Mat1-eA1-AB-SCAN.2014
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abitur-Aufgaben im Fach Mathematik im Jahr 2012 in Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
A Name: Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung Kurs-Nr. Schriftliche Abiturprüfung Schuljahr 2013,2014 Kernfach Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau an allgemeinbildenden und beruflichen gymnasialen Oberstufen 13. Mai 2014, 9.00 Uhr Unterlagen für die Prüflinge Allgemeine Arbeitshinweise • Tragen Sie rechts oben auf diesem Blatt und auf Ihren Arbeitspapieren Ihren Namen sowie die Kursnummer ein. • Kennzeichnen Sie bitte Ihre Entwurfsblätter (Kladde) und Ihre Reinschrift, Fachspezifische Arbeitshinweise • Die Arbeitszeit beträgt 300 Minuten, davon maximal 45 Minuten für die Aufgabe I. • Eine Einlese- und Auswahlzeit von 30 Minuten ist der Arbeitszeit vorgeschaltet. In dieser Zeit darf noch nicht mit der Bearbeitung begonnen werden. • Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner (nicht programmierbar und nicht grafikfähig), Formelsamm- lung „Das große Tafelwerk interaktiv", Cornelsen Verlag, Operatorenliste, Rechtschreiblexikon. Aufgabenauswahl • Sie erhalten fünf Aufgaben (I, 11.1,11.2, III und IV) zu unterschiedlichen Schwerpunkten. • Überprüfen Sie anhand der Seitenzahlen, ob Sie alle Unterlagen vollständig erhalten haben. • Wählen Sie aus den Aufgaben 11.1 und 11.2, sowie aus den Aufgaben III und IV jeweils eine Aufgabe aus. Insgesamt müssen Sie drei Aufgaben bearbeiten. • Bearbeiten Sie zunächst Aufgabe I. Nach deren Abgabe erhalten Sie Ihren Taschenrechner und die Formel Sammlung und beginnen mit der Bearbeitung der beiden ausgewählten Aufgaben. • Vermerken Sie auf der Reinschrift, welche weiteren Aufgaben (11.1 / 11.2 und III / IV) Sie bear- beitet haben. Ausgewählt zur Bearbeitung wurden: Titel der Aufgabe (11.1 oder 11.2) (III oder IV) Matl-eA-Db-AB Seite 1 von 4
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2014 Oberstufen Kernfach Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Bewertung Erster Prüfungsteil (hilfsmittelfreier Teil): 20 Bewertungseinheiten (4 Teilaufgaben ä 5 BWE). Zweiter Prüfungsteil: 100 Bewertungseinheiten (2 komplexe Aufgaben ä 50 BWE). Insgesamt sind also 120 BWE erreichbar. Bei der Festlegung von Notenpunkten gilt die folgende Tabelle. Bewertungs- Erbrachte Bewerhings- Erbrachte Notenpunkte Notenpunkte einheilen Leistung einheiten Leistung > 114 > 95 % 15 ^ 66 ^ 55 % 7 > 108 ^ 90 % 14 ^ 60 ^ 50 % 6 > 102 > 85 % 13 ^ 54 ^ 45 % 5 ^ 96 > 80 % 12 > 48 > 40 % 4 ^ 90 > 75 % 11 > 39' > 33 % ^) 3 > 84 > 70 % 10 ^ 31 ^ 26 % 2 > 78 > 65 % 9 ^ 22 S 19% l > 72 ^ 60 % 8 < 22 < 19% 0 Die Note „ausreichend" (5 Punkte) wird erteilt, wenn annähernd die Hälfte (mindestens 45 %) der erwarteten Gesamtleistung erbracht worden ist. Dazu muss mindestens eine Teilaufgabe, die Anforde- rungen im Bereich II aufweist, vollständig und weitgehend richtig bearbeitet worden sein. Die Note „gut" (11 Punkte) wird erteilt, wenn annähernd vier Fünftel (mindestens 75 %) der erwar- teten Gesamtleistung erbracht worden sind. Dabei muss die Prüfungsleistung in ihrer Gliederung, in der Gedankenführung, in der Anwendung fachmethodischer Verfahren sowie in der fachsprachlichen Artikulation den Anforderungen voll entsprechen. Ein mit „gut" beurteiltes Prüfungsergebnis setzt voraus, dass neben Leistungen in den Anforderungsbereichen I und II auch Leistungen im Anforde- rungsbereich III erbracht worden sind. Bei erheblichen Mängeln in der sprachlichen Richtigkeit sind bei der Bewertung der schriftlichen Prü- fungsleistuhg je