M GK HT 1 (GG) Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2015 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung Ein Schüler beobachtet in einem Experiment insgesamt sechs Tage lang die Vermehrung von Pantoffeltierchen in einer Nährlösung. Zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage verwendet er für 0 ≤ t ≤ 3 die Funktion N 1 mit der Gleichung 500 ⋅ e N1 (t ) = 0,6⋅t , t ∈ IR . Dabei wird t als Maßzahl zur Einheit 1 Tag und N 1 ( t ) als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt t aufgefasst. Der Graph von N 1 ist in der Abbildung dargestellt. Abbildung a) (1) Berechnen Sie den Funktionswert von N 1 an der Stelle t = 3 und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang. (2) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem 2000 Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 (GG) Seite 2 von 3 Name: _______________________ (3) Berechnen Sie, um wie viele Tiere pro Tag die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung während der ersten drei Tage durchschnittlich wächst. 0,6⋅t (4) Begründen Sie, warum eine Funktion mit dem Funktionsterm 500 ⋅ e nur für einen begrenzten Zeitraum zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen geeignet ist. (3 + 4 + 3 + 4 Punkte) Während der ersten drei Tage (für 0 ≤ t ≤ 3 ) wird im Modell des Schülers die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen durch die Funktion r1 mit der Gleichung r1 ( t ) = 300 ⋅ e 0 ,6⋅t , t ∈ IR , beschrieben. Dabei wird r1 ( t ) als Maßzahl zur Einheit 1 Tier pro Tag aufgefasst. b) Für die Funktion r1 und die zugehörige Ableitungsfunktion r1′ gilt für alle t ∈ IR die Aussage: r1 ( t ) > 0 und r1′ ( t ) > 0 . [Die Gültigkeit dieser Aussage müssen Sie nicht nachweisen.] Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang. (6 Punkte) c) Bei der weiteren Beobachtung erkennt der Schüler, dass nach etwa drei Tagen die momen- tane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen geringer wird. Zur Modellierung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung (also für 3 ≤ t ≤ 6 ) verwendet der Schüler die Funktion r2 mit der Gleichung 3,6 − 0,6⋅t r2 ( t ) = 300 ⋅ e , t ∈ IR . Dabei wird r2 ( t ) als Maßzahl zur Einheit 1 Tier pro Tag aufgefasst. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 (GG) Seite 3 von 3 Name: _______________________ (1) Zeigen Sie, dass für die Funktionen r1 und r2 für alle a ∈ IR die Gleichung r2 ( 3 + a ) = r1 ( 3 − a ) gilt. (2) Interpretieren Sie die Bedeutung der Gleichung r2 ( 3 + a ) = r1 ( 3 − a ) für 0 ≤ a ≤ 3 im Sachzusammenhang. 5 3,6 − 0,6⋅x eine (3) Zeigen Sie, dass die Funktion F mit der Gleichung F ( x ) =− ⋅ e 3 3,6 − 0,6⋅ x Stammfunktion der Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = e ist. (4) Bestimmen Sie, wie viele Pantoffeltierchen in der Nährlösung im Laufe des vierten Tages (d. h. im Intervall [3;4]) hinzukommen, wenn die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen für 3 ≤ t ≤ 6 durch die Funktion r2 beschrieben wird. (5) Ermitteln Sie ausgehend von den Funktionen N 1 und r2 eine Gleichung der Funk- tion N 2 , durch die die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung beschrieben werden kann. [Zur Kontrolle: N 2 ( t ) = 1000 ⋅ e 1,8 − 500 ⋅ e 3,6 − 0,6⋅t ] (6) Der Schüler verwendet die Funktion N 2 auch zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen für t ≥ 6 . Begründen Sie, dass in diesem Modell die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nähr- lösung zu keinem Zeitpunkt größer als 6050 wird. (5 + 4 + 4 + 6 + 7 + 4 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: • Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 1 (GG) Seite 1 von 5 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2015 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Analysis 2. Aufgabenstellung 1 siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage • entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2015 1. Inhaltliche Schwerpunkte • Untersuchung von ganzrationalen Funktionen einschließlich Funktionenscharen und Exponentialfunktionen in Sachzusammenhängen, notwendige Ableitungsregeln (Produkt- und Kettenregel) • Untersuchung von Wirkungen (Integral