Hl -u- Freie und Hansestadt Hamburg schuichiffre Behörde für Schule und Berufsbildung _/_ Kurs-Nr. / Schüler-Nr. Schriftliche Abiturprüfung Schuljahr 2011/2012 Kernfach Mathematik — grundlegendes Anforderungsniveau Allgemeinbildende und berufliche Schulen 25. Januar 2012, 9.00 Uhr Unterlagen für die Prüfungsteilnehmerinnen und Prüfungäteilnehmer- Haupttermin Allgemeine Arbeitshinweise • Tragen Sie bitte rechts oben auf diesem Blatt die Schulchiffre ein, die Sie im Stempel auf Ihrem Arbeitspapier finden. • Tragen Sie rechts oben auf diesem Blatt und auf Ihren Arbeitspapieren Ihre Kursnummer und Ihre Schülemummer ein, wie Sie sie auf Ihrem Namensschild finden. • Verwenden Sie auf keinen Fall Ihren Namen und den Namen Ihrer Schule. • Kennzeichnen Sie bitte Ihre Entwurfsblätter (Kladde) und Ihre Reinschrift. Fachspezifische Arbeitshinweise • Die Arbeitszeit beträgt 240 Minuten. • Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner (nicht programmierbar und nicht grafikfähig), Formelsammlung „Das große Tafelwerk interaktiv" (Cornelsen-Verlag), Rechtschreiblexikon, Operatorenliste (s. S. 2 und 3). Aufgaben • Sie erhalten zwei Aufgaben. • Überprüfen Sie anhand der Seitenzahlen, ob Sie alle Unterlagen vollständig erhalten haben. • Bearbeiten Sie beide Aufgaben. • Vermerken Sie auf der Reinschrift, welche Aufgabe (z. B. 1.2) Sie jeweils bearbeitet haben. Mat1-KFgA.Db.AB Seite 1 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg                                                        allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                                  berufliche gymnasiale Abitur2012                                                                                        Oberstufen Mathematik - Kurs auf grundlegendem Niveau Operatoren           Definitionen                                  Beispiele Angeben,             Ohne nähere Erläuterungen und Begründun-      Geben Sie drei Punkte an, die in der nennen               gen, ohne Lösungsweg aufzählen.               Ebene liegen. l                                                                  Nennen Sie drei weitere Beispiele zu... Anwenden             Einen bekannten Sachverhalt oder eine Hand-   Wenden Sie das in Matrix L gegebene 1-11                 lungsanweisung, Formel, Vorschrift aufEle-    Populationsmodell auch auf den Be- mente ihres jeweiligen Definitionsbereichs    stand B an. anwenden. Wenden Sie die Funktionsgleichung auch auf die gegebenen Zahlen an. Begründen            Einen angegebenen Sachverhalt aufGesetz-      Begründen Sie, dass die Funktion nicht 11-111               mäßigkeiten bzw. kausale Zusammenhänge        mehr als drei Wendestellen aufweisen zurückführen. Hierbei sind Regeln und ma-     kann. thematische Beziehungen zu nutzen.            Begründen Sie die Zurückweisung der Hypothese. Berechnen            Ergebnisse von einem Ansatz ausgehend         Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit l                    durch Rechenoperationen gewinnen.             des Ereignisses. Beschreiben          Sachverhalt oder Verfahren in Textform unter  Beschreiben Sie den Bereich möglicher 1-11                 Verwendung der Fachsprache in vollständigen Ergebnisse. Sätzen darstellen (hier sind auch Einschrän-  Beschreiben Sie, wie Sie dieses Problem kungen möglich: „Beschreiben Sie in Stich-    lösen wollen, und führen Sie danach Worten"), Ihre Lösung durch. Bestätigen           Eine Aussage oder einen Sachverhalt durch     Bestätigen Sie, dass die gegebene Funk- 1-11                 Anwendung einfacher Mittel (rechnerischer     tion eine Stammfünktion zur wie argumentativer) sichern.                  Ursprungsfünktion ist. Der Anspruch liegt deswegen unterhalb von     Bestätigen Sie die Parallelität der beiden „Zeigen" oder „Beweisen".                     Ebenen. Bestätigen Sie, dass in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit unter 0,1 liegt. Bestimmen,           Einen Lösungsweg darstellen und das Ergeb-    Ermitteln Sie grafisch den Schnittpunkt. ermitteln            nis formulieren (die Wahl der Mittel kann     Bestimmen Sie aus diesen Werten die 11-111               unter Umständen eingeschränkt sein).          