Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie MIT CAS

Punkteverteilung Aufgabe 1:

Aufgabenteil

Erstkorrektur
Zweitkorrektur

a) Die Funktion fsowie deren erste und zweite Ableitung sind in der folgenden Werte-
tabelle dargestellt.

 

 

 

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre

Entscheidung.
Entscheidung und Begründung

Der Graph der Funktion f
schneidet die x-Achse nur
im Punkt S(-3]0).

Der Graph der Funktion
hat im Punkt P(-2]4,5)
einen Tiefpunkt.

Der Graph der Funktion
hat an der Stellex= 1 eine
waagrechte Tangente.

 

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 13. März 2013
gAHT 13 S Al und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite 1von 7

MIT CAS

Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie

b) Bestimmen Sie die Parameter der Funktionsgleichung f(x) = a: cos(b-(x+c)) + dund

tragen Sie diese in die Tabelle ein.

  

            

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c) Gegeben sind die Funktionen g und f mit den

Funktionsgleichungen

g&) =x+ 2 und

fx) =-(&x+2)? +2

mitxEeR.

 

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d) Gegeben sind die Funktionen fund gmit

den Funktionsgleichungen

— 0,4x? + 0,1x+ 2 und

x2-2x+5

= 0,08x°

f(x)

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Berechnen Sie die Stelle x, an der die

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13. März 2013
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(Abschnitt 1)

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 13S Al und A2 AnaGeo MIT CAS

Aufgaben 1 und Geometrie u d 2 gA A Analytische a i G o r e) • • MIT T CAS C NM. Der Vektor cM ist der Summenvektor der Vektoren NaM und b Berechnen Sie den Wert des Parameters t mit t ∈ F: −s 3s B t 2t NaM = O4t − sP, NNNM b = Q2t − sR, NNMc = O−4s B tP. 1 −3 −2 x−y 1 Bestimmen Sie die Werte x, y ∈ F, so dass gilt: S T•U V = 4. yBx 1 f) Gegeben sind die beiden Geraden g und h mit den Geradengleichungen 0 b g: NxM = O1P B s ∙ O2P a 6 und 1 2 h: NxNM= O2P B t ∙ O1P mit a, b ∈ F. 1 3 Entscheiden Sie, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Für b = 4 sind die Geraden parallel zueinander. wahr falsch Für a = −2 und b = 5 liegen die Geraden in einer Ebene. Für a = 0 und b = 0 verläuft die Gerade g in der y-z-Ebene. g) Bestimmen Sie jeweils eine Ebenengleichung in Koordinaten- oder Parameterform, die die entsprechende Ebene im Raum beschreibt. • Ein Ausschnitt der Ebene E1 ist in folgender Abbildung dargestellt: • Die Ebene E2 ist die x-z-Ebene. • Die Ebene E3 verläuft durch den Koordinatenursprung, durch den Punkt A(1|2|5) und durch den Punkt B(2|4|3). Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G gA HT 13 S A1 und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) 13. 2013 1 März M Seite 3 von 7

Aufgaben 1 und Geometrie u d 2 gA A Analytische a i G o r MIT T CAS C h) Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass die Punkte A(1|2|1), B(3| − 1|5) und C(−3|8|a) kein Dreieck bilden. i) Gegeben sind die beiden Geraden g und h mit den Geradengleichungen 4 −1 2 2 g: NxM = O3P B r ∙ O 3 P und hZ : NxNM = O4P B s ∙ O 5 P mit t ∈ F. 1 2 t −3 Bestimmen Sie den Wert des Parameters t, so dass die beiden Geraden eine Ebene aufspannen. Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G gA HT 13 S A1 und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) 13. 2013 1 März M Seite 4 von 7

Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie MIT CAS

 

Punkteverteilung Aufgabe 2: Bergwerk

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Die ständig steigenden Preise für Roh-
stoffe am Weltmarkt lassen es zu, dass j „

