Mat1-eA-Paket3.1-AB-2018
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Aufgabe II Aufgabe II: Kugelstoßen Schwerpunktthema: Analysis 1. Abbildung 1 zeigt schematisch drei Bahnen, auf denen sich eine Kugel beim Kugelstoßen bewegen kann. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1m in der Realität; die x-Achse beschreibt den horizontal verlaufenden Boden. Die Kugel soll als punktförmig angenom- men werden. y 3 2 A R 1 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x Abb. 1 Die Kugel wird aus der Ruhelage (R) beschleunigt, bis sie im Abstoßpunkt (A) die Hand der Athle- tin verlässt. Die anschließende Flugkurve der Kugel ist abhängig von ihrer Geschwindigkeit beim Abstoßen. Damit verändert sich insbesondere die Stoßweite, d. h. der horizontale Abstand zwischen Abstoßpunkt und Auftreffpunkt auf dem Boden. Die Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt kann modellhaft durch die Funktion f mit f (x) = 0,4 + 1,6 · e0,5x und x ∈ [−2; 0] beschrieben werden. a) Berechnen Sie die Länge der Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt näherungsweise als Länge der Strecke zwischen diesen beiden Punkten. (2 BE) b) Berechnen Sie den horizontalen Abstand der Kugel von der Ruhelage, wenn sie sich in der Hand der Athletin 1,50 m über dem Boden befindet. (4 BE) c) Während eines Stoßes wurde die Höhe der Kugel über dem Boden an fünf Stellen gemessen. Die fünf Stellen werden im Modell durch die x-Werte x1 bis x5 dargestellt, die gemessenen Höhen werden mit h1 bis h5 bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage: 5 Wenn der Wert des Terms ∑ (hi − f (xi )) klein ist, dann werden die gemessenen i=1 Höhen durch die Werte, die das Modell liefert, gut beschrieben. (3 BE) Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der in R definierten Funk- tionen pa mit pa (x) = −ax2 + bx + 2 und a ∈ R+ beschreiben. Alle möglichen Bahnen der Kugel wei- sen im Abstoßpunkt keinen Knick auf. d) Ermitteln Sie den Wert von b. (Zur Kontrolle: b = 0,8) (4 BE) Mat1-eA-Paket3.1-AB-2018 Aufgabe II, Seite 1 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Aufgabe II e) Berechnen Sie denjenigen Wert von a, für den der Graph von pa durch den Punkt (3|3,5) verläuft. (2 BE) f) Bei der Flugkurve zu a = 0,1 beträgt die Stoßweite 10 m. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Kugel auf dieser Flugkurve auf den Boden auftrifft. (3 BE) 0,4 g) Zeigen Sie, dass a 2 + 0,16 a Hochpunkt des Graphen von pa ist. (4 BE) h) Es gibt eine Gerade, auf der die Hochpunkte aller Graphen von pa liegen. Berechnen Sie die Steigung dieser Gerade. (3 BE) Der Zusammenhang zwischen den Werten von a und den Stoßweiten s mit s > 0 lässt sich durch die Gleichung a = 0,8 2 s + s2 darstellen. i) Leiten Sie diese Gleichung her. (3 BE) j) Bei einem Stoß beträgt die Stoßweite 20 m. Berechnen Sie die Höhe der Flugkurve. (4 BE) k) Abbildung 2 stellt den Zusammenhang zwischen den Werten von a und den Stoßweiten s graphisch dar. a 0,8 0,6 0,4 0,2 4 8 12 16 s Abb. 2 Beurteilen Sie die folgende Aussage: Unterscheiden sich die Weiten zweier Stöße um 2 m, so ist der zur größeren Weite gehörende Wert von a halb so groß wie der zur kleineren Weite gehörende. (3 BE) l) Zeichnen Sie in Abbildung 2 die beiden Parallelen zur s-Achse ein, die durch die Punkte des Graphen mit den s-Koordinaten 2 bzw. 10 verlaufen. Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph mit der a-Achse und den beiden eingezeichneten Parallelen einschließt. (7 BE) Mat1-eA-Paket3.1-AB-2018 Aufgabe II, Seite 2 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Aufgabe II 2. Auf dem Boden eines Behälters liegt eine Kugel. Abbildung 3 zeigt – um 90◦ gedreht – einen Querschnitt dieses Behälters und der Kugel. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 cm, d. h. die Kugel hat einen Durchmesser von 10 cm. y 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 x −2 −4 −6 −8 −10 Abb. 3 Die Seitenwand des Behälters lässt sich modellhaft durch Rotation des Graphen der Funktion q mit √ q (x) = 5x + 40 und x ∈ [0;13] um die x-Achse beschreiben. Der Behälter ist zum großen Teil mit Wasser gefüllt. Die Kugel befindet sich vollständig unterhalb der Wasseroberfläche. a) Zeigen Sie, dass sich im Behälter mehr als 1500 cm3 Wasser befinden. (5 BE) b) In den Behälter werden zusätzliche 300 cm3 Wasser gefüllt. Die Füllhöhe über dem Boden steigt dadurch um 1 cm. Stellen Sie eine Gleichung auf, aus der sich die Füllhöhe vor dem Einfüllen der 300 cm3 Wasser berechnen ließe. (3 BE) Mat1-eA-Paket3.1-AB-2018 Aufgabe II, Seite 3 von 3
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Aufgabe III Aufgabe III: Springkraut Schwerpunktthema: Lineare Algebra 1. In einem kartesischen Koordinatensystem ist das Viereck ABCD mit A (0|0|0), B (0|6|0), C (−4|14|4) und D (−4|8|4) gegeben. a) Zeigen Sie rechnerisch, dass das Viereck ein Parallelogramm ist, und zeichnen sie es in die Abbildung 1 ein. z 4 −8 −4 y -8 −6 −2 4 8 12 16 4 x Abb. 1 (3 BE) b) Die Ebene, die parallel zur xy-Ebene ist und durch den Punkt (0|0|1) verläuft, schneidet das Viereck ABCD in einer Strecke. Bestimmen Sie für einen der beiden Endpunkte dieser Strecke die zugehörigen Koordinaten. (2 BE) c) Auf der Gerade AD soll ein Punkt G so festgelegt werden, dass die Strecke CG zur Gerade AD senkrecht steht. Berechnen Sie die Koordinaten von G. (4 BE) Mat1-eA-Paket3.1-AB-2018 Aufgabe III, Seite 1 von 2
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Aufgabe III 2. Indisches Springkraut ist eine Zierpflanze, die Anfang des 19. Jahrhunderts in Mitteleuropa einge- führt wurde. In einem Modell werden Zustände ! einer Population Indischen Springkrauts in einem S abgeschlossenen Gebiet durch Vektoren dargestellt, wobei S die Anzahl der Samen und P die P Anzahl der Pflanzen bezeichnet. Die Entwicklung der Population vollzieht sich in zwei Schritten: ! durch ~u beschriebenen Im ersten Schritt von Frühjahrsbeginn bis Herbstbeginn entsteht aus einem f1 f2 Zustand der durch ~v = F ·~u dargestellte Zustand. Dabei ist F = mit f1 , f2 ∈ R. 0 0 Im zweiten Schritt entsteht von Herbstbeginn bis zum Beginn des folgenden Frühjahrs!aus dem 0,3 0 durch ~v beschriebenen Zustand der durch H ·~v dargestellte Zustand mit H = . 0,01 0 ! aus einem durch ~u beschriebenen Insgesamt entwickelt sich von einem Frühjahrsbeginn zum nächsten 0,3 150 Zustand der durch J ·~u dargestellte Zustand mit J = . 0,01 5 a) Bestimmen Sie die passenden Werte von f1 und f2 . (3 BE) b) Zu Beginn eines Frühjahrs sind 1000 Samen, aber keine Pflanzen vorhanden. Berechnen Sie für den Beginn des nächsten und für den Beginn des übernächsten Frühjahrs jeweils die Anzahl der Samen und die Anzahl der Pflanzen. (2 BE) c) Zu Beginn eines Frühjahrs sind sowohl Samen als auch Pflanzen vorhanden. Untersuchen Sie, ob es im Modell möglich ist, dass sich die Anzahl der Pflanzen zum nächsten Frühjahrsbeginn nicht verändert. (4 BE) d) Zu Beginn eines Frühjahrs soll ein bestimmter Anteil der Pflanzen der Population entfernt werden, um zu erreichen, dass der Zustand der Population zu Beginn des nächsten Frühjahrs mit demjenigen unmittelbar vor dem Entfernen der Pflanzen übereinstimmt. Bestimmen Sie den Anteil der zu entfernenden Pflanzen in Prozent. (7 BE) Mat1-eA-Paket3.1-AB-2018 Aufgabe III, Seite 2 von 2