nach Schwere und Häufigkeit der Verstöße bis zu zwei Notenpunkte abzuziehen. Da- zu gehören auch Mängel in der Gliederung, Fehler in der Fachsprache, Ungenauigkeiten in Zeichnun- gen sowie falsche Bezüge zwischen Zeichnungen und Text. Operatoren Operatoren AB Definitionen Beispiele angeben, l Ohne nähere Erläuterungen und Be- Geben Sie drei Punkte an, die in der Ebene nennen gründungen, ohne Lösungsweg aufzu- liegen. zeigen. Nennen Sie drei weitere Beispiele zu ... anwenden i-n Einen bekannten Sachverhalt oder Wenden Sie das in Matrix L gegebene Popu- eine Handlungsanweisung, Formel, lationsmodell auch auf den Bestand B an. Vorschrift auf Elemente ihres jeweili- Wenden Sie die Funktionsgleichung auch auf gen Definitionsbereichs anwenden. die gegebenen Zahlen an. Die Anzahl der Bewertungseinheiten für erbrachte Leistungen von weniger als 40 % wurde auf die nächstkleinere ganze Zahl abgerun'det. Mat1.eA-Db.AB Seite 2 von 4
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur2014 Oberstufen Kernfach Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Operatorea AB Definitionen Beispiele begründen II-III Einen angegebenen Sachverhalt auf Begründen Sie, dass die Funktion nicht mehr Gesetzmäßigkeiten bzw. kausale Zu- als drei Wendestellen aufweisen kann. sammenhänge zurückfuhren. Hierbei Begründen Sie die Zurückweisung der Hypo- sind Regeln und mathematische Be- these. ziehungen zu nutzen. berechnen I Ergebnisse von einem Ansatz ausge- Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des hend durch Rechenoperationen ge- Ereignisses. winnen. beschreiben I-II Sachverhalt oder Verfahren in Text- Beschreiben Sie den Bereich möglicher Er- form unter Verwendung der Fachspra- gebnisse. ehe in vollständigen Sätzen darstellen Beschreiben Sie, wie Sie dieses Problem (hier sind auch Einschränkungen mög- lösen wollen, und führen Sie danach Ihre lich: „Beschreiben Sie in Stichwor- Lösung durch. ten"). bestätigen I-II Eine Aussage oder einen Sachverhalt Bestätigen Sie, dass die gegebene Funktion durch Anwendung einfacher Mittel eine Stammfunktion zur Ursprungsfunktion (rechnerischer wie argumentativer) ist. sichern. Bestätigen Sie die Parallelität der beiden Der Anspruch liegt deswegen unter- Ebenen. halb von „Zeigen" oder „Beweisen". Bestätigen Sie, dass in diesem Fall die Wahr- scheinlichkeit unter 0,1 liegt. bestimmen, II-III Einen Lösungsweg darstellen und das Ermitteln Sie graphisch den Schnittpunkt. ermitteln Ergebnis formulieren (die Wahl der Bestimmen Sie aus diesen Werten die Koor- Mittel kann unter Umständen einge- dinaten der beiden Punkte. schränkt sein). beurteilen II-III Zu einem Sachverhalt oder zu einem Beurteilen Sie, welche der beiden vorge- Ergebnis ein selbstständiges mathema- schlagenen Funktionen die Situation ange- tisch und/oder sachkontextual begrün- messener modelliert. detes Urteil fällen. Beurteilen Sie das Resultat Ihrer Modell- rechnung vor dem Hintergründe der gefor- derten Kosteneffizienz. Beurteilen Sie die Aussage: „Jede ganzratio- nale Funktion dritten Grades hat mindestens ein lokales Maxi- mum." beweisen, III Beweisführung im mathematischen Beweisen Sie. dass die Gerade auf sich selbst widerlegen Sinne unter Verwendung von bekann- abgebildet wird. ten mathematischen Sätzen, logischen Schlüssen und Aquivalenzumformungen, ggf. unter Verwendung von Gegenbeispielen. entscheiden u Bei Alternativen sich begründet und Entscheiden Sie, für welchen der beiden eindeutig auf eine Möglichkeit festle- Beobachter der Aufschlagpunkt näher ist. gen. Entscheiden Sie, welche der Ihnen bekannten Verteilungen auf die Problemstellung passt. ergänzen, I Tabellen, Ausdrücke, grafische Dar- Ergänzen Sie die Tabelle der Funktionswer- vervollstän- Stellungen oder Aussagen nach bereits te. digen, vorliegenden Kriterien, Formeln oder Vervollständigen Sie die Zeichnung mit den eintragen Mustern füllen. in der Aufgabenstellung gegebenen Punkten. Tragen Sie den Winkel a in Ihrer Skizze ein. Mat1.eA-Db.AB Seite 3 von 4
