Aufgaben 1 und 2 eA Analytische Geometrie OHNE CAS

Punkteverteilung Aufgabe 1:

Aufgabenteil

Erstkorrektur
Zweitkorrektur

a) Die Funktion fsowie deren erste und zweite Ableitung sind in der folgenden Werte-
tabelle dargestellt.

 

 

 

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre
Entscheidung.

Aussage Entscheidung und Begründung

Der Graph der Funktion f
schneidet die x-Achse nur
im Punkt S(-3]0).

Der Graph der Funktion ist
an der Stellex = —2 links-
gekrümmt.

Der Graph der Funktion
hat an der Stellex = 1eine
waagrechte Tangente.

 

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 13. März 2013
eAHT 13S Al und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) Seite 1 von 6

Aufgaben Geometrie g e 1 und 2 eA Analytische a is G e i OHNE N CAS A b) Bestimmen Sie den Parameter k für die Funktion f mit der Funktionsgleichung A f(x) = kx − x mit x, k ∈ C, k > 0 so, dass der Graph der Funktion f mit der x-Achse einen Flächeninhalt von 4,5 Flächeneinheiten (FE) einschließt. c) Skizzieren Sie die Ableitungsfunktion f zu der abgebildeten Funktion f. D d) Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = ax F bx F cx F d E • • A mit a, b, c, d, x ∈ C und a G 0. Untersuchen Sie, welchen Einfluss die Koeffizienten c und d auf die Wendestelle der Funktion f haben. Ermitteln Sie die Beziehung, die zwischen den Koeffizienten a und b bestehen muss, damit an der Stelle x = −3 eine Wendestelle der Funktion f vorliegt. e) Gegeben sind die beiden Geraden g und h mit den Geradengleichungen 0 1 2 b g: xJK = L1M F s ∙ L2M und h: xJK = L2M F t ∙ L1M mit a, b ∈ C. a 1 3 6 Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Für b = 4 sind die Geraden parallel zueinander. wahr falsch Für a = −2 und b = 5 schneiden sich die Geraden in P(5|2|8). Für b G 4 sind die Geraden stets orthogonal zueinander. Für a = 0 und b = 0 verläuft die Gerade g in der y-z-Ebene. Zentrale Mathematik e l Abschlussprüfung s l ü th k BG G eA HT 13 S A1 und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) 13. 1 März 2013 Seite 2 von 6

Aufgaben 1 und Geometrie u d 2 eA A Analytische a i G o r OHNE CAS f) Bestimmen Sie jeweils eine Ebenengleichung in Koordinaten- oder Parameterform, die die entsprechende Ebene im Raum beschreibt. • Ein Ausschnitt von E1 ist in folgender Abbildung dargestellt: • Die Ebene E2 ist die x-z-Ebene. • Die Ebene E3 enthält die Ursprungsgerade durch B(1|2|5) und steht senkrecht auf der x-y-Ebene. g) Gegeben sind die Ebene E und die Gerade g R mit den Gleichungen 2Ft 1Ft E: 2x F z = 3 und g R : JxK = L 1 M F s ∙ L1 − tM mit t ∈ C. 1Ft t • Bestimmen Sie den Wert von t so, dass die Gerade gt parallel zur Ebene E liegt. • Bestimmen Sie den Wert von t so, dass die Gerade gt senkrecht zur Ebene E verläuft. JK und cK sind linear unabhängig. h) Die Vektoren JaK, b JK − cKV und Kf = Ub JK − cKV ebenfalls Zeigen Sie, dass die Vektoren JdK = (JaK F 7cK), eJK = U−2aJK − b linear unabhängig sind. 4 2 i) Gegeben ist die Gerade mit der Geradengleichung g: JxK = L 3 M F r ∙ L4M sowie der −2 1 Punkt P(8|7|0). Untersuchen Sie, ob der Punkt P so entlang der y-Achse verschoben werden kann, dass er auf der Geraden g liegt. Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G eA HT 13 S A1 und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) 13. 2013 1 März M Seite 3 von 6

Aufgaben 1 und 2 eA Analytische Geometrie OHNE CAS

 

