M LK HT 1 Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2012 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenstellung: Bei einem medizinischen Test leert eine Versuchsperson ein Glas Wein in einem Zug. Anschließend wird der zeitliche Verlauf der Blutalkoholkonzentration (in Promille) auf- gezeichnet. Diese wird im hier verwendeten Modell zunächst durch eine Funktion fa mit der Gleichung a  fa (t )  1  e 60  1  t 20  1 t   600 beschrieben. Dabei ist a die Alkoholmenge im Wein in Gramm und t die Zeit in Minuten, die seit der Alkoholaufnahme vergangen ist. Die Funktion fa ist für alle a  IR und alle t  IR definiert. Zur Modellierung ist die Funktion für a  2 und eine gewisse Zeitspanne geeignet. In der Abbildung 1 ist der Graph der Funktion f20 dargestellt. 1 f20  t  in Promille t in Minuten Abbildung 1 1 Der Einfachheit halber enthält ihr Funktionsterm fa (t ) nur die Maßzahlen der Größen a und t bezogen auf die genannten Einheiten. Beispielsweise bedeutet fa (t )  0, 2 eine Blutalkoholkonzentration von 0,2 Promille. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 Seite 2 von 3 Name: _______________________ a) Bestimmen Sie die globale Maximalstelle t m der Funktion fa in Abhängigkeit von a. Begründen Sie den Einfluss des Parameters a auf die Lage der Maximalstelle und inter- pretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang. 1 a [Zur Kontrolle: fa(t )   e 600  2 1  t 20  a  1  ; t m  20 ln   ] 2    (14 Punkte) Das Glas Wein, das die Versuchsperson in einem Zug leert, enthält 20 g reinen Alkohol. Die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson zur Zeit t nach dem Leeren des Glases wird nun für 0  t  140 durch die Funktion f mit der Gleichung 1  f (t )  f20 (t )    1  e 3  1  t 20  1 t  600  beschrieben. b) (1) Berechnen Sie die höchste Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson nach dem Leeren des Glases. (2) Ermitteln Sie durch Integration eine Gleichung einer Stammfunktion F von f. 1 [Zur Kontrolle: F  t    20e 3 (3) Berechnen Sie 1  t 20 F 140   F  0  140 1 2  t t]  400  und interpretieren Sie diesen Ausdruck im Sachzu- sammenhang. (4) Berechnen Sie die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson 140 Minuten nach dem Leeren des Glases. (17 Punkte) c) Aus biologischen Gründen wird nach 140 Minuten die Blutalkoholkonzentration der Ver- suchsperson durch die Funktion f nicht mehr richtig beschrieben. Für die Modellierung besser geeignet ist die an der Stelle t  140 zusammengesetzte Funktion h mit der Gleichung  f  t  , 0  t  140 h t    t  140  g  t  , mit g  t   u  e  v t , wobei u  0 und v  0 geeignet zu wählen sind (siehe Abbildung 2). Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 Seite 3 von 3 Name: _______________________ (1) Bestimmen Sie die Parameter u und v so, dass die Funktion h an der Stelle t  140 differenzierbar ist. [Zur Kontrolle: u  1,01357, v  0,01657 ] (2) Untersuchen Sie, ob die Funktion h an der Stelle t  140 zweimal differenzierbar ist. (3) Begründen Sie, zu welchen Zeitpunkten die Blutalkoholkonzentration der Versuchs- person bei Modellierung durch die Funktion h am schnellsten zu- bzw. abnimmt, und berechnen Sie die zugehörigen Änderungsraten. (19 Punkte) h  t  in Promille t in Minuten Abbildung 2 Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 1 Seite 1 von 7 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2012 Mathematik, Leistungskurs 1. Aufgabenart Analysis 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2012 1. Inhaltliche Schwerpunkte  Untersuchung von ganzrationalen Funktionen, Exponentialfunktionen einschließlich Funktionenscharen und Logarithmusfunktionen sowie notwendiger Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel) in Sachzusammenhängen  Untersuchungen von Wirkungen (Änderungsrate)  Integrationsregeln (partielle Integration, Substitution)  Flächenberechnung durch Integration 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 2 von 7 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) a  fa (t )  1  e 60  1  t 20  1 t , t  IR .  600  a  1 Es gilt fa(t )   e 60  20 a fa(t )   e 24000 1  t 20 1  t 20  1 a  e   600 1200 1  t 20 1 1 a    e 600 600  2 1  t 20   1 ,  . Für eine lokale Maximalstelle t m gilt: a fa  t m   0  e 2 e 1  tm 20 1  tm 20 1  0 2  a 1 2   t m  ln   20 a a  t m  20 ln   2 [Für a  2 ist t m  0 .] Da fa(t )  0 ist für a  2 und für alle t  IR , ist der Funktionsgraph a von fa rechtsgekrümmt. Somit hat die Funktion fa an der Stelle t m  20 ln   ihr globales 2 Maximum. Da die Logarithmusfunktion streng monoton steigt, ist t m umso größer, je größer a ist. Je größer die Menge des getrunkenen Alkohols ist, desto später wird das Maximum der Blutalkoholkonzentration erreicht. