Mat1-KFgA-AB-SCAN.2011
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abitur-Aufgaben im Fach Mathematik im Jahr 2011 in Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
A -a. Freie und Hansestadt Hamburg schuichiffre Behörde für Schule und Berufsbildung _/_ Kurs-Nr. / Schüler-Nr. Schriftliche Abiturprüfung Schuljahr 2010/2011 Kernfach Mathematik - grundlegendes Anforderungsniveau Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen 3. Februar 2011, 9.00 Uhr Unterlagen für die Prüfungsteilnehmer- Haupttermin Allgemeine Arbeitshinweise • Tragen Sie bitte rechts oben auf diesem Blatt die Schulchiffre ein, die Sie im Stempel auf Ihrem Arbeitspapier finden. • Tragen Sie rechts oben auf diesem Blatt und auf Ihren Arbeitspapieren Ihre Kursnummer und Ihre Schülernummer ein, wie Sie sie auf Ihrem "Namensschild finden. • Verwenden Sie auf keinen Fall Ihren Namen und den Namen Ihrer Schule. • Kennzeichnen Sie bitte Ihre Entwurfsblätter (Kladde) und Ihre Reinschrift. Fachspezifische Arbeitshinweise • Die Arbeitszeit beträgt 240 Minuten. • Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner (nicht programmierbar und nicht grafikfahig), Formelsammlung „Das große Tafelwerk interaktiv", Cornelsen-Verlag, Rechtschreiblexikon, Operatorenliste (s. S. 2 und 3). Aufgaben • Sie erhalten zwei Aufgaben. • Überprüfen Sie an Hand der Seitenzahlen, ob Sie alle Unterlagen vollständig erhalten haben. • Bearbeiten Sie beide Aufgaben. • Vermerken Sie auf der Reinschrift, welche Aufgabe (z.B. 1.2) Sie jeweils bearbeitet haben. Matl-KFgADb-AB Seite 1 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur 2011 Grundkurs Mathematik Operatoren Definitionen Beispiele Angeben, Ohne nähere Erläuterungen und Begründun- Geben Sie drei Punkte an, die in der nennen gen, ohne Lösungsweg aufzählen Ebene liegen. l Nennen Sie drei weitere Beispiele zu ... Anwenden Einen bekannten Sachverhalt oder eine Hand- Wenden Sie das in Matrix L gegebene 1-11 lungsanweisung, Formel, Vorschrift auf Ele- Populationsmodell auch auf den Be- mente ihres jeweiligen Definitionsbereichs stand B an. anwenden. Wenden Sie die Funktionsgleichung auch auf die gegebenen Zahlen an. Begründen Einen angegebenen Sach verhalt auf Gesetz- Begründen Sie, dass die Funktion nicht 11-111 mäßigkeiten bzw. kausale Zusammenhänge mehr als drei Wendestellen aufweisen zurückfuhren. Hierbei sind Regeln und ma- kann. thematische Beziehungen zu nutzen. Begründen Sie die Zurückweisung der Hypothese. Berechnen Ergebnisse von einem Ansatz ausgehend Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit l durch Rechenoperationen gewinnen des Ereignisses. Beschreiben Sachverhalt oder Verfahren in Textform unter Beschreiben Sie den Bereich möglicher 1-11 Verwendung der Fachsprache in vollständigen Ergebnisse. Sätzen darstellen (hier sind auch Einschrän- Beschreiben Sie, wie Sie dieses Problem klingen möglich: „Beschreiben Sie in Stich- lösen wollen, und führen Sie danach warten") Ihre Lösung durch. Bestätigen Eine Aussage oder einen Sachverhalt durch Bestätigen Sie, dass die gegebene Funk- 1-11 Anwendung einfacher Mittel (rechnerischer tion eine Stammfunktion zur wie argumentativer) sichern. Ursprungsfunktion ist. Der Anspruch liegt deswegen unterhalb von Bestätigen Sie die Parallelität der beiden „Zeigen" oder „Beweisen". Ebenen. Bestätigen Sie, dass in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit unter 0,1 liegt. Bestimmen, Einen Lösungsweg darstellen und das Ergeb- Ermitteln Sie grafisch den Schnittpunkt. ermitteln nis formulieren (die Wahl der Mittel kann Bestimmen Sie aus diesen Werten die 11-111 unter Umständen eingeschränkt sein) Koordinaten der beiden Punkte. Beurteilen Zu einem Sachverhalt ein selbstständiges Beurteilen Sie, welche der beiden vor- III Urteil unter Verwendung von Fachwissen und geschlagenen modellierenden Funktio- Fachmethoden formulieren nen das ursprüngliche Problem besser darstellt. Beweisen, Beweisführung im mathematischen Sinne Beweisen Sie, dass die Gerade auf sich widerlegen unter Verwendung von bekannten mathemati- selbst abgebildet wird. III sehen Sätzen, logischer Schlüsse und Aquivalenzumformungen, ggf. unter Verwen- düng von Gegenbeispielen Entscheiden Bei Alternativen sich begründet und eindeutig Entscheiden Sie, für welchen der beiden Il auf eine Möglichkeit festlegen Beobachter der Aufschlagpunkt näher ist. Entscheiden Sie, welche der Ihnen be- kannten Verteilungen auf die Problem- Stellung passt. Matl-KFgADb-AB Seite 2 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur2011 Grundkurs Mathematik Operatoren Definitionen Beispiele Ergänzen, Tabellen, Ausdrücke oder Aussagen nach Ergänzen Sie die Tabelle der Funkti- vervollständigen bereits vorliegenden Kriterien, Formeln oder auswerte. l Mustern füllen. Vervollständigen Sie die Zeichnung mit den in der Aufgabestellung gegebenen Punkten. Erstellen Einen Sachverhalt in übersichtlicher, meist Erstellen Sie eine Wertetabelle für die l fachlich üblicher oder vorgegebener Form Funktion. darstellen Herleiten Die Entstehung oder Ableitung eines gegebe- Leiten Sie die gegebene Formel für die Il nen oder beschriebenen Sachverhalts oder Stammfunktion her. einer Gleichung aus anderen oder aus allge- meineren Sachverhalten darstellen (Re-) Die Ergebnisse einer mathematischen Uberle- Interpretieren Sie: Was bedeutet Ihre Interpretieren gung rückübersetzen auf das ursprüngliche Lösung für die ursprüngliche Frage? 11-111 Problem Skizzieren Die wesentlichen Eigenschaften eines Objek- Skizzieren Sie die gegenseitige Lage der 1-11 tes grafisch darstellen (auch Freihandskizze drei Körper. möglich) Untersuchen Sachverhalte nach bestimmten, fachlich übli- Untersuchen Sie die Funktion ... Il chen bzw. sinnvollen Kriterien darstellen Untersuchen Sie, ob die Verbindungs- kurve ohne Knick in die Gerade ein- mündet. Vergleichen Nach vorgegebenen oder selbst gewählten Vergleichen Sie die beiden Vorschläge 11-111 Gesichtspunkten Gemeinsamkeiten, Ahnlich- ... nach der von den Kurven einge- keiten und Unterschiede ermitteln und darstel- schlossenen Fläche. len Zeichnen, Eine hinreichend exakte grafische Darstellung Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. grafisch anfertigen Stellen Sie die Punkte und Geraden im darstellen Koordinatensystem mit den gegebenen 1-11 Achsen dar. Zeigen, Eine Aussage, einen Sachverhalt nach gülti- Zeigen Sie, dass das betrachtete Viereck nachweisen gen Schlussregeln, Berechnungen, ein Drachenviereck ist. 11-111 Herleitungen oder logischen Begründungen bestätigen Zuordnen Ohne tiefer gehende Erläuterung eine Verbin- Ordnen Sie die Graphen den gegebenen 1-11 düng zwischen zwei Listen herstellen Gleichungen zu. Matl-KFgADb-AB.doc Seite 3 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitui-2011 