CAS-Mat1-gA-2.1-3.1-LM-A-2018
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
Freie und Hansestadt Hamburg
Behörde für Schule und Berufsbildung
Schriftliche Abiturprüfung
Schuljahr 2017/2018
CAS Mathematik
auf grundlegendem Anforderungsniveau
an allgemeinbildenden gymnasialen Oberstufen
Haupttermin
Mittwoch, 2. Mai 2018, 9:00 Uhr
Unterlagen für die Lehrerinnen und Lehrer
Wahlschwerpunkt Lineare Algebra
Diese Unterlagen sind nicht für die Prüflinge bestimmt.
Diese Unterlagen enthalten:
1. Allgemeines
2. den Rückmeldebogen für die Zweitdurchsicht
3. Hinweise für die Auswahl der Aufgaben
4. Hinweise für das Korrekturverfahren
5. den Erwartungshorizont und die Bewertungskriterien für jede Aufgabe
1. Allgemeines1
Weisen Sie bitte die Schülerinnen und Schüler auf die allgemeinen Arbeitshinweise am Anfang der
Schülermaterialien hin.
Die Schülerinnen und Schüler kennzeichnen alle Prüfungsunterlagen mit ihrem Namen.
Die Arbeitszeit einschließlich der Auswahlzeit beträgt insgesamt 270 Minuten.
Erlaubte Hilfsmittel:
– Computeralgebrasystem (CAS). Das Computeralgebrasystem muss sich im Auslieferungszustand, ggf.
aktualisiert durch Updates des Betriebssystems, befinden. Dies wird in der Regel durch ein RESET
erreicht. Bei Systemen, bei denen eine Nachinstallation von speziellen Stochastikprogrammen des
Herstellers nötig war, müssen diese nach dem RESET erneut installiert sein.
– Formelsammlung „Das große Tafelwerk interaktiv“ (Cornelsen-Verlag ISBN 3-464-57144-0 oder
ISBN 978-3-464-57144-6), Rechtschreibwörterbuch.
1 Hinweisezu den Erleichterungen für neu zugewanderte Schülerinnen, Schüler und Prüflinge bei Sprachschwierigkeiten in der
deutschen Sprache finden sich auf S 2.
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Erleichterungen für neu Zugewanderte
Entsprechend der „Richtlinie über die Gewährung von Erleichterungen für neu zugewanderte Schüle-
rinnen, Schüler und Prüflinge bei Sprachschwierigkeiten in der deutschen Sprache“ (MBlSchul Nr. 08,
7. Oktober 2016, S. 60) werden für die betroffenen Prüflinge die folgenden Erleichterungen gewährt:
Die Bearbeitungszeit wird um 30 Minuten auf 300 Minuten erhöht.
Ein nicht-elektronisches Wörterbuch Deutsch – Herkunftssprache / Herkunftssprache – Deutsch wird
bereitgestellt.
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2. Rückmeldebogen für die Zweitdurchsicht
Bitte umgehend ausfüllen und
a) an die Schule faxen1 , die die externe Zweitdurchsicht übernimmt,
oder ggf.
b) an die Kollegin/den Kollegen geben, die/der die interne Zweitdurchsicht übernimmt.
Information für die Zweitdurchsicht
Fach:
CAS Mathematik
auf grundlegendem Anforderungsniveau Kurs-Nummer:
Bearbeitet wurden die folgenden Aufgaben:
Aufgaben-Nr. Anzahl
I.4.1 von Prüflingen
I.4.2 von Prüflingen
I.4.3 von Prüflingen
Der gewählte Wahlschwerpunkt in der Aufgabe III: x Lineare Algebra
Analytische Geometrie
1 Faxnummern siehe: https://www.hamburg.de/bsb/sekundarstufe-2-abitur/
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3. Aufgabenauswahl
Sie erhalten vier Aufgaben:
I (hilfsmittelfreier Teil) und II (Analysis), III (Lineare Algebra) und IV (Stochastik).
Sie reichen zuerst Aufgabe I an die Schülerinnen und Schüler zur Bearbeitung weiter.
