M LK HT 1 (GG) Seite 1 von 4 Name: _______________________ Abiturprüfung 2016 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenstellung: In einer Studie zum Spracherwerb von Kindern ist untersucht worden, wie sich die Länge gesprochener Sätze (kurz: Satzlänge) mit dem Alter der Kinder entwickelt. Ein Sprachforscher modelliert mit einer Funktion r die momentane Änderungsrate, mit der sich die durchschnittliche Satzlänge der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, im 1 Alter von 1,5 Jahren bis 5,5 Jahren verändert. Dazu verwendet er für 1,5  t  5,5 die Gleichung r  t   0,31  e  0,25t 2 1,25t , t  IR . Dabei wird t als Maßzahl zur Maßeinheit 1 Jahr und r  t  als Maßzahl zur Maßeinheit 1 Wort pro Jahr aufgefasst. Der Graph von r im Bereich 1,5  t  5,5 ist in Abbildung 1 dargestellt. Abbildung 1 1 Im Folgenden wird die durchschnittliche Satzlänge der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, kurz als Satz- länge bezeichnet. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 (GG) Seite 2 von 4 Name: _______________________ a) (1) Berechnen Sie den Funktionswert von r an der Stelle t  2 und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang. (2) Für die Funktion r gilt die Aussage: r  t   0 für alle t  IR . Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang. (2 + 3 Punkte) b) (1) Bestimmen Sie r '  t  und r ''  t  . [Zur Kontrolle: r ''  t   0,31   0,25  t  1,25  t  1,0625   e 2  0,25t 2 1,25t .] (2) Weisen Sie rechnerisch nach, dass im gegebenen Modell im Alter von 2,5 Jahren die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge vorliegt. (3) Das Alter zwischen 1,5 und 5,5 Jahren, in dem die momentane Änderungsrate der Satzlänge am schnellsten abnimmt, ist durch die Wendestelle von r im Intervall [1,5 ; 5,5 ] gegeben. Ermitteln Sie diese Wendestelle. [Hinweis: Auf den Nachweis einer hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden.] (8 + 7 + 5 Punkte) c) In der Studie ist bei Kindern im Alter von 1,5 Jahren eine Satzlänge von 1,2 Wörtern beobachtet worden. (1) Interpretieren Sie die Bedeutung der Terme t 5,5 1,5 1,5 r u d u 1,2  r t d t und im Sach-       zusammenhang. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 (GG) Seite 3 von 4 Name: _______________________ Die konkrete Ermittlung eines Funktionsterms einer Stammfunktion von r mit Hilfe eines 5,5 r t d t durch    Integrationsverfahrens ist nicht möglich. Daher wird der Wert des Integrals 1,5 ein numerisches Verfahren bestimmt. In Abbildung 2 ist dieses Verfahren veranschaulicht. Abbildung 2 (2) Beschreiben Sie kurz das Vorgehen bei diesem numerischen Verfahren. (3) Berechnen Sie mit diesem numerischen Verfahren einen Näherungswert für den 5,5 Term 1,2  r t d t .    (4 + 4 + 6 Punkte) 1,5 d) Für 1,5  a  4,5 ist die Funktion z definiert durch die Gleichung z  a   a 1  r  t  dt . a (1) Interpretieren Sie, welche Bedeutung die Funktion z im Sachzusammenhang hat. (2) Begründen Sie, warum für die Ableitung der Funktion z mit z  a   a 1  r  t  dt gilt: a z '  a   r  a  1  r  a  . [Sie können davon ausgehen, dass es eine Stammfunktion R von r gibt. Wie bereits in c) angegeben, ist die konkrete Ermittlung eines Funktionsterms von R mit Hilfe eines Integrationsverfahrens aber nicht möglich.] Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 (GG) Seite 4 von 4 Name: _______________________ Für die Funktion z wird folgende Berechnung durchgeführt, die von Ihnen in den Teil- aufgaben (3) und (4) zum Teil nachvollzogen und interpretiert werden soll: I z '  a   0  r  a  1  r  a   0  r  a  1  r  a  r  a  1  1 r  a e  0,5a 1 1   0,5  a  1  0 a2. II 3 2 31 z ''  2    e  0. 200 r  a  1  0,5a 1 e (3) Weisen Sie nach, dass gilt: (siehe I). r  a (4) Interpretieren Sie die Lösung a  2 der Gleichung z '  a   0 (siehe I) unter Berück- sichtigung von II im Sachzusammenhang. (2 + 3 + 3 + 3 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 1 (GG) Seite 1 von 6 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2016 Mathematik, Leistungskurs 1. Aufgabenart Analysis 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2016 1. Inhaltliche Schwerpunkte  Untersuchung von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen einschließ- lich Funktionenscharen sowie Logarithmusfunktionen in Sachzusammenhängen, notwendige Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel)  Untersuchung von Wirkungen (Integral der Änderungsrate)  Integrationsregeln (partielle Integration, Substitution)  Flächenberechnung durch Integration 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 2 von 6 6. Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Teilaufgabe a) (1) r  2   0, 31  e 2  0 ,252 1 ,252  1, 39 . Die durchschnittliche Satzlänge der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, wächst im gegebenen Modell im Alter von 2 Jahren mit einer momentanen Änderungs- rate von 1,39 Wörtern pro Jahr. (2) Die durchschnittliche Satzlänge der Kinder nimmt im Alter von 1,5 Jahren bis 5,5 Jahren mit zunehmendem Alter zu. Teilaufgabe b) (1) Unter Verwendung der Kettenregel ergibt sich: r '  t   0,31    0,25  2  t  1,25   e  0,25t 2 1,25t  0,31    0,5  t  1,25   e  0,25t 2 1,25t . Unter Verwendung der Kettenregel und der Produktregel ergibt sich:   0,31    0,5   0,5  t  r ''  t   0,31   0,5  e  0,25t 2 1,25t 2    0,5  t  1,25     0,5  t  1,25   e   2  1,25  0,5  t  1,25  e 2  0,31   0,25  t  1,25  t  1,0625   e 2 2  0,25t 1,25t  0,25t 2 1,25t   0,25t 2 1,25t . (2) Für den Zeitpunkt, zu dem die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge im Inter- vall [1,5;5,5 ] vorliegt, kommen nur die Nullstelle von r ' oder die Randstellen in Frage. Für die Nullstelle von r ' gilt: r '  t   0  0,31    0,5  t  1,25   e Mit r 1,5   0,31  e r  5,5   0,31  e  0,251,52 1,251,5  0,255,52 1,255,5  0,25t 2 1,25t  0   0,5  t  1,25  0  t  2,5 .  1,15 , r  2,5   0,31  e  0,252,52 1,252,5  1, 48 und  0,16 folgt, dass bei der Modellierung mit r die Satzlänge der Kinder im Alter von 2,5 Jahren am schnellsten zunimmt. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 6 (3) Wegen r ''  t   0  0,31   0,25  t  1,25  t  1,0625   e 2  0,25t 2 1,25t 0  0,25  t  1,25  t  1,0625  0  t  5  t  4,25  0 2 2  t  2,5  6,25  4,25  1,09  t  2,5  6,25  4,25  3,91 ist die Stelle 2,5  2  3,91 die einzige Wendestelle von r im Intervall [1,5;5,5 ] . Teilaufgabe c) t (1) Durch den Term r u d u ist die Anzahl der Worte gegeben, um die die durchschnitt-    1,5 liche Satzlänge im Zeitraum von 1,5 Jahren bis t Jahren anwächst. 5,5 Durch den Term 1,2  r t d t ist die durchschnittliche Satzlänge (Anzahl der Worte)    1,5 im Alter von 5,5 Jahren gegeben. (2) Das gegebene Intervall (hier: [1,5;5,5 ] ) wird in gleich lange Teilintervalle der Länge h (hier: h  0,5 ) unterteilt. Für jedes Teilintervall wird der Funktionswert in der Mitte des Teilintervalls berechnet und mit h multipliziert. Anschließend wird die Summe dieser Produkte gebildet. 5,5 (3) 1,2   r  t  dt 1,5  1,2   r 1,75   r  2,25   r  2,75   r  3,25   r  3,75   r  4,25   r  4,75   r  5,25    0,5  1,2  1,28  1,46  1,46  1,28  1,00  0,69  0,42  0,22   0,5  5,105. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 4 von 6 Teilaufgabe d) (1) Durch die Funktion z ist die Zunahme der Satzlänge in einem Intervall [ a ; a  1] gegeben, d. h. die Zunahme der Satzlänge in einem Zeitraum der Länge 1 Jahr, der im Alter von a Jahren beginnt. (2) Ist R eine Stammfunktion der Funktion r, so gilt mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unter Verwendung der Ableitungsregeln: z  a  a 1  a a 1 r  t  dt   R  t   a  R  a  1   R  a  . ' z '  a    R  a  1  R  a    1  R '  a  1  R '  a   r  a  1  r  a  . r  a  1  0,31  e  (3)  0,25a2 1,25a r  a 0,31  e  0,25 a 1  1,25 a 1  2 e   0,25a2  0,5a  0,25 1,25a 1,25   0,25a2 1,25a  e  0,5a 1 . (4) Der Zeitraum der Länge 1 Jahr, in dem die größte Zunahme der Satzlänge vorliegt, beginnt im Alter von zwei Jahren. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 5 von 6 7. Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) berechnet den Funktionswert von r an der Stelle t  2 und interpretiert diesen Wert im Sachzusammenhang. 2 2 (2) interpretiert die Bedeutung der Aussage: r  t   0 für alle t  IR im Sachzusammenhang. 3 EK 2 ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (5) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 5 Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling Lösungsqualität maximal EK ZK erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt r '  t  . 3 2 (1) bestimmt r ''  t  . 5 3 (2) weist rechnerisch nach, dass im gegebenen Modell im Alter von 2,5 Jahren die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge vorliegt. (3) ermittelt die Wendestelle von r im Intervall [1,5 ; 5,5 ] . 7 4 5 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (20) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 2 20 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! DK

M LK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 6 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität maximal EK ZK erreichbare Der Prüfling DK Punktzahl 1 t (1) interpretiert die Bedeutung des Terms im r u d u    2 1,5 Sachzusammenhang. 2 5,5 (1) interpretiert die Bedeutung des Terms 1,2  r t d t    2 1,5 3 4 im Sachzusammenhang. (2) beschreibt kurz das Vorgehen bei dem numerischen Verfahren. (3) berechnet mit diesem numerischen Verfahren einen 4 6 5,5 Näherungswert für den Term 1,2  . r t d t    1,5 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (14) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 14 Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität maximal EK ZK erreichbare Der Prüfling Punktzahl 1 2 (1) interpretiert, welche Bedeutung die Funktion z im Sachzusammenhang hat. (2) begründet, warum für die Ableitung der Funktion z mit z  a  a 1  2 3 r  t  dt gilt: z '  a   r  a  1   r  a  . a 3 (3) weist nach, dass gilt: r  a  1 r a e  0,5a 1 . (4) interpretiert die Lösung a  2 der Gleichung z '  a   0 unter Berücksichtigung von II im Sachzusammenhang. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (11) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 4 3 3 Summe Teilaufgabe d) 11 Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe 2. Nur für den Dienstgebrauch! DK