 

stillgelegte Bergwerksanlagen wieder
profitabel betrieben werden können.
Insbesondere die sogenannten „Seltenen
Erden“ sind stark nachgefragte Rohstoffe.
90% der weltweiten Förderung „Seltener
Erden“ fällt auf China, das damit den
Weltmarkt und damit die Preise kontrol-
liert. In jüngster Zeit wurden im Ruhr-
gebiet Spuren dieser „Seltenen Erden“
nachgewiesen. Ein stillgelegtes Bergwerk
muss hierfür allerdings zunächst
vermessen und erweitert werden. Der

prinzipielle Aufbau eines Bergwerkes ist

als Querschnitt in Abb. 2.1 dargestellt. Abb. 2.1: Bergwerksquerschnitt mit schrägen
Gesteinsschichten (nicht maßstäblich)

     
 

lotrechter Hauptschacht

Nebenstollen

  

Die plane (ebene) Erdoberfläche wird hier als waagerecht angesehen. Soweit nicht anders
angegeben, wird die räumliche Ausdehnung von Hauptschacht, Stollen und Bohrungen
vernachlässigt. Der lotrecht nach unten führende Hauptschacht beginnt an der Oberfläche
in Punkt A(300|200]0) und hat eine Tiefe von 500 m (1 Längeneinheit (LE) £& 1 m).

a) Nennen Sie den Endpunkt des Hauptschachtes und erläutern Sie, warum der
Hauptschacht durch die folgende Gleichung vektoriell modelliert werden kann:

300 0
gi= (20) ++-(9)
0 —1

Ein bereits vorhandener Nebenstollen 1 führt in einer Tiefe von 300 m vom Hauptschacht
ausgehend zum Endpunkt B(800]|100| — 280).

b) Berechnen Sie die Länge des Nebenstollens 1.
Für die vorgesehenen Förderbänder zum Abtransport des Gesteins im Nebenstollen 1 ist es
erforderlich, dass der Stollen nicht zu steil verläuft.

c) Bestimmen Sie den Winkel des Nebenstollens 1 gegenüber dem Hauptschacht.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 13. März 2013
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Aufgaben 1 und Geometrie u d 2 gA A Analytische a i G o r MIT T CAS C Eine Probebohrung im Punkt L(0|500| − 410) hat ergeben, dass dort ein Vorkommen an Lanthan (Element der „Seltenen Erden“) vermutet wird. Für den Abbau soll der 600 m lange Nebenstollen 2 (ebenfalls im Hauptschacht beginnend) genutzt werden, der durch die Gerade g efD mit der folgenden Geradengleichung modelliert werden kann: 300 −1 g efD : NxM = O 200 P B s ∙ O0,5P. −400 0 d) Untersuchen Sie, ob man vom Nebenstollen 2 aus mit Hilfe einer lotrechten Bohrung den Punkt L erreichen könnte. Eine weitere Probebohrung im Punkt N(−314|507| − 400) hat ergeben, dass dort ein Vor- kommen an Neodym (Element der „Seltenen Erden“) vermutet wird. e) Zeigen Sie, dass das Neodymvorkommen erreicht werden kann, indem man den Nebenstollen 2 knickfrei verlängert. Eine Alternative zur Verlängerung des 600 m langen Nebenstollens 2 ist eine lotrechte Bohrung von der Erdoberfläche aus. Die Kosten einer Lotrechtbohrung betragen 1500 € pro laufendem Meter im Vergleich zu 4500 € pro laufendem Meter bei einer unterirdischen Verlängerung des Nebenstollens 2. f) Untersuchen Sie, welche der beiden Möglichkeiten die preiswertere Variante ist. Bei weiteren Probebohrungen stieß man auf eine Granitschicht, deren plane Oberfläche durch die Punkte Gh (200|100| − 500), GD (300|100| − 550) und GG (400|300| − 600) verläuft. g) Begründen Sie, dass der Hauptschacht nicht orthogonal zur Granitschicht verläuft. Zum Ausbau des Bergwerkes soll der Hauptschacht geradlinig verlängert werden. Allerdings ist das Durchbohren der Granitschicht so aufwändig, dass aus Rentabilitäts- gründen darauf verzichtet werden soll. h) Bestimmen Sie, um wie viele Meter der Hauptschacht maximal verlängert werden kann. Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G gA HT 13 S A1 und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) 13. 2013 1 März M Seite 6 von 7

Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie MIT CAS

Für die folgende Aufgabe wird davon ausgegangen, dass der Hauptschacht die Form eines
Zylinders mit einem Radius von r = 2,5 m hat.