Die Schülerinnen und Schüler wählen eine der Unteraufgaben I.4.1, I.4.2 oder I.4.3 aus. Die Unterauf-
gaben I.1, I.2 und I.3 müssen bearbeitet werden, insgesamt also vier Unteraufgaben von Aufgabe I.
Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten die Aufgabe I ohne Unterstützung durch Formelsammlung
und CAS-System.
Nach Abgabe der Aufgabe I und der zugehörigen Lösungen geben Sie den Schülerinnen und Schülern
das CAS-System, die Formelsammlung und die restlichen drei Aufgaben II, III und IV.
Weisen die Schülerinnen und Schüler bitte darauf hin, die Vollständigkeit der Unterlagen zu überprüfen.
Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten die restlichen drei Aufgaben in der restlichen Arbeitszeit.
4. Korrekturverfahren
Die Korrekturen werden gemäß der gültigen „Richtlinie für die Aufgabenstellung und Bewertung der
Leistungen in der Abiturprüfung“ (Abiturrichtlinie) vorgenommen.
Die für den Unterricht zuständige Lehrkraft korrigiert die Arbeiten unter Kennzeichnung ihrer Vorzüge
und Mängel, der richtigen Lösungen und der Fehler, bewertet jede Arbeit mit einer Punktzahl und
fertigt ein Gutachten an. Die Randbemerkungen der Referentin/des Referenten sind Teil des Gutachtens.
Auf diese kann im Gutachten Bezug genommen werden. Jede Arbeit wird sodann von einer zweiten
Fachlehrkraft – i. d. R. einer Lehrkraft der gleichen Schule – durchgesehen, die sich entweder der
Bewertung durch die für das Fach zuständige Lehrkraft anschließt oder ein ergänzendes Gutachten mit
abweichender Bewertung anfertigt (siehe Erstkorrekturbogen und Zweitdurchsichtbogen).
Der Zweitdurchsichtbogen wird nur dann angelegt, wenn die Bewertung der Zweitdurchsicht um mindes-
tens einen Notenpunkt abweicht. Beträgt die Differenz der im Erstgutachten und in der Zweitdurchsicht
erteilten Punktzahlen mehr als drei Punkte wird ein Drittgutachten angefertigt (Drittkorrekturbogen).
Die Bewertungsbögen sind als Download hier zu finden:
https://www.hamburg.de/bsb/sekundarstufe-2-abitur/3834884/artikel-rueckmelde-bewertungsboegen/
Benutzername: bsb.hera@HH; Passwort: zentralepruefungen
Zu den Zeitvorgaben, den Warnmeldungen, der externen Zweitdurchsicht und dem weiteren Verlauf des
Verfahrens siehe den „Ablaufplan für die Durchführung der schriftlichen Prüfungen“ (veröffentlicht:
https://www.hamburg.de/bsb/hera/).
Beispiel – Bewertungsbögen
Abiturprüfung 2017 Schulname BeBo Eko Mat Abiturprüfung 2017 Schulname BeBo Zdu Mat Abiturprüfung 2017 Schulname BeBo Dko Mat
Fach: Kurstyp gA/eA Fach: Kurstyp gA/eA Fach: Kurstyp gA/eA
Schülername Schülername Schülername
Mathematik Kurs-Nummer Mathematik Kurs-Nummer Mathematik Kurs-Nummer
Aufgaben
BWE pro
Nummer (z.B. Erreichte Bewertungseinheiten (BWE) je Teilaufgabe Erstkorrekturbewertung und Zweitdurchsichtbewertung weichen mehr als drei Notenpunkte
II.2)
Aufgabe Ich schließe mich der Bewertung der Erstkorrektorin/des Erstkorrektors nicht an.
(nicht verwendete Felder bitte durchstreichen) voneinander ab.
I.1 I.2 I.3 I.4.1 I.4.2 I.4.3 Aufgaben
I Nummer (z.B. Erreichte Bewertungseinheiten (BWE) je Teilaufgabe
BWE pro Die Drittkorrektur erfolgt aus anderen Gründen (Gründe bitte im Gutachten kurz benennen).
