M_13_t_L_HT_GG.pdf
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abiturprüfungen“
M LK HT 1 Seite 1 von 4 Name: _______________________ Abiturprüfung 2013 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenstellung: Die Buche ist ein in weiten Teilen Europas heimischer Laubbaum. Ein Biologe modelliert das Höhenwachstum von Buchen durch Funktionen fa mit der Gleichung fa t a 1 e 0,02 t 2 1 , t 0 , und dem Parameter a 0 . Dabei wird t als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr, fa (t ) als Maßzahl zur Einheit 1 Meter aufgefasst. Der Zeitpunkt des Keimens des Buchensamens wird durch t 0 festgelegt. a) (1) Zeigen Sie rechnerisch, dass gemäß der Modellierung durch eine Funktion fa die Höhe einer Buche ständig zunimmt. (2) Bei einer 10 Jahre alten Buche wird eine Höhe von 1,15 m gemessen. Berechnen Sie den Parameterwert von a derjenigen Funktion fa , die das Höhen- wachstum dieser Buche beschreibt. (3) Erklären Sie die Bedeutung des Parameters a für das durch die Funktion fa beschriebene Höhenwachstum einer Buche. [Zur Kontrolle: fa t 0,04a e 0,02 t 1e 0,02 t ] (14 Punkte) 1 Die Funktion fa ist für alle t IR definiert, wird aber nur für t 0 zur Modellierung verwendet. Nur für den Dienstgebrauch!
M LK HT 1 Seite 2 von 4 Name: _______________________ Im Folgenden wird eine Buche betrachtet, deren Höhenwachstum durch die Funktion f mit 2 0,02 t der Gleichung f t f35 t 35 1 e , t 0 , modelliert wird. Der Graph von f ist in der Abbildung 1 dargestellt. b) (1) Begründen Sie, dass gemäß der Modellierung die Buche nicht höher als 35 m werden kann. (2) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Buche zum Zeitpunkt t1 50 ln 2 am stärksten wächst. [Hinweis: In Abbildung 2 auf Seite 4 ist auch der Graph von f dargestellt. Zur Kontrolle: f t 1, 4 e 0,02 t e 0,04 t ; f t 0,028 2 e 0,04 t e 0,02 t ] (14 Punkte) [Meter] t [Jahre] Abbildung 1 Nur für den Dienstgebrauch!
M LK HT 1 Seite 3 von 4 Name: _______________________ c) In Abbildung 2 auf Seite 4 ist neben dem Graphen der Wachstumsgeschwindigkeit f ' der oben genannten Buche auch der Graph der Wachstumsgeschwindigkeit g' einer 0,02 t 0,04 t e , t 0 , dargestellt. Die zweiten Buche mit der Gleichung g t 1,1 e zweite Buche hat an einem anderen Standort zum selben Zeitpunkt wie die erste Buche gekeimt. (1) Begründen Sie anhand der Abbildung 2, dass die erste Buche zu jedem Zeitpunkt t 0 eine größere Höhe hat als die zweite Buche. (2) Bestimmen Sie durch Integration eine Gleichung einer Stammfunktion h von g . [Mögliches Ergebnis: h t 27,5 e 0,04 t 2e 0,02 t ] (3) Jemand behauptet, dass die beiden Buchen im Alter von 50 Jahren gemäß den Modellierungen ihres Höhenwachstums einen Höhenunterschied von mindestens 3,50 m aufweisen müssten. Prüfen Sie, ob die Behauptung wahr ist. (12 Punkte) d) Wissenschaftliche Untersuchungen haben ergeben: Bäume erreichen die Hälfte ihrer Endhöhe in der ersten Hälfte ihrer Lebenszeit, und zwar nachdem ihre Wachstumsgeschwindigkeit ihr Maximum hatte. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Buche, deren Höhenwachstum durch die Funktion f modelliert wird, ein Lebensalter von 350 Jahren erreicht. (1) Begründen Sie, dass es zur Vereinfachung möglich ist, von einer Endhöhe dieser Buche von 35 m auszugehen. (2) Zeigen Sie, dass unter dieser Voraussetzung die halbe Endhöhe dieser Buche zum Zeitpunkt t2 50 ln 1 0,5 erreicht wird. (3) Prüfen Sie, ob die Modellierung des Höhenwachstums dieser Buche mit den Ergeb- nissen der wissenschaftlichen Untersuchungen verträglich ist. (10 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!
