Mathematik_BG_gA_CAS_HT_2014_geschwrzt.pdf
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „BG Abiturklausuren 2013-2019 SH“
Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie MIT CAS Punkteverteilung Aufgabe 1: a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in Abbildung 1.1 dargestellt ist. Abbildung 1.1 b) Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte). Bei der Funktion f mit f(x) = 3: e”1?-x+15-e? handelt es sich um eine Exponentialfunktion. Zu der Exponentialfunktion f mit der Gleichung x jo] 3 | f(x) = 2°**? mitx € R passt die folgende Wertetabelle: Der Definitionsbereich der Funktion f mit der Gleichung f(x) = e* besteht nur aus allen positiven reellen Zahlen. Der Graph der Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = aP* mita,b,x ER, a #0 verläuft durch den Punkt P(0|1). Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 gAHT 14S Al und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite 1von5
Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie MIT CAS c) Der Graph der Funktion f(x) = 0,5x? — 2x mitx € R schließt im Intervall [1; b] mit b €E R ober- und unterhalb der x-Achse je eine Teilfläche ein. Ermitteln Sie die Intervallgrenze b > 2, so dass die eingeschlossenen Flächen gleich groß sind. d) Im Koordinatensystem (Abbildung 1.2) ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen der ersten Ableitungsfunktion f’ in das untere Koordinatensystem. Abbildung 1.2 e) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte). Die Steigung eines Funktionsgraphen an einer Stelle x wird mit u ersten Ableitung berechnet. Eine Funktion kann an keiner Stelle die Steigung 100% haben, da es dann keine Funktion mehr wäre (der Graph würde senkrecht nach oben verlaufen). Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 gAHT 14S Al und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite2von5
Aufsaben 1 und 2 sA Analvtische Geometrie MIT CAS f) Ein Quader mit den Eckpunkten E(0|0|0) und D(5|0|4) steht auf der x1-x2-Ebene (siehe Abbildung). Die Länge der Strecke EF beträgt 3 Längeneinheiten. x e Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte A und Han. Ermitteln Sie das Volumen des Quaders. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene durch die Punkte D, Eund Fin Parameterform. 5 1 g) Gegeben ist die Gerade g mit der Geradengleichung g: X = (3) Fr ( 2 ) mitreR. 1 —1 e Überprüfen Sie, ob der Richtungsvektor der Geraden g ein Einheitsvektor ist. e Geben Sie einen anderen möglichen Richtungsvektor der Geraden gan. e Eine Gerade h entsteht dadurch, dass die Gerade g um zwei Längeneinheiten parallel zur x3-Achse nach oben verschoben wird. Geben Sie eine Geradengleichung der Geraden h an. e Eine Gerade k verläuft durch den Punkt P(3|1|4) und parallel zur x;-Achse. Geben Sie eine Geradengleichung der Geraden kan. 1 1 2 6 h) Gegeben sind die Vektoren ä = 2) b= 2) = h) undd = ) 0 1 1 5 Weisen Sie nach, dass sich der Vektor dals Linearkombination der Vektoren ı b und€ darstellen lässt und geben Sie die Linearkombination an. i) Gegeben sind die Geraden g und h mit den Geradengleichungen 4 ı 4 —2 #8=(v)+r-(=3) mit nyeRwins-(1 )+s(*) mitseR. u 2 —1 4 Bestimmen Sie, für welches y die Geraden g und h keine Ebene bilden. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 gAHT 14S Al und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite 3 von5