Aufgabe
II.2) (nicht verwendete Felder bitte durchstreichen)
1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
Aufgaben
BWE pro
Nummer (z.B. Erreichte Bewertungseinheiten (BWE) je Teilaufgabe
2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j) I.1 I.2 I.3 I.4.1 I.4.2 I.4.3 Aufgabe
II I II.2) (nicht verwendete Felder bitte durchstreichen)
3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j) 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
I.1 I.2 I.3 I.4.1 I.4.2 I.4.3
I
1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j) 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
II 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
III 3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j)
2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
II
1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j) 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j)
III
2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j) 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
IV 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j) 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
III
2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
Summe der BWE
IV 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j)
Bewertungstext 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
IV
Summe der BWE 3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j)
Bewertungstext
Summe der BWE
Bewertungstext
Notenpunkte
Notenpunkte
Datum/Unterschrift/Erstkorrektor/in:___________________________________________________
Stellungnahme der Zweitkorrektorin/des Zweitkorrektors Notenpunkte
Datum/Unterschrift/Zweitdurchsicht: ___________________________________________________
Ich schließe mich der Bewertung der Erstkorrektorin / des Erstkorrektors an.
Ich schließe mich der Bewertung der Erstkorrektorin / des Erstkorrektors nicht an. Der Datum/Unterschrift/Drittgutachter/in: ___________________________________________________
Bewertungsbogen Zweitdurchsicht (BeBo Zdu) liegt bei.
Datum/Unterschrift/Zweitdurchsicht: ___________________________________________________
Dieser Bogen kann auch aus dem Internet unter www.hamburg.de/hera mit dem Benutzernamen bsb.hera@HH und dem Passwort Dieser Bogen kann auch aus dem Internet unter www.hamburg.de/hera mit dem Benutzernamen bsb.hera@HH und dem Passwort Dieser Bogen kann auch aus dem Internet unter www.hamburg.de/hera mit dem Benutzernamen bsb.hera@HH und dem Passwort
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5. Erwartungshorizont und Bewertung
I. Hinweise zur Bewertung
Prüfungsteil A (hilfsmittelfreier Teil): 20 Bewertungseinheiten (BE)
Prüfungsteil B: 80 BE (3 komplexe Aufgaben, Aufgabe II mit 40 BE, Aufgabe III mit 20 BE und Aufgabe
IV mit 20 BE)
Insgesamt sind 100 BE erreichbar.
Es dürfen auch halbe Bewertungseinheiten vergeben werden.
Bei der Festlegung von Notenpunkten gilt die folgende Tabelle.
Notenpunkte mindestens zu Notenpunkte mindestens zu
erreichender Anteil an erreichender Anteil an
den insgesamt zu den insgesamt zu
erreichenden erreichenden
Bewertungseinheiten Bewertungseinheiten
15 95 % 7 55 %
14 90 % 6 50 %
13 85 % 5 45 %
12 80 % 4 40 %
11 75 % 3 33 %
10 70 % 2 27 %
9 65 % 1 20 %
8 60 % 0 0%
Für die Erteilung der Note „ausreichend“ (5 Notenpunkte) ist mindestens erforderlich, dass die Schülerin-
nen und Schüler annähernd die Hälfte der erwarteten Gesamtleistung und über den Anforderungsbereich I
hinaus Leistungen in einem weiteren Anforderungsbereich erbracht haben.
Für die Erteilung der Note „gut“ (11 Notenpunkte) ist mindestens erforderlich, dass die Schülerinnen
und Schüler annähernd vier Fünftel der erwarteten Gesamtleistung sowie Leistungen in allen drei
Anforderungsbereichen erbracht haben.
Die erbrachte Gesamtleistung ergibt sich aus der Summe der Bewertungseinheiten in den vier Aufgaben.
Bei erheblichen Mängeln in der sprachlichen Richtigkeit und der äußeren Form sind bei der Bewertung
der schriftlichen Prüfungsleistung je nach Schwere und Häufigkeit der Verstöße bis zu zwei Notenpunkte
abzuziehen. Dazu gehören auch Mängel in der Gliederung, Fehler in der Fachsprache, Ungenauigkeiten in
Zeichnungen sowie falsche Bezüge zwischen Zeichnungen und Text.