Infolge eines plötzlich eintretenden Wassereinbruchs füllt sich der Hauptschacht mit
Wasser. Messungen der momentanen Änderungsrate (m3/min) des im Hauptschacht
vorhandenen Wasservolumens ergeben für die ersten Minuten folgende Werte:

©: |: = |: |: | 5

 

i) Bestimmen Sie, wie lange es gedauert hat, bis 30 m? Wasser in den Hauptschacht
geflossen sind. Gehen Sie davon aus, dass der zeitliche Verlauf der Änderungsrate
näherungsweise durch eine exponentielle Funktion in der Form
f(t) = a: e®t mita,k,te Rundt > 0 beschrieben werden kann.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 13. März 2013
gAHT 13 S Al und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite 7 von 7

Aufgaben 1 und 2 gA Lineare Algebra MIT CAS

Punkteverteilung Aufgabe 1:

no GILT

Erreichbar

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a) Die Funktion fsowie deren erste und zweite Ableitung sind in der folgenden Werte-
tabelle dargestellt.

 

 

 

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre
Entscheidung.

Aussage Entscheidung und Begründung

Der Graph der Funktion f
schneidet die x-Achse nur
im Punkt S(-3]0).

Der Graph der Funktion
hat an der Stellex= 1 eine
waagrechte Tangente.

Der Graph der Funktion
hat im Punkt P(-2]4,5)
einen Tiefpunkt.

 

Zentrale AbschlussprüfungMathematikBG 13. März 2013 Abschlussprüfung Mathematik BG 13. März 2013
gAHT 13S Al und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite 1 von 6

MIT CAS

b) Bestimmen Sie die Parameter der Funktionsgleichung f(x) = a: cos(b :(x+ c)) +dund
tragen Sie diese in die Tabelle ein.

Aufgaben 1 und 2 gA Lineare Algebra

                            

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13. März 2013
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19) bzw 90)

 

(Abschnitt 2)

2x+5

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Funktionsgleichungen

g(x) =x+2und

fx) = -(&+2)? +2

den Funktionsgleichungen

f(x) = 0,08 x? — 0,4x? + 0,1x+2 und
mitx € R im Intervall [-5;5].

Berechnen Sie die Stelle x, an der die

mitxeR.

8x)
Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG

c) Gegeben sind die Funktionen g und f mit den
gAHT13S A1 und A2 LinAlg MIT CAS

d) Gegeben sind die Funktionen f und gmit

Aufgaben 1 und 2 gA Lineare Algebra MIT CAS

e) Gegeben sind die Matrizen A und B mit:

a=(Z Zwan=(gs a)

Bestimmen Sie die Matrizenelemente a,b, c, de Rso, dass A = 2 -Bgiilt.

f) Gegeben sind zwei quadratische, invertierbare Matrizen A und B.
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

ee

g) Gegeben ist die Matrix A = (5 , mitseR.

 

e Entscheiden Sie begründet, ob für s = 3 eine inverse Matrix für die Matrix A
existiert.

e Bestimmen Sie das Matrizenelement s derart, dass keine inverse Matrix für die
Matrix A existiert.

h) Gegeben ist die Matrizengleichung: A-X = Bmit A= () undB = (2° 22).

32 36

e Begründen Sie, unter welchen Bedingungen eine Matrix X existiert, die diese
Matrizengleichung erfüllt.

e Berechnen Sie die Matrix X, sofern möglich.

) und die Verteilung X, = (@

i) Gegeben sind die Startverteilung X, = E 2

6
Übergang sowie der unvollständige Übergangsgraph.

N
_

) nach einem

Ermitteln Sie die fehlenden Werte füra,b,c € R und die zugehörige stochastische
Übergangsmatrix.

b

0,3
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gAHT 13S Al und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite 3 von 6