Aufsaben 1 und 2 sA Analvtische Geometrie MIT CAS Punkteverteilung Aufgabe 2: Fabrikhalle ES IESENEN a Zweite | | | | | Ein zementverarbeitendes Unternehmen plant zur Ausweitung der Produktion den Neubau einer Fabrikhalle. Die Planung sieht hierzu folgende Eckpunkte des Gebäudes vor (alle Angaben in Metern): Grundfläche: A(30|20|0), B(60]20|0), C(60]60|0), D(30]60]0), Dach: E(30|20|15), F(60|20]22), G(60|60]22), H(30]60]15). Die x, -Achse zeigt in südliche, die x,-Achse in östliche Richtung. Die Kanten des Gebäudes sollen geradlinig verlaufen. a) Zeichnen Sie von der Halle ein dreidimensionales Schrägbild. Hinweis: Zeichnen Sie die x1-Achse für die Veranschaulichung nachfolgender Aufgaben bisxı = 100. b) Im Bauantrag müssen das Gebäudevolumen (der sog. „umbaute Raum“) sowie die Größe der Dachfläche angegeben werden. Der beauftragte Architekt hat hierfür die Werte 22200 m? bzw. ca. 1232 m? berechnet. Weisen Sie nach, dass diese Werte richtig sind. Um die laufenden Kosten für den Neubau zu reduzieren, wird überlegt, auf dem Hallendach eine Photovoltaikanlage zu installieren. Diese Anlage verwandelt das einfallende Sonnen- licht in Strom, der ins öffentliche Stromnetz eingespeist werden kann, wodurch das Unter- nehmen zusätzliche Einnahmen erzielen würde. c) Für die Photovoltaikanlage soll eine elektrische Leitung so installiert werden, dass sie im Mittelpunkt M der Dachfläche beginnend zunächst geradlinig zum Mittelpunkt der Kante EF verläuft und danach entlang der Kante EF zum Endpunkt E geführt wird. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes M sowie die Leitungslänge. d) Um die Fläche für die Photovoltaikanlage zu vergrößern, wird überlegt, die Höhe des Hallendachfirstes FG über der x1-x2-Ebene zu vergrößern. Bestimmen Sie die benötigte Höhe des Dachfirstes FG, damit das Hallendach eine Fläche von 1600 m? hat. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 gAHT 14S Al und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite 4 von5
Aufgaben 1 und Geometrie u d 2 gA A Analytische a i G i MIT T CAS Das Grundstück wurde durch das Unternehmen deshalb ausgewählt, da es direkt an das geradlinige Ufer eines Flusses grenzt, das 40 m südlich von der Hallenwand BCGF entfernt parallel zur x2-Achse verläuft. Die transporttechnisch günstige Lage soll dazu genutzt werden, um Rohstoffe per Schiff anzuliefern und mit Hilfe eines geradlinigen Förderbandes zur Halle zu befördern. Der Anfangspunkt des Förderbandes soll sich am Flussufer im Punkt P(100|50|0) befinden. e) Erläutern Sie, warum die folgende Geradengleichung geeignet ist, den Uferverlauf mathematisch zu modellieren: 100 0 g a : UxV 6 W 20 X ; r ∙ W1X. 0 0 Zeichnen Sie den Uferverlauf in das Koordinatensystem aus Aufgabenteil a). Weisen Sie rechnerisch nach, dass sich der Punkt P am Flussufer befindet. f) Auf dem Grundstück befindet sich ein lotrechter Pfeiler mit dem Endpunkt S(90|50|5), der aufgrund seiner Stabilität sehr gut zum Abstützen des Förderbandes geeignet ist. Zeigen Sie, dass das Förderband die uferseitige Hallenwand BCGF erreichen wird. g) Die Planung der Halle sieht vor, dass das Förderband im Punkt Q(60|50|20) die Hallenwand BCGF erreicht. Zeigen Sie, dass der Startpunkt P am Flussufer so gewählt wurde, dass das Förderband möglichst kurz ist. Die Leistung des geplanten Förderbandes (gemessen in Tonnen (t) pro Stunde (h)) beträgt laut Herstellerangaben bei waagerechtem Verlauf 800 t/h. Bei schrägem Verlauf ist die Leistung jedoch geringer. Zur Berechnung der Förderbandleistung ist der maximale Leistungswert von 800 t/h mit einem Faktor c zu multiplizieren, der vom Neigungswinkel α des Förderbandes gegenüber der Horizontalen abhängt. Laut Herstellerangaben kann der Faktor c für Winkel bis maximal 30° mithilfe folgender ganzrationaler Funktion berechnet werden: c(α) 6 H0,000001α ; 0,000032α H 0,000616α H 0,001216α ; 1 mit α ∈ A und 0 ≤ α ≤ 30. g = < h) Beschreiben Sie die Abhängigkeit der Entladezeit eines Frachters vom Neigungswinkel des Förderbandes. Weisen Sie nach, dass das geplante Förderband vom Punkt P(100|50|0) zum Punkt Q(60|50|20) einen Neigungswinkel von α ≈ 26,56° hat. Berechnen Sie, wie lange es dauert, einen Zementfrachter mit einer Ladung von 6000 t zu entladen. Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G gA HT 14 S A1 und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) 04. 4 April 2014 Seite 5 von 5