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abltur2014 Oberstufen Kernfach Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Operatoren AB Definitionen Beispiele erläutern II-III Einen mathematischen Sachverhalt Erläutern Sie den Begriff „exponentielles nachvollziehbar und verständlich Wachstum". näher erklären und durch Beispiele veranschaulichen; Einschränkungen wie Z.B. „Erläutern Sie im gegebenen Sachkontext..." sind möglich. erstellen I Einen Sachverhalt in übersichtlicher, Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Funk- meist fachlich üblicher oder vorgege- tion. bener Form darstellen. herleiten II-III Die Entstehung oder Entwicklung Leiten Sie die gegebene Formel für die eines gegebenen oder beschriebenen Stammfunktion her. Sachverhalts oder einer Gleichung aus anderen oder aus allgemeineren Sach- verhalten darstellen. interpretie- II-III Mathematische Objekte oder Ergeb- Interpretieren Sie die Lösung des Glei- ren nisse aus einer bestimmten Perspekti- chungssystems geometrisch. ve deuten. Interpretieren Sie die Bedeutung der Variable s vor dem Hintergrund des Sachkontextes. skizzieren I-II Die wesentlichen Eigenschaften eines Skizzieren Sie die gegenseitige Lage der drei Objektes grafisch darstellen (auch Körper. Freihändskizze möglich). untersuchen Il-III Sachverhalte nach bestimmten, fach- Untersuchen Sie die Funktion ... lich üblichen bzw. sinnvollen Kriteri- Untersuchen Sie, ob die Verbindungskurve en erkunden und darstellen. ohne Knick in die Gerade einmündet. vergleichen II-III Nach vorgegebenen oder selbst ge- Vergleichen Sie die beiden Vorschläge ... wählten Gesichtspunkten Gemein- nach der von den Kurven eingeschlossenen samkeiten, Ähnlichkeiten und Unter- Fläche. schiede ermitteln und darstellen. zeichnen, I-II Eine hinreichend exakte grafische Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. grafisch Darstellung anfertigen. Stellen Sie die Punkte und Geraden im K-o- darstellen ordinatensystem mit den gegebenen Achsen dar. zeigen, II-III Eine Aussage, einen Sachverhalt nach Zeigen Sie, dass das betrachtete Viereck ein nachweisen gültigen Schlussregeln, Berechnun- Drachenviereck ist. gen, Herleitungen oder logischen Begründungen bestätigen. zuordnen I-II Ohne tiefer gehende Erläuterung eine Ordnen Sie die Graphen den gegebenen Verbindung zwischen zwei Listen Gleichungen zu. herstellen. Mat1-eA.Db.AB Seite 4 von 4
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2014 Oberstufen Kernfach Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau l Hilfsmittelfreier Prüfungsteil 1.1 Analysis Gegeben ist die Funktion / mit f(.x)==ex-{l-x+x2) (xeR). a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion / . (2P) b) Zeigen Sie, dass die Funktion F mit F(x}=x -ex (x£R) eine Stammfunktion von / ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion G von / an, für die G(l)=2e gilt. (3P) 1.2 Lineare Algebra Eine Firma produziert in einem ersten Schritt aus den Rohstoffen T?) , R^ und Rj die Zwischenpro- dukte Z; und Z^. Daraus werden in einem zweiten Produktionsschritt die Endprodukte E^, E^ und £3 hergestellt. Nachfolgend ist angegeben, wie viele Mengeneinheiten (ME) in den jeweiligen Pro- duktionsschritten zur Herstellung von je einer ME der