Punkteverteilung Aufgabe 2: Bergwerk

se SBEREELROTee
EHEN

Erreichbar 4] 3 5 033 |
a rt tr
Zonen [| II FFIR

Die ständig steigenden Preise für Roh-

stoffe am Weltmarkt lassen es zu, dass an

stillgelegte Bergwerksanlagen wieder u
profitabel betrieben werden können. r a1
Insbesondere die sogenannten „Seltenen u s
Erden“ sind stark nachgefragte Rohstoffe.
90% der weltweiten Förderung „Seltener
Erden“ fällt auf China, das damit den
Weltmarkt und damit die Preise kontrol-
liert. In jüngster Zeit wurden im Ruhr-
gebiet Spuren dieser „Seltenen Erden“
nachgewiesen. Ein stillgelegtes Bergwerk
muss hierfür allerdings zunächst ver-
messen und erweitert werden. Der prin-
zipielle Aufbau eines Bergwerkes ist als Abb. 2.1: Bergwerksquerschnitt mit schrägen
Querschnitt in Abb. 2.1 dargestellt. Gesteinsschichten (nicht maßstäblich)

 

     
    

lotrechter Hauptschacht

Nebenstollen

Die plane (ebene) Erdoberfläche wird hier als waagerecht angesehen. Soweit nicht anders
angegeben, wird die räumliche Ausdehnung von Hauptschacht, Stollen und Bohrungen
vernachlässigt. Der lotrecht nach unten führende Hauptschacht beginnt an der Oberfläche
in Punkt A(300]200|0) und hat eine Tiefe von 500 m (1 Längeneinheit (LE) & 1 m).

a) Benennen Sie die folgende Form einer Ebenengleichung und erläutern Sie, warum die
Erdoberfläche durch die folgende Gleichung vektoriell modelliert werden kann:

SE

Ein bereits vorhandener Nebenstollen 1 führt in einer Tiefe von 300 m vom Hauptschacht
ausgehend zum Endpunkt B(800|100]| — 280). Für die vorgesehenen Förderbänder zum
Abtransport des Gesteins ist es erforderlich, dass der Stollen nicht steiler als 5° gegenüber
der Horizontalen verläuft.

b) Weisen Sie nach, dass diese Bedingung erfüllt ist.

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Aufgaben 1 und Geometrie u d 2 eA A Analytische a i G o r OHNE CAS Eine Probebohrung im Punkt L(− 450|575| − 450) hat ergeben, dass dort ein Vorkommen an Lanthan (Element der „Seltenen Erden“) vermutet wird. Für den Abbau soll der 600 m lange Nebenstollen 2 (ebenfalls im Hauptschacht beginnend) genutzt werden, der durch die Gerade g deA mit der folgenden Geradengleichung modelliert werden kann: 300 −1 g deA : JxK = L 200 M F s ∙ L0,5M. −400 0 c) Untersuchen Sie, ob man vom Nebenstollen 2 aus mit Hilfe einer lotrechten Bohrung den Punkt L erreichen könnte. Eine weitere Probebohrung im Punkt N(− 314|507| − 400) hat ergeben, dass dort ein Vor- kommen an Neodym (Element der „Seltenen Erden“) vermutet wird. d) Zeigen Sie, dass das Neodymvorkommen erreicht werden kann, indem man den Nebenstollen 2 knickfrei verlängert. Eine Alternative zur Verlängerung von Nebenstollen 2 ist eine lotrechte Bohrung von der Erdoberfläche aus. Die Kosten einer Lotrechtbohrung betragen nur 10% pro laufendem Meter im Vergleich zu einer unterirdischen Verlängerung des Nebenstollens 2. e) Untersuchen Sie, welche der beiden Möglichkeiten die preiswertere Variante ist. Bei weiteren Probebohrungen stieß man auf eine Granitschicht, deren plane Oberseite durch die Punkte Gf (200|100| − 500), GA (300|100| − 550) und GE (400|300| − 600) verläuft. Die Stärke der Granitschicht beträgt gleichbleibend 10 m (siehe Abb. 2.2). f) Begründen Sie, dass der Hauptschacht nicht orthogonal zur Granitschicht verläuft. Zur Untersuchung der Erdschichten unterhalb der Granitschicht ist eine Probebohrung geplant, die vom tiefsten Punkt des Hauptschachtes ausgehen soll. g) Bestimmen Sie die Mindestlänge der Bohrung bis zum Erreichen der Granitschichtunterseite. Um Rohstoffe auch unterhalb der Granitschicht abbauen zu können, muss der Hauptschacht bis zur Granitschichtunterseite lotrecht verlängert werden. Abb. 2.2: Granitschichtquerschnitt h) Bestimmen Sie die hierzu nötige Bohrlänge innerhalb der Granitschicht. Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G eA HT 13 S A1 und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) 13. 2013 1 März M Seite 5 von 6