IVIathematik - Kurs auf grundlegendem Niveau Analysis 1 1.1 Netböok-Vermarktung Der Computerladen AI KON produziert und vermarktet Netbooks. Es wird davon ausgegan- ; gen, dass die gesamte tägliche Produktion abge- setzt wird. Die täglichen Gesamtkosten in Euro für die Produktion hängen von der Anzahl x der produzierten Netbooks ab und werden durch ;' eine Kostenfunktion K beschrieben. Zur Kostenentwicklung sind den Produktions- planem die folgenden Daten bekannt: Anzahl x der produzierten Netbooks pro Tag 0 80 150 Gesamtkosten K in Euro pro Tag 12450 32850 38 100 Darüber hinaus haben die Produktionsplaner die Information, dass bei einer Produktion von 80 Netbooks die Grenzkosten K' 47 Euro pro Stück betragen, das heißt A"(80) = 47 . a) • Bestätigen Sie, dass A:(x) = 0,02x3 -5,8x2 +591A-+12450 bei den gegebenen Informationen die Gleichung einer .passenden Kostenfunktion darstellt. • Beschreiben Sie die inhaltliche Bedeutung von K (80). (15P) Die Produktionsplaner betrachten die Kostenentwicklung bei Erhöhung der Produktion genauer. b) • Bestimmen Sie die Produktionsmenge, bei der die Grenzkosten minimal sind, und markieren Sie den zugehörigen Punkt auf dem Graphen in der Anlage. • Bestimmen Sie die Höhe der minimalen Grenzkosten. • Interpretieren Sie die Bedeutung der minimalen Grenzkosten im Sachkontext. (20P) Das Computerunternehmen verkauft dieNetbooks zu einem Preis von jeweils 599 Büro. c) • Geben Sie die Gleichung der Erlösfunktion E an und zeichnen Sie den Graphen von E in das Koordinatensystem in der Anlage. • Bestätigen Sie die Gleichung der Gewinnfunktion G mit G(x)=-0,02^3+5,8x2+8x-12450. (15P) d) • Bestätigen Sie, dass das Unternehmen mit Gewinn produziert, wenn mindestens 51 und höchstens 283 Netbooks hergestellt werden. • Bestimmen Sie die Produktionsmenge, bei der maximaler Gewinn erwirtschaftet wird. (25P) Mal-KFgAH-AB Seite 1 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur2011 Mathematik-Kurs auf grundlegendem Niveau In der Zwischenzeit ist es zu einem Uberangebot auf dem Netbookmarkt gekommen. Die Konkurrenz versucht, die Firma AIKON vom Markt zu drängen. Sie bietet dazu qualitativ gleichwertige Netbooks zu einem Preis von 300 € an. Die Geschäftsleitung der Firma AIKON beschließt, ebenfalls den Preis deutlich zu senken. Sie schlägt hierzu vor, das Minimum der Stückkosten k mit A-(x) == "v"/ zu x bestimmen. e) • Weisen Sie nur unter der Verwendung der ersten Ableitung von k nach, dass die tägliche Produktionsmenge, bei der die Stückkosten k am geringsten sind, in guter Näherung bei 158 Netbooks erreicht wird. • Ermitteln Sie, welchen Verkaufspreis das Computerunternehmen für ein Netbook mindestens verlangen muss, wenn die produzierten 158 Netbooks verlustfrei verkauft werden sollen. • Begründen Sie, warum sich AIK.ON wegen seiner Konkurrenten derzeit noch keine ernsthaften Sorgen machen muss. (25P) Mal-KFgAH-AB Seite 2 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermln Abitur2011 Mathematik- Kurs auf grundlegendem Niveau Anlage zum Aufgabenteil b) und c) ;.St';«%SKS^SS;SS''i;¥^%SKSa?B^E%*S%^ 100 120 140 160 220 240 260 280 300 Mal-KFgAH-AB Seite 3 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg AllgemeinbHdende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur2011 Mathematik-Kurs auf grundlegendem Niveau Analysis 2 1.2 Erlöserkirche