Koordinaten der beiden Punkte. Beurteilen           Zu einem Sachverhalt ein selbstständiges      Beurteilen Sie, welche der beiden vor- III                  Urteil unter Verwendung von Fachwissen und    geschlagenen modellierenden Funktio- Fachmethoden formulieren.                     nen das ursprüngliche Problem besser darstellt. Beweisen,            Beweisführung im mathematischen Sinne         Beweisen Sie, dass die Gerade auf sich widerlegen           unter Verwendung von bekannten mathemati-     selbst abgebildet wird. III                  sehen Sätzen, logischer Schlüsse und Aquivalenzumformungen, ggf. unter Verwen- düng von Gegenbeispielen. Entscheiden          Bei Alternativen sich begründet und eindeutig Entscheiden Sie, für welchen der beiden Il                   auf eine Möglichkeit festlegen.               Beobachter der Aufschlagpunkt näher ist. Entscheiden Sie, welche der Ihnen be- kannten Verteilungen auf die Problem- Stellung passt. Mat1.KFgA-Db.AB                                                                                Seite 2 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg                                                         allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                                   berufliche gymnasiale Abitur2012                                                                                        Oberstufen Mathematik - Kurs auf grundlegendem Niveau Operatoren           Definitionen                                   Beispiele Ergänzen,            Tabellen, Ausdrücke oder Aussagen nach         Ergänzen Sie die Tabelle der Funkti- vervollständigen     bereits vorliegenden Kriterien, Formeln oder   onswerte. ^ l                    Mustern füllen.                                Vervollständigen Sie die Zeichnung mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Punkten. Erstellen            Einen Sachverhalt in übersichtlicher, meist    Erstellen Sie eine Wertetabelle für die l                    fachlich üblicher oder vorgegebener Form       Funktion. darstellen. Herleiten            Die Entstehung oder Ableitung eines gegebe-    Leiten Sie die gegebene Formel für die Il                   nen oder beschriebenen Sachverhalts oder       Stammfunktion her. einer Gleichung aus anderen oder aus allge- meineren Sachverhalten darstellen. (Re-)                Die Ergebnisse einer mathematischen Uberle-    Interpretieren Sie: Was bedeutet Ihre Interpretieren       gung rückübersetzen auf das ursprüngliche      Lösung für die ursprüngliche Frage? 11-111               Problem. Skizzieren           Die wesentlichen Eigenschaften eines Objek-    Skizzieren Sie die gegenseitige Lage der 1-11                 tes grafisch darstellen (auch Freihandskizze   drei Körper. möglich). Untersuchen          Sachverhalte nach bestimmten, fachlich übli-   Untersuchen Sie die Funktion . .. Il                   chen bzw. sinnvollen Kriterien darstellen.     Untersuchen Sie, ob die Verbindungs- kurve ohne Knick in die Gerade ein- mündet. Vergleichen          Nach vorgegebenen oder selbst gewählten        Vergleichen Sie die beiden Vorschläge 11-111               Gesichtspunkten Gemeinsamkeiten, Ahnlich-      ... nach der von den Kurven einge- keiten und Unterschiede ermitteln und darstel- schlossenen Fläche. len. Zeichnen,            Eine hinreichend exakte grafische Darstellung  Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. grafisch             anfertigen.                                    Stellen Sie die Punkte und Geraden im darstellen                                                          Koordinatensystem mit den gegebenen 1-11                                                                Achsen dar. Zeigen,              Eine Aussage, einen Sachverhalt nach gülti-    Zeigen Sie, dass das betrachtete Viereck nachweisen           gen Schlussregeln, Berechnungen,               ein Drachenviereck ist. 11-111               Herleitungen oder logischen Begründungen bestätigen. Zuordnen             Ohne tiefer gehende Erläuterung eine Verbin-   Ordnen Sie die Graphen den gegebenen 1-11                 düng zwischen zwei Listen herstellen.          