Zwischen- bzw. Endprodukte verarbeitet wer- den: nach nach z, z, E^ EZ ^3 von von ^1 2 6 z, 5 2 8 RI 4 4 Z^ 5 8 2 ^3 6 2 a) Berechnen Sie, wie viele ME von Rj insgesamt benötigt werden, um jeweils eine ME von E^, E^ und £3 herzustellen. (3P) Aufgrund von Lieferschwierigkeiten kann die Firma für R^ nur noch auf einen Lagerbestand von 40 ME zurückgreifen. b) Berechnen Sie, wie viele ME von Zwischenprodukten noch produziert werden können, wenn Z, und Z-, in der gleichen Anzahl von ME produziert werden müssen. (2P) Mat1.eA1.AB Seite 1 von 2
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2014 Oberstufen Kernfach Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau 1.3 Stochastik In Urne -A befinden sich zwei rote und drei weiße Kugeln. Urne B enthält drei rote und zwei weiße Kugeln. Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment: Aus Urne A wird eine Kugel zufällig entnommen und in Urne B gelegt; danach wird aus Urne B eine Kugel zufällig entnommen und in Urne A gelegt. a) Geben Sie alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach der Durchführung des Zufallsexpe- riments an. (2P) Betrachtet wird das Ereignis E : Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A . b) Untersuchen Sie, ob das Ereignis E eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat. (3P) 1.4 Analysis Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion /. -H'+ fl \h a) Beschreiben Sie für a<^ x -^b den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von / . (2P) b) Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von / im gesamten darge- stellten Bereich. (3P) Mat1-eA1-AB Seite 2 von 2
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur2014 Oberstufen Kernfach Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Analysis 1 11.1 Schwimmbad in der Zehlendorfer Welle In dem Einkaufszentrum „Zehlendorfer Welle" in Berlin befindet sich neben mehreren Geschäften ein Fitness-Club mit einem Schwimmbad. Das Gebäude der Schwimmhalle ist beim Blick von vorn auf die Glas- front achsensymmetrisch. Es setzt sich aus einer nahezu parabelförmig gebauten Decke sowie schräg verlaufenden Seitenwänden zusammen. In dieser Aufgabe werden die Maße im Inneren des Gebäudes betrach- tet und durch Funktionen modelliert, für die eine Längeneinheit einem Abbildung l Meter entspricht. Die Höhe des Gebäudes beträgt etwa 9 m und die Breite am Boden etwa 18 m. Die Decke der Schwimmhalle kann oberhalb einer Höhe von etwa 7 m näherungsweise durch die Funktion / mit /(x)=-lx2+9, x€ [-4,25; 4,25] beschrieben werden. Der Verlauf der rechten Seitenwand vom Boden bis zu einer Höhe von ca. 7 m kann näherungsweise beschrieben werden durch die Funktion g, mit: giM=-l,47x+13,24, x€]4,25;9] a) Ergänzen Sie die Darstellung des Umrisses der Vorderseite des Gebäudes in dem Koordina- tensystem in der Anlage (siehe Abbildung 5). • Geben Sie die Funktionsgleichung der Funktion g; an, die den Verlauf der linken Seitenwand beschreibt. (6P) Die Konstruktion eines Gebäudes, das sich aus geraden und parabelförmigen Bauteilen zusammen- setzt, ist besonders stabil, wenn die verschiedenen Teile knickfrei ineinander übergehen. Aus ver- schiedenen Gründen, wie beispielsweise der verfügbaren Grundfläche des Gebäudes, kann diese Bau- weise nicht immer eingehalten werden. b) Zeigen Sie, dass der Übergang zwischen dem parabelförmigen und dem durch g, beschriebenen geraden Teilstück zwar näherungsweise lückenlos, aber nicht knickfrei ist. Damit man sich nach dem Training erholen kann, befindet Y. sich in der Schwimmhalle eine Empöre mit einer Bar. Die Bodenfläche der Empöre befindet sich in einer Höhe von 3,5 m, erstreckt sich über die gesamte Breite der Schwimm- halle und ragt 5 m in den Raum hinein (siehe Abbildung 2). c) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Bodenfläche der Empöre. (6P) Abbildung 2 Mat1.eA21.AB Seite 1 von 4
