Mathematik_BG_eA_CAS_HT_2013_geschwrzt.pdf
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „BG Abiturklausuren 2013-2019 SH“
Aufgaben 1 und 2 eA Lineare Algebra MIT CAS Punkteverteilung Aufgabe 2: Wechselverhalten von Stromkunden Aufgabenteil a b c d e f g h gesamt Erreichbar 2 4 4 3 7 5 4 4 33 Erstkorrektur Zweitkorrektur In Deutschland wurde im Jahr 2011 die Energiewende beschlossen. Langfristig soll die Stromproduktion in Kernkraftwerken durch alternative Verfahren (sowohl über Wind-, Wasser- und Solarenergie als auch über die Nutzung von fossilen Brennstoffen) vollständig ersetzt werden. Vor allem durch den Atomunfall 2011 in Fukushima (Japan) hat sich das Bewusstsein der Stromkonsumenten verändert. Für viele Haushalte ist seitdem nicht mehr ausschließlich der Strompreis für die Wahl eines Tarifes ausschlaggebend, sondern auch die Art der Stromerzeugung. Viele Energieversorger bieten schon jetzt Kombinationen an, bei denen die elektrische En- ergie aus unterschiedlichen Energiequellen stammt. Vereinfacht werden dazu folgende drei Kombinationen betrachtet: „Strom vorwiegend aus fossilen Brennstoffen“ (F), „Strom vor- wiegend aus Kernenergie“ (K), und „Strom ausschließlich aus erneuerbaren Energiequel- len“ (E). Im Jahr 2012 wurden 1000 Haushalte zu ihrem Wechselverhalten im vergangenen Jahr be- fragt. Es zeigte sich, dass insgesamt 360 Haushalte am Ende des Jahres ihren „Strom aus- schließlich aus erneuerbaren Energiequellen“ (E) bezogen. Ein Wechsel kann nur einmal jährlich erfolgen. Die Ergebnisse des (übrigen) Wechselverhaltens sind in der nachfolgen- den Tabelle 2.1 dargestellt. nach Wechselverhalten innerhalb eines Jahres (absolute Häufigkeiten) F von K E F 135 120 20 K 45 m22 20 E m31 180 60 Tabelle 2.1 a) Weisen Sie nach, dass die Elemente m31 und m22 in der Tabelle 2.1 die absoluten Häufigkeiten 120 bzw. 300 annehmen müssen. b) Ermitteln Sie anhand der Tabelle 2.1, welche absoluten Häufigkeiten in dem dargestellten Diagramm (Abbildung 2.1) in den Kästchen einzutragen sind und ergänzen Sie die fehlenden absoluten Häufigkeiten in der Abbildung 2.1. Erläutern Sie die Bedeutung der Werte in den drei Kästchen mit durchgezogener Linie. Abbildung 2.1 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eA HT 13 S A1 und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) 13. März 2013 Seite 4 von 6
Aufgaben 1 und 2 eA Lineare Algebra MIT CAS Das in der Tabelle 2.1 dargestellte Wechselverhalten der Haushalte wird durch die folgende stochastische Matrix W ( ) beschrieben. c) Erläutern Sie, wie auf Grundlage der Tabelle 2.1 die Elemente der Matrix W berechnet wurden. Es ist ausreichend diese Erläuterung beispielhaft an einem Element der Matrix W auszuführen. d) Berechnen Sie den Vektor ⃗ und erläutern Sie die Bedeutung der Matrizengleichung: ⃗ ( ) ( ) im Sachzusammenhang. Für die Übergangsmatrix W gilt: ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ( e) Entscheiden Sie begründet, ob es sich bei der Matrix . ) um eine Grenzmatrix handelt. Interpretieren Sie diese Matrix hinsichtlich der Verteilung auf die verschiedenen Strom- kombinationen (F), (K) und (E). Beurteilen Sie die Bedeutung der Matrix Energiewende. vor dem Hintergrund der angestrebten Bei einer statistischen Datenerfassung über das Wechselverhalten der Stromkunden in- nerhalb eines Jahres konnten nicht alle Daten vollständig erfasst werden. Es wurden ins- gesamt 600 Haushalte befragt, von denen zu Beginn der Datenerfassung 120 Haushalte „Strom vorwiegend aus fossilen Brennstoffen“ (F) und 100 Haushalte „Strom ausschließlich aus erneuerbaren Energiequellen“ (E) nutzten. Die restlichen Haushalte bezogen ihren „Strom vorwiegend aus Kernenergie“ (K). Ein Praktikant konnte tabellarisch die folgenden Werte über das Wechselverhalten der Stromkunden dokumentieren. nach Wechselverhalten innerhalb eines Jahres (absolute Häufigkeiten) F K E von F K E x 3 42 25 y 25 23 5 72 Tabelle 2.2 f) Ermitteln Sie die Werte für x und y in der Tabelle 2.2. Zeigen Sie, dass am Ende des Untersuchungszeitraumes immer noch mehr als doppelt so viele Haushalte ihren „Strom vorwiegend aus Kernenergie“ (K) beziehen wie Haushalte, die ihren „Strom vorwiegend aus fossilen Brennstoffen“ (F) erhalten. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eA HT 13 S A1 und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) 13. März 2013 Seite 5 von 6
Aufgaben 1 und 2 eA Lineare Algebra Anforderungen zu 2e 2f ermittelt die Werte x, y und zeigt, dass die Anzahl der Haus- halte, die Strom aus (K) beziehen immer noch mehr als doppelt so hoch ist wie die Anzahl der Haushalte, die Strom aus (F) beziehen. Lösung MIT CAS Modelllösungen Die Grenzmatrix gilt allerdings auch nur für den Fall, dass sich sowohl das Wechselverhalten der Haushalte, als auch das Angebot an den Stromkombinationen über einen Zeitraum von 30 Jahren nicht verändert. Dies erscheint unrealistisch: Das Wechselver- halten kann sich beispielsweise durch Preisänderungen und die zeitliche Distanz zu dem Reaktorunfall in Fukushima jederzeit ändern. Vor dem Hintergrund der angestrebten Energiewende wird wahrscheinlich langfristig keine Stromkombination mehr angeboten werden, die vorwiegend aus Kernenergie besteht. 5 K0 = 600 – 120 – 100 = 380 (Anzahl der Haushalte, die ihren Strom aus (K) zu Beginn der Untersuchung bezogen) Das Wechselverhalten aus Tabelle 2.2: von/nach F K E F 75 3 42 120 K 25 330 25 380 E 23 5 72 100 600 kann z.B. durch die Übergangsmatrix: ( ) dargestellt werden. Daraus kann die Matrizengleichung ( ) ( ) ( ) hergeleitet und gelöst werden. Daraus folgt, dass 123 Haushalte die Stromkombination (F), 338 Haushalte die Stromkombination (K) und 139 Haushalte die Stromkombination (E) am Ende des Untersuchungszeitraumes beziehen. Es gilt 2 123(F) 338 (K). Das bedeutet, dass am Ende des Untersuchungszeitraumes immer noch mehr als doppelt so viele Haushalte ihren Strom aus (K) beziehen gegenüber den Haushalten, die Strom aus (F) beziehen. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eA HT 13 EWH A1 und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) 13. März 2013 Seite 7 von 8