der Änderungsrate) • Flächenberechnung durch Integration 2. Medien/Materialien • entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel • Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW 6. Seite 2 von 5 Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Teilaufgabe a) (1) N 1 ( 3 ) =500 ⋅ e 0 ,6⋅3 ≈ 3025 . Im gegebenen Modell sind drei Tage nach Beobachtungsbeginn ungefähr 3025 Pantoffel- tierchen in der Nährlösung vorhanden. (2) N 1 (= t ) 2000 ⇔ 500 ⋅ e = 2000 ⇔ e = 4 ⇔= t 0 ,6⋅t 0 ,6⋅t ln ( 4 ) 0, 6 ≈ 2, 31 . Nach dem Modell sind ungefähr 2,31 Tage nach Beobachtungsbeginn 2000 Pantoffel- tierchen in der Nährlösung enthalten. (3) N1 (3) − N1 ( 0 ) 3−0 3025 − 500 ≈ ≈ 842 . 3 Die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung wächst nach dem Modell während der ersten drei Tage durchschnittlich um ungefähr 842 Tierchen pro Tag. (4) Die Funktionswerte der Funktion mit dem Funktionsterm 500 ⋅ e 0 ,6 ⋅t wachsen mit größer werdendem t unbeschränkt. Da in einer Nährlösung nur ein beschränktes Platzangebot besteht, ist eine Funktion mit diesem Funktionsterm nur für einen begrenzten Zeitraum zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen geeignet. Teilaufgabe b) Da für alle t ∈ IR die Aussage r1 ( t ) > 0 gilt, ist die Änderungsrate von N 1 immer positiv. Im Modell des Schülers nimmt daher die Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage ständig zu. Da zusätzlich für alle t ∈ IR die Aussage r1′ ( t ) > 0 gilt, ist auch die Änderungsrate von r1 immer positiv. Die Anzahl der Pantoffeltierchen wächst daher im Modell des Schülers immer schneller. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 5 Teilaufgabe c) (1) r2 ( 3 + a ) = 300 ⋅ e r1 ( 3 − a ) = 300 ⋅ e 3,6 − 0,6⋅( 3 + a ) 0,6⋅( 3 − a ) 3,6 −1,8 − 0,6⋅a = 300 ⋅ e = 300 ⋅ e 1,8 − 0,6⋅a = 300 ⋅ e 1,8 − 0,6⋅a . . Somit gilt: r2 ( 3 + a ) = r1 ( 3 − a ) . (2) Im Sachzusammenhang bedeutet die Gleichung r2 ( 3 + a ) = r1 ( 3 − a ) , dass die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung im gleichen zeitlichen Abstand vor und nach dem Zeitpunkt „drei Tage nach Beobachtungsbeginn“ jeweils gleich schnell wächst. (3) Mit der Kettenregel gilt: ′ 5  3  3,6 − 0,6⋅x  5 3,6 −0,6⋅x  3,6 − 0,6⋅ x . ⋅ = − ⋅ − ⋅ = = F ′ ( x ) =− e e e f x ( )  3    3  5   Wegen F ′ ( x ) = f ( x ) handelt es sich bei F um eine Stammfunktion von f. (4) Mit Hilfe von c) (3) erhält man: 4 4   5  3 ,6 − 0 ,6⋅t  3 ,6 − 0 ,6⋅4 3 ,6 − 0 ,6⋅3 . = ⋅ − ⋅ = − ⋅ − − ⋅ ≈ d 300 500 500 r t t e e e 1365 ( ) 2  3   ∫3    3 ( ) Im Laufe des vierten Tages kommen in der Nährlösung ungefähr 1365 Pantoffeltierchen hinzu. t (5) N 2 ( t= ) N1 ( 3 ) + ∫ r2 ( u ) du= 500 ⋅ e t 0,6⋅3 3 = 500 ⋅ e 1 ,8 − 500 ⋅ e 3 ,6 − 0 ,6⋅t + 500 ⋅ e 1 ,8   5  3,6 −0,6⋅u  + 300 ⋅  −  ⋅ e   3  3 = 1000 ⋅ e 1 ,8 − 500 ⋅ e 3 ,6 − 0 ,6⋅t . [Alternative: N 2 ist eine Stammfunktion von r2 , d. h.  5  3,6 −0,6⋅t 3,6 − 0,6⋅t 300 ⋅  −  ⋅ e N2 (t ) = +c = −500 ⋅ e +c.  3 Aus N 2 ( 3 ) = N 1 ( 3 ) ergibt sich −500 ⋅ e −500 ⋅ e Damit gilt: N 2 ( t ) = (6) Für alle t ∈ IR gilt 500 ⋅ e N 2 ( t ) = 1000 ⋅ e 1,8 3,6 − 0,6⋅t 3,6 − 0,6⋅t − 500 ⋅ e 3,6 − 0,6⋅t 3,6 − 0,6⋅3 + c= 500 ⋅ e 0,6⋅3 1,8 . Also ist = c 1000 ⋅ e . 1,8 + 1000 ⋅ e .] > 0 . Daraus folgt für alle t ∈ IR : < 1000 ⋅ e 1,8 ≈ 6049,6 < 6050 . Bei einer Modellierung mit N 2 wird somit die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nähr- lösung nie größer als 6050. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW 7. Seite 4 von 5 Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) berechnet den Funktionswert von N 1 an der Stelle t = 3 und interpretiert diesen Wert im Sachzusammenhang. 3 2 (2) bestimmt rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem 2000 Pan- toffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind. 4 3 (3) berechnet, um wie viele Tiere pro Tag die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung während der ersten drei Tage durchschnittlich wächst. 