M GK HT 1 Seite 1 von 4 Name: _______________________ Abiturprüfung 2012 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: Bei einem medizinischen Test leert eine Versuchsperson ein Glas Wein in einem Zug. Anschließend wird die zeitliche Änderungsrate der Blutalkoholkonzentration (in Promille pro Minute) aufgezeichnet. Diese wird im hier verwendeten Modell durch eine Funktion f  mit der Gleichung 1 1  20 t 1  f  t   e 60 600 beschrieben. Dabei ist t die Zeit in Minuten, die seit der Alkoholaufnahme vergangen ist. (Die Funktion f  ist für alle t  IR definiert, aber nur für 0  t  140 zur Modellierung geeignet. Beispielsweise bedeutet f   t   0,01 eine zeitliche Änderungsrate der Blutalkohol- konzentration von 0,01 Promille pro Minute.) In der Abbildung 1 ist der Graph der Funktion f  dargestellt. f   t  in Promille pro Minute t in Minuten Abbildung 1 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 Seite 2 von 4 Name: _______________________ a) (1) Berechnen Sie f   0  und f  140  , ermitteln Sie das Monotonieverhalten der Funk- tion f  und zeigen Sie, dass t 0  20 ln 10  die einzige Nullstelle von f  ist. (2) Beschreiben Sie anhand des Graphen von f  den zeitlichen Verlauf der Blutalkohol- konzentration der Versuchsperson. (17 Punkte) Wenn die Versuchsperson vor dem Leeren des Glases noch keinen Alkohol im Blut hatte, wird die Blutalkoholkonzentration (in Promille) im verwendeten Modell während der ersten 140 Minuten nach der Alkoholaufnahme durch die Funktion f mit der Gleichung 1 f t    e 3 1  t 20 1 1  t 600 3 beschrieben. b) (1) Weisen Sie die Richtigkeit dieser Aussage nach. (2) Ermitteln Sie die höchste Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson nach dem Leeren des Glases. (3) Berechnen Sie die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson 140 Minuten nach dem Leeren des Glases. (16 Punkte) c) Aus biologischen Gründen wird nach 140 Minuten die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson durch die Funktion f nicht mehr richtig beschrieben. Für die Modellie- rung besser geeignet ist die an der Stelle t  140 zusammengesetzte Funktion h mit der Gleichung  f  t  , 0  t  140 h t    , t  140  g  t  , wobei g  t   u  e  v t mit u  1,01357 , v  0,01657 gilt (siehe Abbildung 2). Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 Seite 3 von 4 Name: _______________________ h  t  in Promille t in Minuten Abbildung 2 (1) Berechnen Sie, nach wie viel Minuten in diesem Modell die Blutalkoholkonzentration erstmals unter 0,01 Promille gesunken ist. (2) Begründen Sie, warum die Beschreibung der Blutalkoholkonzentration durch die Funktion f nicht für beliebige Zeiten t  140 möglich ist. Begründen Sie, warum im Gegensatz dazu die Modellierung durch die Funktion h für t  140 sinnvoller ist. (3) Beurteilen Sie, ob die in der Abbildung 3 dargestellte Funktion k  zu einer alter- nativen Modellierung der Änderungsrate der Blutalkoholkonzentration prinzipiell geeignet ist. (17 Punkte) k   t  in Promille pro Minute t in Minuten Abbildung 3 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 Seite 4 von 4 Name: _______________________ Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 1 Seite 1 von 6 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2012 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Analysis 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2012 1. Inhaltliche Schwerpunkte  Untersuchung von ganzrationalen Funktionen einschließlich Funktionenscharen und Exponentialfunktionen einschließlich notwendiger Ableitungsregeln (Produkt- und Kettenregel) in Sachzusammenhängen  Untersuchungen von Wirkungen (Änderungsrate)  Flächenberechnung durch Integration 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 2 von 6 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) 1 (1) f   t   e 60 1  t 20 1  . 600 f   0   0,015 , f  140   0,00165 .  1 f   t    e 60  1  t 20  1 1  1  20 t   0 für alle t  IR . Also fällt die Funktion f  e   600  1200 streng monoton, insbesondere im betrachteten Zeitintervall [0; 140]. Da die Funktion f  streng monoton fällt, hat sie höchstens eine Nullstelle: 1 f   t0   0  e 60 e 1  t0 20 1  t0 20 1  0 600 1  10 . 1   t 0   ln 10  20  t 0  20 ln 10  [ 46,05] (2) Die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson nimmt bis zum Zeitpunkt t 0  46 [Minuten] bei kontinuierlich abnehmender Änderungsrate zu. Anschließend nimmt sie wieder ab, bei zum Ende des betrachteten Zeitintervalls gegen ca. –0,00165 Promille pro Minute strebender Änderungsrate. Modelllösung b) (1) Im verwendeten Modell ist für 0  t  140 die Blutalkoholkonzentration der zuvor t nüchternen Versuchsperson zum Zeitpunkt t gegeben durch  f   u  du . 