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur2014 Oberstufen Kernfach Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Um weitere Gäste anzulocken, ist geplant, den Bereich der Bar um- zugestalten. An der Rückwand der Empöre soll mittig eine recht- Leinwand eckige Leinwand montiert werden, um Übertragungen von sportli- a chen Wettkämpfen live mithilfe eines Beamers zeigen zu können Empöre (siehe schematische Skizze in Abbildung 3). Die Leinwand soll so an der Rückwand angebracht werden, dass die untere Seite der Leinwand einen Abstand von 1,50 m zur Bodenflä- Abbildung 3 ehe der Empöre hat und die oberen Eckpunkte bis zur parabelför- migen Decke reichen. Die Leinwand soll zusätzlich die größtmögliche Fläche der Rückwand ausnut- zen. d) • Zeigen Sie, dass sich der Flächeninhalt der Leinwand in Abhängigkeit von der Breite a durch die Funktionsgleichung A(a')=—-—a+4a mit a G[0; 8,5] beschreiben lässt. 36 • Untersuchen Sie den Flächeninhalt der Leinwand auf seinen maximal möglichen Wert. (10P) Auf dem Dach des Gebäudes soll eine Fotovoltaikanlage installiert werden. Der Hersteller bewirbt sein Produkt mit einer Nennleistung von 3000 Watt d. h., dass die Anlage unter idealen Bedingungen eine Leistung von 3000 Watt abgeben kann. Die tatsächliche Leistung wird von der Anlage automa- tisch aufgezeichnet. Die Funktion P mit ^(0=1250. cosl^l+1250, ^€[0;24] beschreibt näherungsweise die momentane Leistung der Anlage für die Sonnenstunden an einem Tag. Dabei wird PQ) in Watt angegeben und t steht für die Zeit in Stunden ab 0 Uhr eines Tages. Die folgende Abbildung stellt den Graphen von P dar, wobei nur der durchgängig gezeichnete Teil des Funktionsgraphen die Zeitspanne darstellt, in der die Anlage elektrische Energie produziert. ^ Leistung in Watt 2'4 Zeit in Stunden Abbildung 4 e) Bestimmen Sie die Uhrzeiten, an denen nach diesem Modell die Produktion, der elektrischen Energie beginnt und endet. (7P) Mat1.eA21.AB Seite 2 von 4
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur2014 Oberstufen Kernfach Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau f) • Begründen Sie anhand der Funktionsgleichung, dass bei diesem Modell die vom Hersteller angegebene Nennleistung zu keinem Zeitpunkt erreicht wird. • Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die maximale Leistung erreicht wird. (6P) An einem bestimmten Tag ist die Fotovoltaikanlage von 6 Uhr bis 18 Uhr durchgängig in Betrieb. Der Inhaber des Schwimmbades möchte die gewonnene Energie für die Beleuchtung des Schwimmbades nutzen. Für eine K-ilowattstunde elektrischer Energie bezahlt er 0,20 €, wenn er sie aus dem öffentli- chen Netz bezieht. g) Bestimmen Sie, um welchen Betrag der Inhaber des Schwimmbades seine Kosten für elektrische Energie durch den Betrieb der Fotovoltaikanlage an diesem Tag senken kann. (7P) Hinweis: Der Zusammenhang zwischen der Leistung P und der erzeugten elektrischen Energie W ist gegeben durch W (t)=P(t'), W ist also eine Stammfimktion von P. Mat1 -eA21 -AB Seite 3 von 4
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur2014 Oberstufen Kernfach Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Anlage zur Aufgabe „Schwimmbad in der Zehlendorfer Welle" .?, .',..C?-1 . . o ., j a\ J ..,oo„ ...L. r~~^ i >£;. .! ^ in ^ ,,, '^t _ : CD ; CM . _ —' r-~ l oo l 0 v~^ l Abbildung 5 Mat1.eA21.AB Seite 4 von 4