II. Erwartungshorizont
Bei den auf den folgenden Seiten dargestellten erwarteten Schülerleistungen handelt es sich um Lösungs-
skizzen. Oft sind aber Lösungsvarianten möglich, die in der Skizze nur zum Teil beschrieben werden
konnten. Grundsätzlich gilt deshalb, dass alle Varianten, die zu richtigen Lösungen führen, mit voller
Punktzahl bewertet werden, unabhängig davon, ob die gewählte Variante in der Lösungsskizze aufgeführt
ist oder nicht.
Kursiv gedruckte Passagen sind Hinweise an die korrigierenden Lehrkräfte. Sie sind nicht Bestandteile der
erwarteten Schülerleistung.
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Aufgabe I: Hilfsmittelfreier Prüfungsteil
Lösungsskizze BE
I.1 Analysis
a) Es ist f 0 (x) = −2 cos x. 3
Weiter ist f 0 (0) = −2 und f (0) = 3.
Damit ergibt sich die Tangentengleichung y = −2x + 3.
b) [1; 5] 2
I.2 Lineare Algebra
a) 95 % 1
b) Berechnung: ! ! ! 2
0 0 200 0 0 200 0 20 0
P · P = 0,05 0 0 · 0,05 0 0 = 0 0 10
0 0,1 0 0 0,1 0 0,005 0 0
Beschreibung:
Mit dem Term P · P · v~n lässt sich die Zusammensetzung der Population im Jahr n + 2
berechnen.
c) Die Zusammensetzung der Population wiederholt sich im Abstand von drei Jahren. 2
I.3 Stochastik
a) P(1,1) = 28 · 17 = 1
28 2
b) Die Lösung erfolgt über das Gegenereignis. Es lautet: „Die ersten drei aufgedeckten 3
Karten sind mit ungeraden Zahlen beschriftet.“
1 − 84 · 37 · 26 = 13
14
I.4.1 Analysis
a) Der Graph von f ist eine nach unten geöffnete Parabel, die bei t = 0 und t = 4 die t-Achse 3
schneidet, d. h. es gilt f (t) ≥ 0 für 0 ≤ t ≤ 4.
Rx Rx
b) 2 + f (t) dt = 7 oder f (t) dt = 5. 2
0 0
Hinweis: Es sind nicht beide Lösungen nötig.
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Lösungsskizze BE
I.4.2 Lineare Algebra
1 2 1 2 1 2 + 2b
a) Es ist zunächst (A + B)2= 0 b · 0 b = 3
0 b2
Durch Koeffizientenvergleich mit der gegebenen Matrix ergibt sich 2 + 2b = 3 + 3b.
Damit ist b = −1.
Alternativlösung:
Es ist (A + B)2 = A·A+A·B+B·A+B·B. Dieses ist genau dann 2
gleich A +2·A·B+B ,
2
0
wenn A · B = B · A gilt. Die Matrizenprodukte ergeben A · B = 0 1 + b und
0
B·A = 0 0
0 0 .
Beide Ergebnisse sind genau dann gleich, wenn b = −1 ist.
b) Es ist 2
(C + D)2 = (C + D) · (C + D)
= C2 +C · D + D ·C + D2 .
= C2 + D2
I.4.3 Stochastik
a) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einmaligem Drehen „Gelb“ erzielt wird, beträgt 12 , 2
d. h. der Mittelpunktswinkels ist 180◦ groß.
b) Das Zufallsexperiment „zweimalige Drehen des Glücksrades“ wird zehnmal durchgeführt. 3
Dabei taucht höchstens dreimal die Farbfolge rot-rot auf.