3 4 (4) begründet, warum eine Funktion mit dem Funktionsterm 0,6⋅t nur für einen begrenzten Zeitraum zur Model- 500 ⋅ e lierung der Anzahl der Pantoffeltierchen geeignet ist. 4 EK 2 ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (14) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 14 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling 1 interpretiert die Bedeutung der Aussage r1 ( t ) > 0 und r1′ ( t ) > 0 im Sachzusammenhang. maximal erreichbare Punktzahl 6 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (6) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 2 6 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 5 von 5 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling 1 maximal erreichbare Punktzahl (1) zeigt, dass für die Funktionen r1 und r2 für alle a ∈ IR 5 2 (2) interpretiert die Bedeutung der Gleichung r2 ( 3 + a ) = r1 ( 3 − a ) für 0 ≤ a ≤ 3 im Sachzusammenhang. 4 3 (3) zeigt, dass die Funktion F mit der Gleichung 5 3,6 − 0,6⋅ x eine Stammfunktion der Funktion f F ( x ) =− ⋅ e 3 3,6 − 0,6⋅ x ist. mit der Gleichung f ( x ) = e 4 4 (4) bestimmt, wie viele Pantoffeltierchen in der Nährlösung in diesem Modell im Laufe des vierten Tages hinzukommen. 6 5 (5) ermittelt ausgehend von den Funktionen N 1 und r2 eine Gleichung der Funktion N 2 , durch die die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag beschrieben werden kann. 7 6 (6) begründet, dass im Modell die Anzahl der Pantoffel- tierchen in der Nährlösung zu keinem Zeitpunkt größer als 6050 wird. 4 EK ZK die Gleichung r2 ( 3 + a ) = r1 ( 3 − a ) gilt. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (30) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 30 Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe 2. Nur für den Dienstgebrauch! DK

M GK HT 2 (GG) Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2015 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage) decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt. Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion f mit der Gleichung f (t ) = t − 24t + 144t + 400 , t ∈ IR , 4 3 2 und der thermische Leistungsbedarf der Familie (kurz: Leistungsbedarf) durch die Funktion g mit der Gleichung g ( t ) =−t + 26t − 167,5t − 12,5t + 2053 , t ∈ IR , 4 3 2 modelliert, und zwar für das Zeitintervall [0;12], das dem Kalenderjahr entspricht. Dabei fasst man t als Maßzahl zur Einheit 1 Monat und f ( t ) sowie g ( t ) als Maßzahlen zur Einheit 1 Kilowattstunde pro Monat [kWh/Monat] auf. (Im Modell umfasst jeder Monat 30 Tage.) Der Zeitpunkt t = 0 entspricht dem Beginn des Kalenderjahres. Die Graphen von f und g sind in der Abbildung auf Seite 3 dargestellt. a) (1) Vergleichen Sie die Graphen von f und g im Sachzusammenhang. f (0) (2) Berechnen Sie und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang. g(0) (3) Zeigen Sie, dass die Leistung der Solaranlage zu den Zeitpunkten t1 = 3 und t2 = 9,5 dem Leistungsbedarf der Familie entspricht. (5 + 5 + 4 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 2 (GG) Seite 2 von 3 Name: _______________________ b) (1) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und berechnen Sie den Maximalwert. (2) Ermitteln Sie den Zeitpunkt im Intervall [0;12], zu dem der durch g beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb eines Kalenderjahres am stärksten abnimmt. (8 + 10 Punkte) b Durch das Integral f t d t ist im Sachzusammenhang die aus der Solaranlage im Zeit- ( ) ∫ a b intervall [a; b] abrufbare Energie und durch das Integral g t d t der Energiebedarf ( ) ∫ a der Familie im Zeitintervall [a; b] für 0 ≤ a < b ≤ 12 in Kilowattstunden [kWh] gegeben. c) (1) Geben Sie eine Gleichung einer Stammfunktion G von g an und berechnen Sie den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr. (2) Im Intervall [3; 9,5] wird der Leistungsbedarf der Familie zu jedem Zeitpunkt durch die Solaranlage gedeckt. Die den Bedarf übersteigende Leistung der Solaranlage soll in diesem Zeitraum zusätzlich zum Heizen eines Gartenpools genutzt werden. Ermitteln Sie die Energie, die zum Heizen des Gartenpools im Intervall [3;9,5] zur Verfügung steht. (3) Skizzieren Sie in der Abbildung die Fläche, welche durch den Zähler des folgenden Bruches bestimmt wird, und interpretieren Sie das Ergebnis der folgenden Berechnung im Sachzusammenhang. 12 9,5 0 3 f t d t − ( ) ∫ f t g t d t − ( ) ( ) ( ) ∫ 12 g t d t ( ) ∫ 0 Nur für den Dienstgebrauch! ≈ 0,575 (6 + 6 + 6 Punkte)