M LK HT 1 Seite 4 von 4 Name: _______________________ , [Meter/Jahr] t [Jahre] Abbildung 2 Zugelassene Hilfsmittel: Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!
Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 1 Seite 1 von 8 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2013 Mathematik, Leistungskurs 1. Aufgabenart Analysis 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2013 1. Inhaltliche Schwerpunkte Untersuchung von ganzrationalen Funktionen, Exponentialfunktionen einschließlich Funktionenscharen und Logarithmusfunktionen sowie notwendiger Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel) in Sachzusammenhängen Untersuchungen von Wirkungen (Änderungsrate) Integrationsregeln (partielle Integration, Substitution) Flächenberechnung durch Integration 2. Medien/Materialien entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!
M LK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 2 von 8 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) (1) Es ist zu zeigen, dass fa für t 0 streng monoton steigt. fa t a 1 e a2 1 e 0,04a e 0,02 e 1 e 0,02 t 2 0,02 t 0,02 t 0,02 t 0,02 t Für a 0 und t 0 gilt: e 0,02 t 0 und 1 e 0,02 t 0 und somit fa t 0 . Da fa an der Stelle t 0 differenzierbar [insbesondere stetig] ist, steigt fa streng monoton für t 0 . Die Höhe der durch fa modellierten Buche nimmt daher ständig zu. [Es kann auch anhand des Monotonieverhaltens von t e 0,02 t und t 1 e 0,02 t argumentiert werden.] (2) Es gilt: fa 10 1,15 a 1 e 0,2 2 1,15 a 1,15 1 e 2 0,2 34,999 . Der gesuchte Wert ist a 35 . (3) Es gilt fa t a f1 t und fa t a f1 t . Daher hat eine Buche, deren Höhenwachstum durch die Funktion fa beschrieben wird, zu jedem Zeitpunkt t die a-fache Höhe und die a-fache Wachstumsgeschwindigkeit des durch die Funktion f1 gegebenen („Einheits“-)Höhenwachstums. Die Höhe der Buche nähert sich der Endhöhe a Meter, da für t 0 gilt: 0 fa t a und a lim fa t . t Nur für den Dienstgebrauch!
M LK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 8 Modelllösung b) (1) Für t 0 gilt 0 e 1 und daher f (t ) 35 1 0 35 . 2 0 ,02t [Auch der Verweis auf die Lösung von a) (1) mit a 35 ist möglich.] (2) Gesucht ist das globale Maximum von f . 35 2 1 e 0,02 e 1, 4 e 1 e 1, 4 e e , f t 35 1 e 2 0,02 t 0,02 t 0,02 t 0,02 t 0,02 t 0,02 t 0,04 t f t 1, 4 0,02 e 0,02 t 0,04 e 0,04 t 0,028 2 e 0,04 t e 0,02 t . [ f t kann auch mit Bezug auf die Lösung von a) (2) als f35 t bestimmt werden.] f t1 0 0,028 e 0,02 t1 2e 0,02 t1 1 0 2e 0,02 t1 1 0 t1 50 ln 2 34,7 Da f an der Stelle t1 50 ln 2 das Vorzeichen von + nach – wechselt, ist f t1 lokales Maximum von f . Als einziges lokales Extremum ist f t1 auch globales Maximum von f . Die Buche wächst zum Zeitpunkt t1 50 ln 2 bzw. im Alter von knapp 35 Jahren am stärksten. Modelllösung c) (1) Die Fläche unter dem Graphen von f bzw. g im Intervall [0; t ] stellt den Höhen- zuwachs des betreffenden Baumes vom Keimen bis zum Zeitpunkt t dar. Da die Wachstumsgeschwindigkeit der ersten Buche [bis auf Gleichheit für t 0 ] zu jedem Zeitpunkt t 0 des in der Abbildung 2 dargestellten Zeitintervalls größer als die Wachstumsgeschwindigkeit der zweiten Buche (siehe (1)) ist und die Anfangshöhe in beiden Fällen 0 m beträgt, ist die Höhe der ersten Buche zu jedem Zeitpunkt t 0 größer als die Höhe der zweiten Buche. [Alternative Lösungswege sind denkbar.] Nur für den Dienstgebrauch!
Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 1 Seite 4 von 8 1 at at (2) Unter Verwendung von e e , a 0 , ergibt sich: a h t g(t )dt 1,1 e 0,02 t 1,1 50 e 27,5 e e 0,02 t 0,04 t 0,04 t dt 25 e 2e 0,02 t 0,04 t C C. Für C 0 erhält man das Kontrollergebnis. (3) Gemäß den Modellierungen ihres Höhenwachstums beträgt der Höhenunterschied der beiden 50 Jahre alten Buchen: 50 d f 50 g t dt 0 f 50 h t 0 50 f 50 h 50 h 0 2,996... 3. Da der Höhenunterschied nur knapp 3 m beträgt, ist die Behauptung falsch. Modelllösung d) (1) Die Buche, deren Höhenwachstum durch die Funktion f beschrieben wird, hat im Alter von 350 Jahren wegen f (350) 34,94 ihre „theoretische Endhöhe“ von lim f t 35 Metern (vgl. a) (1) und b) (1)) praktisch erreicht. t (2) Ausgehend von der Endhöhe 35 m gilt: 2 35 35 0,02 t2 f t2 35 1 e 2 2 1 0,02 t2 2 0,02 t2 1 e 2 , da 1 e 0 für t2 0, 0,02 t2 1e 0,5 0,02 t2 ln 1 0,5 t2 50 ln 1 0,5 Nur für den Dienstgebrauch!
Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 1 Seite 5 von 8 (3) Der Zeitpunkt t2 50 ln 1 0,5 61 [Jahre] liegt innerhalb der ersten Hälfte der mit 350 Jahren angenommenen Lebensdauer der betrachteten Buche. Der Zeitpunkt stärksten Wachstums liegt gemäß Teilaufgabe b) (2) bei t1 50 ln 2 35 [Jahren] und damit vor dem Zeitpunkt t2 , zu dem die halbe Endhöhe erreicht wird. Insgesamt ist das durch die Funktion f beschriebene Höhenwachstum der Buche mit den Ergebnissen der Untersuchungen verträglich. 6.2 Teilleistungen – Kriterien Teilaufgabe a) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) zeigt rechnerisch, dass gemäß der Modellierung durch die Funktion fa die Höhe der Buche ständig zunimmt. 6 2 (2) berechnet den Parameterwert von a derjenigen Funktion fa , die das Höhen- wachstum dieser Buche beschreibt. 3 3 (3) erklärt die Bedeutung des Parameters a für das durch die Funktion fa beschriebene Höhenwachstum einer Buche. 5 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!
Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 1 Seite 6 von 8 Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) begründet, dass gemäß der Modellierung die Buche nicht höher als 35 m werden kann. 3 2 (2) berechnet die ersten beiden Ableitungen von f. 4 3 (2) berechnet die Nullstelle von f . 3 4 (2) zeigt rechnerisch, dass die Buche zum angegebenen Zeitpunkt t1 am stärksten wächst. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe c) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) begründet anhand der Abbildung 2, dass die erste Buche zu jedem Zeitpunkt t 0 eine größere Höhe hat als die zweite Buche. 4 2 (2) bestimmt eine Gleichung einer Stammfunktion h von g . 4 3 (3) prüft, ob die Behauptung wahr ist. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe d) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) begründet, dass es zur Vereinfachung möglich ist, von einer Endhöhe der Buche von 35 m auszugehen. 2 2 (2) zeigt, dass unter dieser Voraussetzung die halbe Endhöhe der Buche zum Zeit- 4 punkt t 2 50 ln 1 0,5 erreicht wird. 3 (3) prüft, ob die Modellierung des Höhenwachstums der Buche mit den Ergebnissen der Untersuchungen verträglich ist. Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch! 4