Insgesamt (Bei Bearbeitung einer der Aufgaben I.4.1, I.4.2 oder I.4.3) 20
Standardbezug zur Aufgabe „Hilfsmittelfreier Prüfungsteil“
Teil- BE Leitideen allgemeine mathematische Anforderungs-
aufg. Kompetenzen bereich
L1 L2 L3 L4 L5 K1 K2 K3 K4 K5 K6 I II III
1 a) 3 X X I 3
b) 2 X X II II II 2
2 a) 1 X I I 1
b) 2 X I I I 2
c) 2 X II I II 2
3 a) 2 X X I I I 2
b) 3 X X II I II 3
4.1 a) 3 X III III II 1 2
b) 2 X X II III II 1 1
4.2 a) 3 X III II 2 1
b) 2 X III III II 2
4.3 a) 2 X II II II 1 1
b) 3 X X III III III 3
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Bei Bearbeitung der Aufgabe I.4.1 oder 1.4.2 erhält man den folgenden Anteil der Bewertungseinheiten:
Anteil der Bewertungseinheiten in Prozent im
Anforderungsbereich I Anforderungsbereich II Anforderungsbereich III
(30 % - 50 %) (35 % - 55 %) (15 %)
40 % 45 % 15 %
Bei Bearbeitung der Aufgabe I.4.3 erhält man den folgenden Anteil der Bewertungseinheiten:
Anteil der Bewertungseinheiten in Prozent im
Anforderungsbereich I Anforderungsbereich II Anforderungsbereich III
(30 % - 50 %) (35 % - 55 %) (15 %)
45 % 40 % 15 %
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Aufgabe II: Papierflieger
Schwerpunktthema: Analysis
Lösungsskizze BE
1.a) 2m 3
Die Flugweite ergibt sich aus s(x) = 0. Die einzige positive Lösung dieser Gleichung ist
xW ≈ 2,27, also beträgt die Flugweite 2,27 m.
b) Es ist s0 (1,55) = 2000
39
≈ 0 und s00 (1,55) ≈ −10 < 0. 3
Damit ist das Maximum bei s(1,55) = 4,45.
Also besitzt der Papierflieger in einer horizontalen Entfernung vom Abwurfpunkt von
etwa 1,55 m seine größte Flughöhe. Diese beträgt ca. 4,55 m.
c) Notwendige Bedingung für Wendepunkte von s: 4
s00 (x) = 0
Lösungen: x1 = 0 und x2 = 1
Da der Graph laut Aufgabentext zwei Wendepunkte hat, sind dies die beiden Wendestellen.
Es ist s(0) = 2 und s(1) = 3,5.
Damit sind die Wendepunkte in W1 (0|2) und W2 (1|3,5).
Die Steigungen ergeben sich mit s0 (0) = 0,5 und s0 (1) = 2,5.
d) Der Wendepunkt mit der größeren x-Koordinate stellt den Punkt dar, in dem die Steigung 2
der Flugkurve gegenüber dem Boden am größten ist.
2.a) Die Graphen, die die Flugkurven beschreiben, sind Parabeln, die durch den Punkt (0 | 2 ) 2
verlaufen und symmetrisch bezüglich der Gerade mit der Gleichung x = 2 sind. Damit
enthalten sie auch den Punkt (4|2).
b) Die Flugkurven müssen Parabelflüge sein. 5
Für eine Parabel gilt die allgemeine Funktionsgleichung pk (x) = i · x2 + k · x + j, wobei
i, j, k ∈ R.
Die Bedingung pk (0) = 2 liefert j = 2 und die Bedingung p0k (2) = 0 liefert i = −0,25k.
Somit ist gezeigt, dass die angegeben Funktionen alle möglichen Flugkurven beschreiben.
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Lösungsskizze BE
c) Die Auflösung der Gleichung pk (6) = 0 nach k ergibt k = 23 . 4
y
3
2 k = 1/4
1 k = 2/3
1 2 3 4 5 6 7 8 x
d) Mit p 1 (x) = 0 für x = 8 und p 2 (x) = 0 für x = 6 erhält man für die Längen: 4
4 3
R8 q
L1 = 1 + (p01 (x))2 dx ≈ 8,54
4 4
0
R6 q
L2 = 1 + (p02 (x))2 dx ≈ 7,12
3 3
0
Damit beschreibt p 1 die längere Flugkurve.
4
e) Es ist p0k (0) = s0 (0) nach k aufzulösen. Dies ergibt k = 12 . 3
3.a) Der Graph von g nähert sich für x → ∞ der x-Achse an, berührt diese jedoch nicht. Da 3
der Papierflieger irgendwann auf den Boden trifft, ist das Modell zur Beschreibung der
Flugkurve nur eingeschränkt geeignet.
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