Aufgaben 1 und 2 gA Lineare Algebra MIT CAS a Punkteverteilung Aufgabe 1: FSADBHBBRAGRREE erreichbar or I III FF zwonona I I III a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in Abbildung 1.1 dargestellt ist. Abbildung 1.1 b) Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte). Bei der Funktion fmit f(x) =3-e=b°-x+15-e? handelt es sich um eine Exponentialfunktion. Zu der Exponentialfunktion f mit der Gleichung f(x) = 2°**+? mitx € R passt die folgende Wertetabelle: Der Definitionsbereich der Funktion f mit der Gleichung f(x) = e* besteht nur aus allen positiven reellen Zahlen. Der Graph der Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = aP* mita,b,x ER, a #0 verläuft durch den Punkt P(0|1). Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 gAHT 14S Al und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite1von5
Aufgaben 1 und 2 gA Lineare Algebra MIT CAS c) Der Graph der Funktion f(x) = 0,5x°? — 2x mitx € R schließt im Intervall [1; b] mit b € R ober- und unterhalb der x-Achse je eine Teilfläche ein. Ermitteln Sie die Intervallgrenze b > 2, so dass die eingeschlossenen Flächen gleich groß sind. d) Im Koordinatensystem (Abbildung 1.2) ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen der ersten Ableitungsfunktion f’ in das untere Koordinatensystem. Abbildung 12 e) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte). Die Steigung eines Funktionsgraphen an einer Stelle x wird mit u ersten Ableitung berechnet. Eine Funktion kann an keiner Stelle die Steigung 100% haben, da es dann keine Funktion mehr wäre (der Graph würde senkrecht nach oben verlaufen). Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 gAHT 14S Al und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite2von5
Aufgaben 1 und u d 2 gA A Lineare i r Algebra l MIT T CAS C f) Gegeben sind die folgenden Matrizen: 1 H2 3 H3 7 H2 11 H25 12 A6j k, B 6 j k und C 6 j k. 5 0 6 0 1 3 10 H3 3 Ermitteln Sie die Zahlenwerte r, s ∈ A so, dass die Gleichung r ∙ A ; s ∙ B 6 C gilt. g) Bestimmen Sie die Matrixelemente a, b, c ∈ A so, dass die Matrix B die Inverse zur Matrix A ist. a b H1 H1 A6j k und B 6 j k H1 H2 1 c H2 6 H1 3 h) Gegeben sind die Matrizen A 6 l m und B 6 j k mit x, y ∈ A. x y 3 6 Bestimmen Sie die Matrix A so, dass A ∙ B 6 B ∙ A gilt. i) Weisen Sie durch Umstellen der Matrizengleichung 2 ∙ C 6 C ∙ A H B nach, dass für die 89 Matrix C 6 B ∙ (A H 2 ∙ E) gilt. 0,5 0,5 0 j) Gegeben ist die Matrix A 6 W 0 0,5 0,7X. 0,5 0 0,3 Ermitteln Sie die Matrix A und erläutern Sie, ob es sich bei den Matrizen A und A um stochastische Matrizen handelt. g g 1 H1 0 H1 k) Gegeben sind die Matrizen A 6 W2 3 H2X und A² 6 W 8 0 2 1 4 H4 2 3 H8X. 8 H3 Prüfen Sie durch Rechnung die Richtigkeit des gekennzeichneten Elementes in der Matrix A². Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathemati t a k BG G gA HT 14 S A1 und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) 04. 4 April 2014 Seite 3 von 5