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Aufgabe IV Aufgabe IV: Kunststoffteile Schwerpunktthema: Stochastik Hinweis: Zur Bearbeitung der folgenden Aufgabe kann nach Bedarf die Tabelle 1 in der Anlage genutzt werden. 1. Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größen der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden. Farbe Blau Rot Grün Mittelpunktswinkel 180◦ 120◦ 60◦ Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist 16 . a) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden, ebenfalls 16 beträgt. (2 BE) b) Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen. Berechnen Sie den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen. (3 BE) c) Die Größen der Sektoren werden geändert. Dabei wird der grüne Sektor verkleinert. Die Abbildung 1 zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die beiden ersten Drehungen beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben. B 0,14 R R 2p p G G Abb. 1 Bestimmen Sie die Größe des zum blauen Sektor gehörenden Mittelpunktswinkels. (5 BE) Mat1-eA-Paket3.1-AB-2018 Aufgabe IV, Seite 1 von 5
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Aufgabe IV 2. Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4 % der hergestellten Teile fehler- haft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenom- men werden. a) 50 Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt. Berechnen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit: A: „Genau zwei der Teile sind fehlerhaft.“ B: „Mindestens 6% der Teile sind fehlerhaft.“ (3 BE) b) Ermitteln Sie, wie viele Kunststoffteile mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens drei Teile keinen Fehler haben. (4 BE) Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermu- tet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Daher soll ein Hypo- thesentest mit einer Stichprobe von 200 Teilen auf einem Signifikanzniveau von 5 % durchgeführt wer- den. Dabei wird die Nullhypothese wie folgt gewählt: „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindes- tens 4 %.“ c) Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. (5 BE) d) Das neue Granulat ist teurer als das vorherige. Geben Sie an, welche Überlegung zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und begründen Sie Ihre Angabe. (3 BE) Mat1-eA-Paket3.1-AB-2018 Aufgabe IV, Seite 2 von 5
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Aufgabe IV Anlage zur Aufgabe „Kunststoffteile“ Tab. 1: Summierte Binomialverteilung P(X ≤ k) für n = 200. Alle freien Plätze, die unterhalb der Zahlenkolonnen liegen, würden durch das Runden auf 4 Dezimalen den Wert 1,0000 enthalten. p k 0,02 0,03 0,04 0,05 0,1 1/6 0,2 0,3 1/3 0,4 0,5 0 0176 0023 0003 0000 199 1 0894 0162 0027 0004 198 2 2351 0593 0125 0023 197 3 4315 1472 0395 0090 196 4 6288 2810 0950 0264 195 5 7867 4432 1856 0623 0000 194 6 8914 6063 3084 1237 0001 193 7 9507 7461 4501 2133 0005 192 8 9798 8504 5926 3270 0014 191 9 9925 9192 7192 4547 0035 190 10 9975 9599 8200 5831 0081 189 11 9992 9816 8925 6998 0168 188 12 9998 9922 9401 7965 0320 187 13 9999 9969 9688 8701 0566 186 14 9989 9848 9219 0929 0000 185 15 9996 9930 9556 1431 0001 184 16 9999 9970 9762 2075 0003 183 17 