Die Eriöserkirche in Hamburg-Farmsen '(siehe Foto) ist architektonisch unter dem Gesichtspunkt interessant, dass sie an vielen Stellen die Formen von Parabeln als gestalterische Merkmale auf- nimmt. Die vordere Fläche unter dem parabelförmigen Dach wird im Folgenden als Fassade bezeichnet' (siehe Foto). In dem unten abgebildeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter. Die mittlere Parabel / beschreibt die Begrenzung der Fassade. Sie ist am Boden 15 Meter breit. Die obere Parabel f beschreibt die äußere Dachlinie auf der Rückseite der Kirche oberhalb der Fensterelemente (siehe Foto). Ihr Scheitelpunkt ist l m höher als der Scheitelpunkt der Fassaden- begrenzung, f(x) fo g2 '\ /^ gs 8 15m 7,5 Mat1-KFgA12-AB.doc Seite 1 von 2
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur2011 Mathematik- Kurs auf grundlegendem Niveau a) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass die Funktionsgleichung für die mittlere Parabel folgendermaßen lautet: f,„ (x) == -0,32x" +18. . Entnehmen Sie die erforderlichen Daten dem Text und dem umseitigen Koordinatensystem. (10P) b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von / und berechnen Sie den Gesamtflächeninhalt der abgebildeten Fassade. . Q5P) Die weiße Fläche in der Fassade ist symmetrisch aufgebaut und wird durch zwei Parabelbögen und zwei Geradenstücke begrenzt. Die untere Parabel wird hinreichend genau durch die Funktionsgleichung f (x) = ~0,227'x +12,784 beschrieben. Der relevante Parabel bogen von / beginnt im Punkt Pi(3,5| 10) und endet im Punkt ?2(-3,5|10). Die Gerade g-, geht durch den Punkt P\ und schneidet die x-Achse im negativen Bereich in einer Nullstel- le sowohl der mittleren als auch der unteren Parabel. c) • Bestimmen Sie durch Rechnung die Gleichung der Geraden g^. (Kontrollergebnis: g, (x) = —x + -—) • Ermitteln Sie die Gleichung der zweiten Geraden ^ . (15P) d) Berechnen Sie die Schnittpunkte von f und g^ und geben Sie auch die Schnittpunkte von /„ und g,an. • (20P) {Kontrollergebnis für einen Schnittpimkt von f und g^: P(4,659|l 1,054)) e) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der weißen Fläche in der Fassade. (20P) Zwischen der mittleren Parabel / und der oberen Parabel /„ sind Fensterelemente eingebaut, durch die Licht in das Innere der Kirche fällt. Es gilt in hinreichender Näherung: /„ (x) = -0,263 -x +19. Die Befestigung der Fensterelemente erfolgt an den parabelförmigen Dachlinien und an geraden Metallstreben, die rechtwinklig auf der mittleren Parabel angebracht sind. Eine dieser Streben geht vom Punkt (5|10) der mittleren Parabel aus und verläuft auf der Geraden gg , 5 135 deren Gleichung g„ (x) =— • x + —— lautet. 16 16 f) • Die Gerade g<; und die Parabel/^„ schneiden sich im Punkt (5| 10). Zeigen Sie, dass gg und die Tangente an f^ in (5110) senkrecht zueinander stehen. • Berechnen Sie den Punkt, in dem die Gerade gs auf /„ trifft, und bestimmen Sie die Länge der Strebe. (20P) Mat1-KFgA12.AB.doc Seite 2 von 2