0  1 Wegen   e  3 1  t 20  1 1 1 1  20 t 1  t   e   f   t  ist f eine Stammfunktion von f  . 600 3  60 600 t Da zusätzlich f  0   0 ist, gilt  f   u  du  f  t  . Damit ist die Aussage nachgewiesen. 0 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 6 (2) Da die Funktion f  [im betrachteten Zeitintervall] streng monoton fällt, hat ihre Stamm- funktion f an der Nullstelle t 0  20 ln 10   46,05 von f  (vgl. Teilaufgabe a) (1)) das 3 ln 10  lokale und zugleich globale Maximum f  20 ln 10      0,223 . 10 30 Die höchste Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson [wird nach ca. 46 Minuten gemessen und] beträgt ca. 0,22 Promille. 1 1 7  e  0,100 . (3) f 140   10 3 Die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson beträgt 140 Minuten nach dem Leeren des Glases ca. 0,100 Promille. Modelllösung c) (1) Für den gesuchten Zeitpunkt t gilt offenbar t  140 und daher h  t   g  t   u  e Es ist u  e  v t  v t . 1  0,01  t u  bei Verwendung  0,01   v  t  ln    [ 278,7 ln 100    v  u  der angegebenen gerundeten Werte von u und v]. Nach 279 Minuten ist die Blutalkoholkonzentration erstmals unter 0,01 Promille gesunken. [Auch systematisches Probieren wird akzeptiert.] 1 10 (2) Es gilt z. B. f  200    e  0 . Negative Werte der Blutalkoholkonzentration können 3 jedoch nicht existieren. Für t  140 gilt: h  t   g  t  . Im Gegensatz zu f  t  ist g  t   u  e  v t für alle t  140 positiv und nähert sich für größer werdendes t dem Wert 0 [im Einklang mit der Tat- sache, dass die Blutalkoholkonzentration nach endlicher Zeit unter die Nachweisbar- keitsgrenze sinkt]. (3) Die vom Graphen der Funktion k  und den Koordinatenachsen im 1. Quadranten berandete Fläche ist offensichtlich größer als die Fläche zwischen dem Graph von k  und der t-Achse im 4. Quadranten. Zusätzlich ist k   t   0 für t  140 . Der Abbau des Alkohols wäre abgeschlossen, obwohl die Blutalkoholkonzentration noch größer ist als 0. Das steht im Widerspruch zur Realität. Die Funktion k  ist daher nicht geeignet, die Änderungsrate der Blutalkoholkonzentration zu beschreiben. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 1 Seite 4 von 6 6.2 Teilleistungen – Kriterien Teilaufgabe a) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) berechnet f   0  und f   140  . 4 2 (1) ermittelt das Monotonieverhalten der Funktion f  . 5 3 (1) zeigt, dass t 0  20 ln 10  die einzige Nullstelle von f  ist. 4 4 (2) beschreibt anhand des Graphen von f  den zeitlichen Verlauf der Blutalkohol- konzentration der Versuchsperson. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe b) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) weist die Richtigkeit dieser Aussage nach. 6 2 (2) ermittelt die höchste Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson nach dem Leeren des Glases. 7 3 (3) berechnet die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson 140 Minuten nach dem Leeren des Glases. 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe c) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) berechnet, nach wie viel Minuten in diesem Modell die Blutalkoholkonzentration erstmals unter 0,01 Promille gesunken ist. 4 2 (2) begründet, warum die Beschreibung der Blutalkoholkonzentration durch die Funktion f nicht für beliebige Zeiten t  140 möglich ist. 4 3 (2) begründet, warum die Modellierung durch die Funktion h für t  140 sinnvoller ist. 5 4 (3) beurteilt, ob die Funktion k  zur Modellierung prinzipiell geeignet ist. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 5 von 6 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) berechnet f   0  und … 4 2 (1) ermittelt das Monotonieverhalten … 5 3 (1) zeigt, dass t 0  20 ln 10  … 4 4 (2) beschreibt anhand des … 4 EK 2 ZK DK sachlich richtige Alternativen: (17) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe a) 17 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) weist die Richtigkeit … 6 2 (2) ermittelt die höchste … 7 3 (3) berechnet die Blutalkoholkonzentration … 3 sachlich richtige Alternativen: (16) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe b) 2 16 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 6 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) berechnet, nach wie … 4 2 (2) begründet, warum die … 4 3 (2) begründet, warum die … 5 4 (3) beurteilt, ob die … 4 EK ZK sachlich richtige Alternativen: (17) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe c) 17 Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe 2. Nur für den Dienstgebrauch! DK