Aufgaben 1 und 2 eA Analytische Geometrie OHNE CAS

Für die folgende Aufgabe wird davon ausgegangen, dass der Hauptschacht die Form eines
Zylinders mit einem Radius von r = 2,5 m hat.

Infolge eines plötzlich eintretenden Wassereinbruchs füllt sich der Hauptschacht mit
Wasser. Messungen der momentanen Änderungsrate (m?/min) des im Hauptschacht
vorhandenen Wasservolumens ergeben für die ersten Minuten folgende Werte:

© |: 2 |: |» | 5

 

Einen Meter über dem Hauptschachtboden befindet sich eine elektrische Einrichtung, die
durch das eindringende Wasser zerstört werden würde.

i) Untersuchen Sie, ob in den ersten zehn Minuten nach dem Wassereinbruch für die
elektrische Einrichtung Gefahr besteht. Gehen Sie davon aus, dass der zeitliche Verlauf
der Änderungsrate näherungsweise durch eine exponentielle Funktion beschrieben
werden kann.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 13. März 2013
eAHT 13 S Al und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) Seite 6 von 6

Aufgaben 1 und 2 eA Lineare Algebra OHNE CAS

Punkteverteilung Aufgabe 1:

 

a) Die Funktion fsowie deren erste und zweite Ableitung sind in der folgenden Werte-
tabelle dargestellt.

 

 

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre
Entscheidung.

Der Graph der Funktion f
schneidet die x-Achse nur
im Punkt S(-3]0).

Der Graph der Funktion ist
an der Stellex = —2 links-
gekrümmt.

Der Graph der Funktion
hat an der Stellex= 1 eine
waagrechte Tangente.

 

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 13. März 2013
eAHT 13 S A1 und A2 LinAlg OHNE CAS (Abschnitt 2) Seite 1 von 6

Aufgaben g e 1 und 2 eA Lineare n r Algebra OHNE N CAS A b) Bestimmen Sie den Parameter k für die Funktion f mit der Funktionsgleichung A f(x) = kx − x mit x, k ∈ C, k > 0 so, dass der Graph der Funktion f mit der x-Achse einen Flächeninhalt von 4,5 Flächeneinheiten (FE) einschließt. c) Skizzieren Sie die Ableitungsfunktion f zu der abgebildeten Funktion f. D d) Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = ax F bx F cx F d E • • A mit a, b, c, d, x ∈ C und a G 0. Untersuchen Sie, welchen Einfluss die Koeffizienten c und d auf die Wendestelle der Funktion f haben. Ermitteln Sie die Beziehung, die zwischen den Koeffizienten a und b bestehen muss, damit an der Stelle x = −3 eine Wendestelle der Funktion f vorliegt. 0,5a −2 −1 e) Gegeben sind die Matrizen A und B mit A = i j und B = i 2 1 c−2 Bestimmen Sie die Matrizenelemente a, b, c, d ∈ C so, dass gilt: A = 2 ∙ B. f) Gegeben sind die quadratischen, invertierbaren Matrizen • • Erläutern Sie, wie mit den gegebenen Matrizen der Matrix A berechnet werden kann. A5 5 A und A und A kf kf . jede ganzzahlige Potenz Beschreiben Sie einen Lösungsweg, wie mit den gegebenen Matrizen Matrix A berechnet werden kann. Zentrale Mathematik e l Abschlussprüfung s l ü th k BG G eA HT 13 S A1 und A2 LinAlg OHNE CAS (Abschnitt 2) b j. A d A5 und A kf die 13. 1 März 2013 Seite 2 von 6