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur2011 Mathemat|k^K^ LA/AG1 11.1 Solarturmkraftwerk 1982 wurde „Solar One", ein Sonnenkraftwerk nach dem Turmprinzip, in Barstow (Kalifornien) in Betrieb genommen. Kraftwerke nach dem Turmprinzip nutzen flache Spie- gel (sogenannte Heliostaten), um Sonnenlicht auf einen Turm in der Mitte zu konzentrieren. Dort entsteht auf- grund der hohen Temperatur Wasserdampf, welcher zur Stromerzeugung genutzt wird. Die Spiegel sind schwenkbar gelagert, so dass die Spie- gelflächen dem Stand der Sonne entsprechend ausge- richtet werden können. Sonnenlicht Solarturm Ein Koordinatensystem sei so angelegt, .dass der mit Absorber Mittelpunkt des Spiegels l die Koordinaten Mi(-10|-20|0)hat. Eine Einheit entspricht 1 m in der Realität. Heliostaten Zu einem bestimmten Zeitpunkt werden die Son- nenstrahlen, die auf den Mittelpunkt von Spiegel l (53} Spiegel l Spiegel 2 Spiegel 3 treffen, mit dem Richtungsvektor 46 reflektiert. {45} An Spiegel .2 werden die Sonnenstrahlen im Mittelpunkt dieses Spiegels so reflektiert, dass die reflek- 24 tierten Strahlen durch die Gerade h: x = -10 +t' 20,5 ,te K, beschrieben werden können. 10 J 22,5 a) • Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, welche die im Mittelpunkt des Spiegels l reflektierten Strahlen beschreibt. • Bestätigen Sie, dass die in den jeweiligen Mittelpunkten der beiden Spiegel reflektierten Strahlen auf den Punkt T( 96 | 72 | 90) des Turmes treffen. (20P) Im Folgenden wird ein dritter Spiegel des Solarturmkraftwerks mit den Eckpunkten A (3,9 | -2,5.| -1,5), B (-1,1 | 4,5 | -1,5), C (-3,9 | 2,5 | 1,5) und Z) (1,1 | -4,5 |'l,5) betrachtet. b) • Zeigen Sie, dass der Spiegel 3 rechteckig ist und dass sein Mittelpunkt M| .im Ursprung des Koordinatensystems liegt. • Im Solarturmkraftwerk befinden sich 1818 gleichartige Spiegel. Berechnen Sie den Gesamtflächeninhalt aller Spiegel. (20P) Mat1-KFgA21-AB.doc Seite 1 von 2
Freie und Hansestadt Hamburg Allgemeinbildende und berufliche gymnasiale Oberstufen Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur2011 Mathematik- Kurs auf grundlegendem Niveau Zur optimalen Energienutzung muss sichergestellt sein, dass möglichst viel Licht ungehindert auf den Turm trifft. Im Folgenden wird exemplarisch überprüft, ob die durch h beschriebenen Strahlen unge- hindert an Spiegel 3 vorbeilaufen. c) Geben Sie eine Gleichung in Parameterform für die Ebene E an, in der der Spiegel 3 liegt, und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene. (20P) Zur Kontrolle: E: \05x, + 75x, +148x, = 0 d) • Ermitteln Sie den Schnittpunkt der Geraden h mit der Ebene E. Runden Sie Ihre Angaben auf eine Nachkommastelle. • Entscheiden Sie, ob der durch h beschriebene Strahl ungehindert an Spiegel 3 vorbei läuft. (20P) Der Winkel zwischen einfallendem Strahl und Einfallslot Einfallslot (Einfallswinkel a) ist gleich dem reflektierter / Strahl Winkel zwischen reflektiertem Strahl und Ein- einfallender fallslot (Ausfallswinkel ß ). Einfallender Strahl, Strahl reflektierter Strahl und Einfallslot liegen in ein und derselben Ebene. Das Einfallslot ist hierbei eine zur Spiegelfläche senkrecht verlaufende Gerade durch den Punkt, a=ß in welchem der einfallende Strahl auf die Spie- gelfläche trifft. Der Spiegel 3 wird dem Sonnenstand entsprechend neu ausgerichtet, so dass die im Mittelpunkt M^Q | 0 | 0) reflektierten Strahlen wieder auf den Punkt T (96 | 72 | 90) des Turmes treffen. e) Zu einem späteren Zeitpunkt hat sich der Sonnenstand verändert: Nun fällt paralleles Sonnenlicht (-1\ in Richtung —3 auf die Spiegel. 1-6J Bestimmen Sie den Einfallswinkel der Sonnenstrahlen, die im Punkt M-} auf den n.eu ausgerichteten Spiegel 3 treffen. (20P) Mat1-KFgA21.AB.doc Seite 2 von 2