Gleichungen zu. Mat1.KFgA-Db-AB.doc                                                                             Seite 3 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg                                                    allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                             berufliche gymnasiale Abitur2012                                                                                  Oberstufen Mathematik - Kurs auf grundlegendem Niveau Analysis 1 1.1 Gurkenvermarktung Der große Lebensmittelkonzem AKEDE bot in seinen Geschäften vor der EHEC-Epidemie im Frühjahr 2011 Salatgurken zu einem Preis von 0,50 € pro Stück an. Der Konzern zahlt den liefernden Landwirten 0,25 € pro Salatgurke. Landwirt Kleinschmidt baut Salatgurken für AKEDE an. Er hat Fixkosten fiir die Salatgurkenproduktion in Höhe von 100 € pro Tag. Wenn er 10 Kisten Salatgur- ken pro Tag liefert, dann hat er tägliche Gesamtkosten von 250 €. Bei täglich 30 Kisten Salatgurken betragen diese 600 €. Bei einer Produktionsmenge von 10 Kisten Salatgurken pro Tag liegt die geringste Kostensteige- rung vor. Eine Kiste enthält 5 Kartons zu jeweils 20 Salatgurken. Landwirt Kleinschmidt interessiert sich zunächst für seinen Erlös E und seine Kosten K. Hinweis: Im Folgenden steht die Variable x für die tägliche Produktionsmenge an Kisten mit jeweils lOOSalatgurken. a) • Geben Sie die Gleichung der Erlösfunktion E an. • Skizzieren Sie den Graphen der Funktion E in das Koordinatensystem in der Anlage. (10P) b) Ermitteln Sie die Gleichung der Kostenfünktion K als ganzrationale Funktion 3. Grades, (l 5P) Zur Kontrolle: K(x) = —x3 -}-x2 + s^x +100 120" 4" ' 3 c) • Skizzieren Sie den Graphen der Kostenfunktion K in das Koordinatensystem in der Anlage. • Beschreiben Sie die typischen Eigenschaften der Graphen von Kostenfunktionen 3. Grades im wirtschaftlichen Kontext.                                                    (10P) Landwirt Kleinschmidt macht sich große Sorgen darüber, ob er seinen Hof langfristig wirtschaftlich betreiben kann. Aus diesem Grund lässt er seine Gewinnsituation untersuchen. d) • Bestätigen Sie: l l ^ 25 Die Gleichung der Gewinnfunktion G lautet G(x)=—x3           +—x2 +—X-100 . 120" '4" '3 " ""' • Bestätigen Sie, dass sich die Gewinnschwelle bei einer Produktionsmenge von 10 Kisten Salatgurken pro Tag befindet. Bestimmen Sie rechnerisch die Gewinngrenze.                                               (20P) Mat1.KFgA.H-AB                                                                            Seite 1 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur2012 Oberstufen Mathematik - Kurs auf grundlegendem Niveau e) Berechnen Sie die Produktionsmenge, bei der Landwirt Kleinschmidt den maximalen Gewinn erzielt, und geben Sie den größtmöglichen Gewinn an. (15P) Im Frühjahr 2011 kam es zu einer Vielzahl an EHEC-Infektionen. Die Gesundheitsbehörden warnten in dieser Zeit eindringlich vor dem Verzehr von rohen Tomaten, Gurken, Salat und Sojasprossen. Um dennoch möglichst viele der gelieferten Salatgurken abzusetzen, beschloss das Unternehmen AKEDE einige Tage später, den Preis zu senken und auch den Landwirten wie Herrn Kleinschmidt nur noch 15 € pro Kiste zu zahlen. Da er in dieser kurzfristigen Krisensituation weitere Preissenkungen befürch- tet, möchte er wissen, welcher Preis zur Deckung seiner minimalen variablen Stückkosten erforderlich ist. f) • Ermitteln Sie die kurzfristige Preisuntergrenze pro Kiste für den Landwirt Kleinschmidt. • Begründen Sie, dass er seine Gurken langfristig nicht zu dem beschlossenen neuen Preis von 15 € pro Kiste verkaufen kann. • Beurteilen Sie die wirtschaftliche Situation des Landwirtes Kleinschmidt, wenn AKEDE ihm weniger als die kurzfristige Preisuntergrenze pro Kiste bezahlt. (20P) Vor der Epidemie wurden in der AKEDE-Filiale in Husstadt täglich 500 Salatgurken verkauft. Nach Beginn der Erkrankungen und vor der Preissenkung setzte die Filiale 70 % weniger ab. g) AKEDE verkaufte die Salatgurken nach der Preissenkung in seinen Geschäften zu einem Preis von 0,20 €. • Ermitteln Sie, wie viele Salatgurken die Filiale in Husstadt nach der Preissenkung mindestens täglich verkaufen müsste, damit die Preissenkung nicht zu einer weiteren Reduzierung des Erlöses für AKEDE führt. • Beurteilen Sie, ob das Ziel einer Steigerung des Erlöses mittels der beschriebenen Preissenkung in der Krisensituation realistisch ist. (10P) Mat1 -KFgA-11 -AB Seite 2 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg                                           allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                    berufliche gymnasiale Abitur2012                                                                         Oberstufen Mathematik - Kurs auf grundlegendem Niveau Anlage zur Aufgabe „Gurkenvermarktung" !E(x),   K(x) 4500 4000 3500 3000 _i 2500                                                                              __L_ _1... 