Aufgaben 1 und u d 2 eA A Lineare in r Algebra l OHNE CAS 1 2 g) Gegeben ist die Matrix A = i j. 2 s • • Berechnen Sie für s = 3 die Inverse der Matrix A. Begründen Sie, warum die Matrix A für s = 4 nicht invertierbar ist. h) Gegeben ist die folgende Matrizengleichung A ∙ X = B mit: • • 1 A = L2 3 4 18 38 5M und B = L24 52 6 30 66 58 80 M. 102 Erläutern Sie, unter welchen Bedingungen eine Matrix X existiert, die diese Ma- trizengleichung erfüllt. Berechnen Sie die Matrix X, sofern möglich. i) Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit a ∈ C: 2xf − 5xA F 3xE −6xf F 4xA − 2axE 3xf F 9xA − 3xE = = = 3 −8 1 Ermitteln Sie die Werte des Parameters a so, dass das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G eA HT 13 S A1 und A2 LinAlg OHNE CAS (Abschnitt 2) 13. 2013 1 März M Seite 3 von 6

Aufgaben 1 und 2 eA Lineare Algebra OHNE CAS

Punkteverteilung Aufgabe 2: Wechselverhalten von Stromkunden

Anton [a Is Te Tafefrfe em
mein | 2 a |als|o|lco|oı m

 

In Deutschland wurde im Jahr 2011 die Energiewende beschlossen. Langfristig soll die
Stromproduktion in Kernkraftwerken durch alternative Verfahren (sowohl über Wind-,
Wasser- und Solarenergie als auch über die Nutzung von fossilen Brennstoffen) vollständig
ersetzt werden. Vor allem durch den Atomunfall 2011 in Fukushima (Japan) hat sich das
Bewusstsein der Stromkonsumenten verändert. Für viele Haushalte ist seitdem nicht mehr
ausschließlich der Strompreis für die Wahl eines Tarifes ausschlaggebend, sondern auch
die Art der Stromerzeugung.

Viele Energieversorger bieten schon jetzt Kombinationen an, bei denen die elektrische En-
ergie aus unterschiedlichen Energiequellen stammt. Vereinfacht werden dazu folgende drei
Kombinationen betrachtet: „Strom vorwiegend aus fossilen Brennstoffen“ (F), „Strom vor-
wiegend aus Kernenergie“ (K), und „Strom ausschließlich aus erneuerbaren Energiequel-
len“ (E).

Im Jahr 2012 wurden 1000 Haushalte zu ihrem Wechselverhalten im vergangenen Jahr be-
fragt. Es zeigte sich, dass insgesamt 360 Haushalte am Ende des Jahres ihren „Strom aus-
schließlich aus erneuerbaren Energiequellen“ (E) bezogen. Ein Wechsel kann nur einmal
jährlich erfolgen. Die Ergebnisse des (übrigen) Wechselverhaltens sind in der nachfolgen-
den Tabelle 2.1 dargestellt.

Waren

innerhalb eines Jahres
absolute Häufigkeiten

 

Tabelle 2.1

a) Weisen Sie nach, dass die Elemente mzı und m2z in der Tabelle 2.1 die absoluten
Häufigkeiten 120 bzw. 300 annehmen müssen.

b) Ermitteln Sie anhand der Tabelle 2.1, welche
absoluten Häufigkeiten in dem dargestellten
Diagramm (Abbildung 2.1) in den Kästchen
einzutragen sind und ergänzen Sie die fehlenden
absoluten Häufigkeiten in der Abbildung 2.1.

Erläutern Sie die Bedeutung der Werte in den
drei Kästchen mit durchgezogener Linie.

 

Abbildung 2.1

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 13. März 2013
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