9988 9879 2849 0006 182 18 9995 9942 3724 0013 181 19 9998 9973 4655 0027 0000 180 20 9999 9988 5592 0052 0001 179 21 9995 6484 0094 0002 178 22 9998 7290 0163 0005 177 23 9999 7983 0269 0010 176 24 8551 0426 0020 175 25 8995 0648 0036 174 26 9328 0945 0064 173 27 9566 1329 0110 172 28 9729 1803 0179 171 29 9837 2366 0283 170 30 9905 3007 0430 169 31 9946 3711 0632 168 32 9971 4454 0899 167 33 9985 5210 1239 166 34 9992 5953 1656 165 35 9996 6658 2151 0000 164 36 9998 7305 2717 0001 163 37 9999 7877 3345 0001 162 38 8369 4019 0003 161 39 8777 4718 0005 160 40 9106 5422 0009 159 41 9362 6108 0016 0000 158 42 9556 6758 0027 0001 157 43 9699 7355 0045 0002 156 44 9801 7887 0072 0003 155 0,98 0,97 0,96 0,95 0,9 5/6 0,8 0,7 2/3 0,6 0,5 k p Mat1-eA-Paket3.1-AB-2018 Aufgabe IV, Seite 3 von 5
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Aufgabe IV Tab. 1: Summierte Binomialverteilung P(X ≤ k) für n = 200. Alle freien Plätze, die unterhalb der Zahlenkolonnen liegen, würden durch das Runden auf 4 Dezimalen den Wert 1,0000 enthalten. p k 0,02 0,03 0,04 0,05 0,1 1/6 0,2 0,3 1/3 0,4 0,5 45 9872 8349 0111 0005 154 46 9919 8738 0169 0009 153 47 9950 9056 0249 0016 152 48 9970 9310 0359 0026 151 49 9983 9506 0506 0042 150 50 9990 9655 0695 0067 149 51 9995 9764 0934 0103 148 52 9997 9843 1228 0154 147 53 9998 9897 1579 0226 0000 146 54 9999 9934 1988 0323 0001 145 55 9959 2455 0453 0002 144 56 9975 2972 0621 0003 143 57 9985 3532 0833 0005 142 58 9991 4123 1094 0008 141 59 9995 4733 1409 0013 140 60 9997 5348 1778 0021 139 61 9998 5953 2202 0034 138 62 9999 6533 2677 0052 137 63 7079 3198 0080 136 64 7579 3755 0119 135 65 8028 4338 0173 134 66 8421 4934 0247 133 67 8758 5530 0346 132 68 9040 6113 0475 131 69 9272 6670 0639 130 70 9458 7192 0844 129 71 9604 7670 1094 128 72 9716 8097 1393 0000 127 73 9800 8473 1742 0001 126 74 9862 8794 2142 0001 125 75 9906 9065 2590 0002 124 76 9938 9287 3080 0004 123 77 9959 9466 3607 0007 122 78 9974 9607 4161 0011 121 79 9984 9716 4732 0018 120 80 9990 9799 5307 0028 119 81 9994 9860 5875 0044 118 82 9996 9904 6424 0066 117 83 9998 9936 6945 0097 116 84 9999 9958 7428 0141 115 85 9999 9973 7868 0200 114 86 9983 8261 0280 113 87 9989 8603 0384 112 88 9993 8897 0518 111 89 9996 9143 0687 110 90 9998 9345 0895 109 91 9999 9508 1146 108 92 9999 9637 1444 107 93 9737 1790 106 94 9812 2184 105 0,98 0,97 0,96 0,95 0,9 5/6 0,8 0,7 2/3 0,6 0,5 k p Mat1-eA-Paket3.1-AB-2018 Aufgabe IV, Seite 4 von 5
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Aufgabe IV Tab. 1: Summierte Binomialverteilung P(X ≤ k) für n = 200. Alle freien Plätze, die unterhalb der Zahlenkolonnen liegen, würden durch das Runden auf 4 Dezimalen den Wert 1,0000 enthalten. p k 0,02 0,03 0,04 0,05 0,1 1/6 0,2 0,3 1/3 0,4 0,5 95 9869 2623 104 96 9910 3104 103 97 9939 3619 102 98 9960 4160 101 99 9974 4718 100 100 9983 5282 99 101 9989 5840 98 102 9993 6381 97 103 9996 6896 96 104 9998 7377 95 105 9999 7816 94 106 9999 8210 93 107 8556 92 108 8854 91 109 9105 90 110 9313 89 111 9482 88 112 9616 87 113 9720 86 114 9800 85 115 9859 84 116 9903 83 117 9934 82 118 9956 81 119 9972 80 120 9982 79 121 9989 78 122 9993 77 123 9996 76 124 9998 75 125 9999 74 126 9999 73 0,98 0,97 0,96 0,95 0,9 5/6 0,8 0,7 2/3 0,6 0,5 k p Beachte: Wenn Werte über den zweiten, dunkelgrau unterlegten Eingang der Tabelle abgelesen werden sollen, d. h. p ≥ 0,5, muss die Differenz 1 − (abgelesener Wert) ermittelt werden. Mat1-eA-Paket3.1-AB-2018 Aufgabe IV, Seite 5 von 5