passenden Zahlenwert für a. • Begründen Sie, warum sich nach dieser Modellfunktion der Einfluss des Medikamentes gegenüber dem Ansteckungsvorgang durchsetzen wird. (15P) Für dieses Medikament setzen die Fachleute einen Wert von c = 0,012 an. Nehmen Sie außerdem an, dass der Wert der Ansteckungsrate b = 0,08 beträgt. Arbeiten Sie im Folgenden mit der neuen Bestandsfunktion M mit M (t) = 253. eo.o8('-6>-°.012('-6>- weiter. e) Bestätigen Sie: Die Anderungsrate des Bestands kranker Tiere wird ab t = 6 gemäß dem neuen Modell durch m(0=(20,24-6,072-^-6)).eo'08'('-6)-o'012'(/-6)2 beschrieben. (10P) t) • Ermitteln Sie den Anstieg der Krankheitsfälle an der Stelle t = 6, der sich jeweils ftir die Funktion B und für die Funktion M ergibt. • Interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachkontext. . (1'5P) Legen Sie auch bei der nachfolgenden Teilaufgabe das Modell mit der Funktion M zugrunde. g) • Bestimmen Sie den größten Bestand kranker Tiere und den zugehörigen Tag. • Ermitteln Sie den Tag, an dem der Bestand kranker Tiere unter l % sinkt. • Skizzieren Sie den Graphen von Min das Koordinatensystem in der Anlage, indem Sie die oben ermittelten Informationen heranziehen und zwei weitere sinnvolle Punkte berechnen. (20P) Mat1-KFeA12.AB.doc Seite 2 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur 2011 Mathematik - Kurs auf erhöhtem Niveau Anlage zur Aufgabe „Schafe" t3Ei 1 l -1 5- -2 3- )- -40-)- -5 )- -6 3- -7 )- -8 ) 0
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur2011 Mathematik - Kurs auf erhöhtem Niveau LA/AG1 11.1 Konzerthalle Für das Musical „Tarzan" wird in einer mu- | sikbegeisterten Stadt eine neue Veranstal- | tungshalle gebaut. In der Planungsphase | müssen sowohl das Bühnenbild als auch die. technischen Abläufe des Musicals überdacht werden. In dieser Aufgabe werden einige i Aspekte dieser Planung betrachtet: ' ^ • • . Der Bühnenbereich liegt in der Xi-^-Ebene i und wird begrenzt durch eine vordere Kante bei Xi = 10 (siehe Anlage). Das Dach hat die • ! Form einesTrapezes mit den Eckpunkten. i A(SO\-\0\ 15), 5(80|70| l 5), C(0|60| 10) und D(0|0| 10). Alle Zahlenangaben beziehen sich auf die Einheit Meter. a) Zeichnen Sie das Dach (Punkte A, B, C, D) in das Koordinatensystem in der Anlage ein. (10P) b) • Bestimmen Sie eine Ebenengleichung für die Ebene, in der das Dach liegt [die Decke des Theaters aales], indem Sie drei der vier Punkte heranziehen. • Bestätigen Sie rechnerisch, dass auch der vierte Punkt in dieser Ebene liegt. (15P). Bei diesem Musical werden einige Szenen auch oberhalb der Zuschauer gespielt. Dabei bewegen sich die Schauspieler an Seilen, die an Schienen hängen. Für diese Schienen wird vereinfacht die Breite Null angenommen, so dass sie sich als Strecken (Teile von Geraden) beschreiben lassen. Für zwei dieser Schienen, d'ie mit g und h bezeichnet werden, sind Parameterdarstellungen bekannt: '40' -32' ; x ~ 0 +t- 29 mit ?e[0;l]' 12,5 -2 f 40) -16 h:x= 143,51 +s 0 mit se[0;2]. [l2,5j _1 Diese beiden Schienen sind in die Dachebene eingelassen. c) Weisen Sie für die durch g beschriebene Schiene nach, dass g Teil der Ebene ist, in der das Dach liegt. Skizzieren Sie diese Schiene in das Koordinatensystem (Anlage). [Falls in Teilaufgabe b) keine Ebenengleichnng bestimmt wurde, kann die Ebenengleichung '40 40 '40' E:x.= 30 +p- -40 +9- 30 mit p, q eK. genutzt werden.} (25P) 12,5 2,5 2,5, Mat1-KFeA21-AB.doc Seite 1 von 3