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 1 Seite 3 von 7 Modelllösung b) 3 ln 10    0,223 . (1) Für a  20 ist [ t m  20 ln 10   46,05 und] f20  20 ln 10    10 30 Die höchste Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson [wird 46 Minuten] nach dem Leeren des Glases [erreicht und] beträgt ca. 0,22 Promille. 1   1  (2) F  t       1  e  t  dt  3  600     1  t  1  1 2 20    t  20e t c  3  1200  1  t  1  1 2 20  t  t  20e c 3  400  1  t 20 (3) F 140   F  0  140  0,169 [Promille]. Dieser Ausdruck gibt die mittlere Blutalkoholkonzentration innerhalb des betrachteten 140 Minuten langen Zeitintervalls an. 1 140 7 (4) f 140    1  e    0,100 . 3 600 Nach 140 Minuten beträgt die Blutalkoholkonzentration ca. 0,100 Promille. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 4 von 7 Modelllösung c)  f  t  , 0  t  140  v t (1) h  t    mit g  t   u  e , u  0 , v  0 . t  140  g  t  , Die Funktion h ist an der Stelle t  140 genau dann differenzierbar, wenn gilt: g 140   f 140  und g 140   f  140  . g 140   f 140   ue (*) Es gilt: g  t   v  u  e  v t g 140   f  140   140 v  f 140  1 und f (t )  e 60 (**)  u  v  e 1  t 20 140 v 1  (s. Teilaufgabe a). 600 1 7 1  e  60 600 Division der Gleichung (**) durch die Gleichung (*) ergibt f 140  1 1 7   1   e   0,01657 . Einsetzen in (*) ergibt u  140 v  1,01357 . v e f 140   600 60  (2) Die Funktion h ist genau dann an der Stelle t  140 zweimal differenzierbar, wenn gilt: f (140)  g(140) . Diese Bedingung ist nicht erfüllt, da für alle t  IR gilt: 1 f (t )   e 1200 1  t 20  0 und g  t   v  u  e 2  v t  0 . Daher ist die Funktion h an der Stelle t  140 nicht zweimal differenzierbar. (3) Die durch die Funktion h beschriebene Blutalkoholkonzentration kann nur im durch die Teilfunktion f abgedeckten Zeitintervall [0; 140] steigen, da die für t  140 verwendete Teilfunktion g wegen g  t    v  u  e  v t  0 für alle t  IR streng monoton fällt. 1 Da der Graph von f wegen f (t )   e 1200 1  t 20  0 für alle t  IR rechtsgekrümmt ist, ist seine Steigung an der linken Randstelle t  0 des betrachteten Zeitintervalls am 1 1   0,015 [Promille pro Minute]. größten: f (0)  60 600 Da der Graph von f für t  140 rechtsgekrümmt und der Graph von g für t  140 links- gekrümmt ist ( g  t   v  u  e 2  v t  0 für alle t  IR ), nimmt die durch die Funktion h beschriebene Blutalkoholkonzentration zum Zeitpunkt t  140 am schnellsten ab, und 1 7 1 zwar mit f (140)  e   0,00165 Promille pro Minute (vgl. (1)). 60 600 Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 1 Seite 5 von 7 6.2 Teilleistungen – Kriterien Teilaufgabe a) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 berechnet die erste und zweite Ableitung der Funktion fa . 3 2 bestimmt die globale Maximalstelle t m der Funktion fa in Abhängigkeit von a. 6 3 begründet den Einfluss des Parameters a auf die Lage der Maximalstelle. 3 4 interpretiert die Ergebnisse im Sachzusammenhang. 2 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) berechnet die höchste Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson. 5 2 (2) ermittelt eine Gleichung einer Stammfunktion F von f. 4 3 (3) berechnet und interpretiert den Ausdruck im Sachzusammenhang. 6 4 (4) berechnet die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson 140 Minuten nach Leeren des Glases. 2 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe c) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt u und v. 7 2 (2) untersucht, ob die Funktion h an der Stelle t  140 zweimal differenzierbar ist. 4 3 (3) begründet, zu welchen Zeitpunkten die Blutalkoholkonzentration am schnellsten zu- bzw. abnimmt. 5 4 (3) berechnet die zugehörigen Änderungsraten. 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 7 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 berechnet die erste … 3 2 bestimmt die globale … 6 3 begründet den Einfluss … 3 4 interpretiert die Ergebnisse … 2 EK 2 ZK DK sachlich richtige Alternativen: (14) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe a) 14 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) berechnet die höchste … 5 2 (2) ermittelt eine Gleichung … 4 3 (3) berechnet und interpretiert … 6 4 (4) berechnet die Blutalkoholkonzentration … 2 sachlich richtige Alternativen: (17) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe b) 2 17 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M LK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 7 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt u und … 7 2 (2) untersucht, ob die … 4 3 (3) begründet, zu welchen … 5 4 (3) berechnet die zugehörigen … 3 EK ZK sachlich richtige Alternativen: (19) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe c) 19 Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe 2. Nur für den Dienstgebrauch! DK