2000 1500 1000 500 x -> 10 20 30 40 50 60 70 80 Mat1.KFgA-11.AB                                                                  Seite 3 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2012 Oberstufen Mathematik - Kurs auf grundlegendem Niveau Analysis 2 1.2 Impfstoff Es werden immer wieder neue Impfstoffe benötigt, die helfen sollen, Infektionen mit neuen (mutierten) Keimen einzudäm- men. Die Teile a) bis e) beziehen sich auf einen speziellen Impf- stoff gegen einen ansteckenden Hautausschlag. Die Funktion v beschreibt in guter Näherung die Absatzmenge des Impfstoffs in Produktionseinheiten von 100 000 Ampullen in Abhängigkeit von der Zeit / (in Monaten) während der ersten 15 Monate nach der Zulassung für die Anwendung bei Men- sehen. v(0=8.^.e-°-4f Die Graphik in der Anlage zeigt den Graphen von v. Wenn ein Impfstoffneu auf dem Markt ist, muss die Produktionsfirma unbedingt lieferfähig sein. Andererseits ist die Produktion teuer und die Ware nur sehr begrenzt lagerfähig. Es muss also aus Kostengründen sorgfältig geplant werden. Von besonderem Interesse sind dabei Zeitpunkt und Größenordnung von Produktionsspitzen, weil sie möglicherweise Sonderschichten oder die Einstellung von Leiharbeitern erforderlich machen. a) • Bestätigen Sie: v'(Q = 8-g"0'4'.(1-0,40 • Berechnen Sie den Zeitpunkt des maximalen Absatzes und den maximalen Absatz. (20P) Hinweis: Sie können voraussetzen, dass der Absatz tatsächlich ein Maximum annimmt. b) Wenn der Absatz stark zurückgeht, lassen sich die Kosten am besten reduzieren, wenn rechtzeitig eine Produktionslinie vollständig abgeschaltet wird. Bestimmen Sie den Zeitpunkt der stärksten Abnahme des Absatzes. (20P) c) Der durchschnittliche monatliche Absatz, den die Einkaufsabteilung für die Materialplanung benötigt, kann mit einer Stammfunktion V von v ermittelt werden. Zeigen Sie, dass die Funktion V mit V (t) = 10. (5 - 5e-0'4' - 2te~°-4') eine Stammfunktion von v ist, und ermitteln Sie den durchschnittlichen monatlichen Absatz während der ersten sieben Verkaufsmonate. • (20P) d) Berechnen Sie näherungsweise auf einen vollen Monat gerundet die Zeit, in der von der erwarteten Gesamtabsatzmenge von 50 Produktionseinheiten 70 % verkauft sind. (l OP) Hinweis: Verwenden Sie direkt die in Teil c) gegebene Stammfunktion V. e) Während der ersten sieben Monate wird ein Verkaufspreis von 5 Millionen Büro pro Produkti- onseinheit erzielt. Danach fällt der Verkaufspreis auf 3 Millionen Euro pro Produktionseinheit. Die Rechte für die nach sieben Monaten von 50 Produktionseinheiten noch verbliebene Rest- absatzmenge sollen an einen anderen Hersteller verkauft werden. Ermitteln Sie, welcher Erlös für die restliche Absatzmenge zu erwarten ist. (l OP) Mat1.KFgA-12.AB                                                  Seite               1   von         3

Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur2012 Oberstufen Mathematik - Kurs auf grundlegendem Niveau Die Erfahrung zeigt, dass Impfstoffe jeweils nur eine beschränkte Zeit einsetzbar und verkäuflich sind. Die zeitliche Entwicklung des Absatzes lässt sich näherungsweise durch Funktionen w beschreiben, deren Funktionsterm analog zu dem der oben betrachteten Funktion v aufgebaut ist: w{t)=a-t-e~l" mita>0,b>0 f) Bestimmen Sie die Konstanten a und b für einen Impfstoff, bei dem der maximale Absatz nach sechs Monaten mit einer Absatzmenge von 10 Produktionseinheiten erreicht                                   wird.                        (20P) Mat1 -KFgA-12-AB Seite 2 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur2012 Oberstufen Mathematik - Kurs auf grundlegendem Niveau Anlage zur Aufgabe „Impfstoff" vN4 10          x Mat1-KFgA.12.AB                                                 Seite 3 von 3

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