Aufgaben 1 und 2 gA Lineare Algebra MIT CAS Punkteverteilung Aufgabe 2: Kundenzufriedenheit Das Möbelhaus „Schanz“ beauftragt ein Marktforschungsunternehmen die Kundenzufrie- denheit mit den monatlich wechselnden Sonderangeboten zu untersuchen. Anhand von Er- fahrungen bereits erfolgter Untersuchungen von 1040 Kunden kann das Marktforschungs- unternehmen die monatliche Änderung der Kundenzufriedenheit wie folgt darstellen: 15% S& sehr zufrieden U unzufrieden Z & zufrieden Abbildung 2.1 Zu Beginn der Untersuchung waren von den 1040 Kunden 200 Kunden sehr zufrieden und 340 Kunden waren zufrieden. Die Verteilung der Kunden wird durch den Vektor v und das Änderungsverhalten der Kundenzufriedenheit wird durch die Matrix A beschrieben. S U Z 5 /0,60 0,45 0,30 S A=U DE 0,55 020) undV= (v) Zz\025 0 0,50 Z a) Erläutern Sie anhand eines ausgewählten Elementes der Matrix A, warum diese Matrix das Anderungsverhalten der Kundenzufriedenheit wiedergibt. Ermitteln Sie auch die fehlenden Werte in der Tabelle 2.1. Änderungsverhalten Beginn der der Kundenzufrieden- Untersuchung Kunden- heit (Anzahl der Kun- anzahl | | | 8 | Ey 275 | 68 Bu o | 170 | 200 | 500 | 3 | 100 Tabelle 2.1 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 gAHT 14S Al und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite 4von5
Aufgaben 1 und 2 gA Lineare Algebra MIT CAS b) Ermitteln Sie A? und interpretieren Sie diese Matrix im Sachzusammenhang. Erläutern Sie auch die erste Zeile Ihrer Matrix A? im Sachzusammenhang. Zu Beginn der Umfrage wurden 1040 Kunden befragt. 200 Kunden gaben an, sehr zufrie- den zu sein und 340 Kunden waren zufrieden. c) Ermitteln Sie die voraussichtliche Anzahl sehr zufriedener, unzufriedener und zufrie- dener Kunden nach sechs Monaten. d) Prüfen Sie, ob der Seniorchef Recht hat, wenn er behauptet, dass schon ein Jahr nach Beginn der Untersuchung nur noch etwa 25% aller Kunden unzufrieden sein werden. e) Untersuchen Sie, ob die Verteilung von 200 sehr zufriedenen Kunden, 500 unzufrie- denen Kunden und 340 zufriedenen Kunden aus einer Verteilung des Vormonats ent- standen sein kann (unter der Voraussetzung, dass das Änderungsverhalten der Kundenzufriedenheit durch die Matrix A beschrieben werden kann). f) Ergänzen Sie die Wertetabelle 2.2, der man entnehmen kann, wie viele zufriedene Kun- den in den ersten sechs Monaten zu erwarten sind, unter der Voraussetzung, dass das Übergangsverhalten der Kundschaft unverändert bleibt. [nach .Monatjen — | ı | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 BEE EEE (Anzahlzufriedener Kunden z) | | | I Stellen Sie diesen Sachverhalt graphisch dar. Wertetabelle 2.2 Beurteilen Sie, ob eine längerfristige Vorhersage bezüglich der Anzahl zufriedener Kunden mit Hilfe der ganzrationalen Funktion K mit der Gleichung: K(t) = -0,7037t? + 6,6746t? — 10,0503t + 223,333 mitte R, wobei K die Anzahl zufriedener Kunden und t die Zeit in Monaten angibt, dargestellt werden kann. g) Untersuchen Sie, wie sich die Anzahl der sehr zufriedenen Kunden, der zufriedenen Kunden und der unzufriedenen Kunden langfristig entwickeln wird. Durch eine gezielte Imagewerbung möchte das Marktforschungsunternehmen den Anteil der unzufriedenen Kunden senken. Bei der Untersuchung wird das Änderungsverhalten, das durch die Matrix A beschrieben wird, zunächst vorausgesetzt. Es wird aber angenom- men, dass 10% der unzufriedenen Kunden nach dieser Imagewerbung zufrieden sein wer- den. Der Anteil der unzufrieden bleibenden Kunden soll entsprechend gesenkt werden. Vor der Einführung der Marketingmaßnahme waren 447 Kunden sehr zufrieden, 373 Kun- den unzufrieden und 220 Kunden zufrieden. h) Weisen Sie nach, dass schon nach dem ersten Monat der Einführung der Marketingmaß- nahme, unter der Annahme, dass zu Beginn von insgesamt 1040 Kunden 200 Kunden sehr zufrieden und 340 Kunden zufrieden sind, die Anzahl der unzufriedenen Kunden zugunsten der zufriedenen Kunden gesenkt werden kann. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 gAHT 14S Al und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite5 von5