CAS-Mat1-eA-Paket2.1-A-2018
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende
Behörde für Schule und Berufsbildung gymnasiale
Abitur 2018 CAS Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen
Aufgabe I
Aufgabe I: Hilfsmittelfreier Prüfungsteil
I.1 Analysis
Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = −x3 + 3x2 − 2x und x ∈ R. Die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen
G f , der bei x = 1 den Wendepunkt W hat.
y
Gf
x
Abb. 1
a) Zeigen Sie, dass die Tangente an G f im Punkt W die Steigung 1 hat. (2 BE)
b) Betrachtet werden die Geraden mit positiver Steigung m, die durch W verlaufen.
Geben Sie die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit G f in Abhängigkeit von m an. (3 BE)
I.2 Lineare Algebra
In einem System verteilt sich der Gesamtbestand auf die Zustände A und B. Zum Zeitpunkt
! n mit n ∈ N
an
wird die Verteilung auf die Zustände A und B durch den Verteilungsvektor v~n = beschrieben. Da-
bn
bei gibt an denjenigen Anteil des Gesamtbestands an, der sich im Zustand A befindet, und bn denjenigen
Anteil des Gesamtbestands, der sich im Zustand B befindet. Die Abbildung 2 beschreibt die Übergänge
zwischen den Zuständen von einem Zeitpunkt zum nächsten.
0,5
0,5
A B
1
Abb. 2
Mithilfe der zugehörigen Übergangsmatrix M kann die Entwicklung der Zustandsverteilung durch
−
v−→
n+1 = M · v
~n beschrieben werden.
a) Berechnen Sie M 2 . (3 BE)
b) Beschreiben Sie, wie man zu jedem Verteilungsvektor −
v−→ →
−
n+2 den Verteilungsvektor vn bestimmen kann.
(2 BE)
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Aufgabe I
I.3 Stochastik
a) Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,8. Eine der folgenden Abbildungen stellt
die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X dar.
P(X = k) P(X = k)
0,3 0,3
0,2 0,2
0,1 0,1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 k
Abb. 3 Abb. 4
P(X = k)
0,6
0,4
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 k
Abb. 5
Geben Sie die beiden Abbildungen an, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X nicht darstellen.
Begründen Sie Ihre Angabe. (3 BE)
b) Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße Y mit den Parametern n und p. Es gilt:
Der Erwartungswert von Y ist 8.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y ist symmetrisch.
Ermitteln Sie den Wert von n. (2 BE)
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Aufgabe I
I.4.1 Analysis
4
Die Abbildung 6 zeigt den Graphen G f der in R\ {0} definierten Funktion f : x 7→ x2
.
G f ist symmetrisch bezüglich der y-Achse.
y
5
4
3
2
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 x
Abb. 6
a) Die Gerade, die parallel zur x-Achse durch den Punkt P (0|p) verläuft, schneidet G f in zwei Punkten.
Der Abstand dieser beiden Schnittpunkte ist 1.
Berechnen Sie den Wert von p. (2 BE)
b) Die Koordinatenachsen schließen mit der Tangente an G f in einem Punkt Q (u| f (u)) mit u > 0 ein
gleichschenkliges Dreieck ein.
Berechnen Sie die Koordinaten von Q. (3 BE)
I.4.2 Lineare Algebra
In einem zweidimensionalen
! Koordinatensystem
! ordnet jede 2 × 2-Matrix M einem Punkt P (a|b) mit
a a 0
a, b ∈ R durch M · = einen Bildpunkt P0 (a0 |b0 ) zu.
b b0
!
−1 0
a) Bestimmen Sie für M = die Koordinaten von P0 in Abhängigkeit von a und b.
0 1
Begründen Sie, dass die durch diese Matrix beschriebene Zuordnung eine Spiegelung an der y-Achse
darstellt. (2 BE)
b) Durch Spiegelung von P an der x-Achse entsteht der Punkt P∗ (a∗ |b∗ ).
Bestimmen Sie M so, dass P∗ der Mittelpunkt der Strecke zwischen dem Koordinatenursprung und P0
ist. (3 BE)
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Aufgabe I
I.4.3 Stochastik
Die Zufallsgrößen X und Y können jeweils die Werte 3, 4 und 5 annehmen.
a) Für die Zufallsgröße X gilt:
1
P (X = 3) = 3 und
1
P (X = 4) = 4.
Bestimmen Sie den Erwartungswert von X. (2 BE)
b) Für die Zufallsgröße Y gilt:
P (Y = 3) = 13 ,
1
P (Y = 4) ≥ 6 und
1
P (Y = 5) ≥ 6.
Bestimmen Sie alle Werte, die für den Erwartungswert von Y infrage kommen. (3 BE)
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