Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie OHNE CAS

 

Punkteverteilung Aufgabe 1:

 

a) In Abbildung 1.1 ist der Graph f einer ganzrationalen Funktion dritten Grades
dargestellt.
Ermitteln Sie die Bedingungen, um den Term dieser ganzrationalen Funktion dritten
Grades zu bestimmen und stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.
(Eine explizite Lösung ist nicht notwendig.)

 

Abbildung 1.1

b) In Abbildung 1.2 schließen eine Ursprungsgerade g mit
g(x) = mx und die Normalparabel

f(x) = x? eine Fläche von - Flächeneinheiten ein.
Zeigen Sie, dass die Integrationsgrenzen

xı = O undxz = msind und berechnen Sie die
Steigung der Ursprungsgeraden.

 

Abbildung 1.2

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gAHT 14S Al und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) Seite 1 von 6

Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie OHNE CAS

 

c) Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.

Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt es
null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte).

Bei der Funktion f mit f(x) = 3-e”">-x+15-e? handelt es sich um
eine Exponentialfunktion.

Zu der Exponentialfunktion f mit der Gleichung x lol 3 |
f(x) = 2°*+2 mit x E R passt die folgende Wertetabelle:

Der Definitionsbereich der Funktion f mit der Gleichung f(x) = e*
besteht nur aus allen positiven reellen Zahlen.

Der Graph der Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = aP* mit
a,b,x ER, a#0 verläuft durch den Punkt P(0|1).

d) Im Koordinatensystem (Abbildung 1.3) ist der Graph einer Funktion f dargestellt.
Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen der ersten Ableitungsfunktion f’ in das untere
Koordinatensystem.

 

 

 

Abbildung 1.3

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gAHT 14S Al und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) Seite 2 von 6

Aufsaben 1 und 2 sA Analvtische Geometrie OHNE CAS

e) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

    

Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz
gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte).

Die Steigung eines Funktionsgraphen an einer Stelle x wird mit der
ersten Ableitung berechnet.

Eine Funktion kann an keiner Stelle die Steigung 100% haben, da
es dann keine Funktion mehr wäre (der Graph würde senkrecht
nach oben verlaufen).

f) Ein Quader mit den Eckpunkten E(0|0|0) und D(5|0]4) steht auf der x, -x,-Ebene
(siehe Abbildung). Die Länge der Strecke EF beträgt 3 Längeneinheiten.

 

x

e Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte A und Han.
Ermitteln Sie das Volumen des Quaders.

e Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene durch die Punkte D, Eund Fin
Parameterform.

4 1
g) Gegeben ist die Gerade g mit der Geradengleichung g: X = (3) Pr» ( 2 ) mitrEeR.
1 —1

e Überprüfen Sie, ob der Richtungsvektor der Geraden g ein Einheitsvektor ist.

e Geben Sie einen anderen möglichen Richtungsvektor der Geraden gan.

e Eine Gerade h entsteht dadurch, dass die Gerade g um zwei Längeneinheiten parallel
zur x3-Achse nach oben verschoben wird.
Geben Sie die Geradengleichung der Geraden h an.

e Eine Gerade k verläuft durch den Punkt P(3|1|4) und parallel zur x,-Achse.
Geben Sie eine Geradengleichung der Geraden kan.

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Aufgaben 1 und Geometrie u d 2 gA A Analytische a i G i 1 1 1 9 UV : W1X, cV : W1X und UdV : W3X. h) Gegeben sind die Vektoren UaV : W0X, b 0 0 2 4 OHNE CAS UV und cV Weisen Sie nach, dass sich der Vektor UdV als Linearkombination der Vektoren UaV, b darstellen lässt und geben Sie die Linearkombination an. i) Gegeben sind die Geraden g und h mit den Geradengleichungen −1 4 −2 2 g: UxV : W 0 X E r ∙ W18X mit r ∈ I und h: UxV : W 3 X E s ∙ W6X mit s ∈ I. −3 7 −1 2 Untersuchen Sie die Lage der Geraden g und h zueinander. Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G gA HT 14 S A1 und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) 04. 4 April 2014 Seite 4 von 6

Aufsaben 1 und 2 sA Analvtische Geometrie OHNE CAS

Punkteverteilung Aufgabe 2: Fabrikhalle

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Erreichbar

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Zweitomeku | | | |

 

Ein zementverarbeitendes Unternehmen plant zur Ausweitung der Produktion den Neubau
einer Fabrikhalle. Die Planung sieht hierzu folgende Eckpunkte des Gebäudes vor (alle
Angaben in Metern):

Grundfläche: A(30|20|0), B(60]20|0), C(60]60|0), D(30]60]0),
Dach: E(30|20|15), F(60|20]22), G(60|60]22), H(30]60]15).

Die x, -Achse zeigt in südliche, die x,-Achse in östliche Richtung. Die Kanten des Gebäudes
sollen geradlinig verlaufen.

a) Zeichnen Sie von der Halle ein dreidimensionales Schrägbild.
Hinweis: Zeichnen Sie die x;-Achse für die Veranschaulichung nachfolgender Aufgaben
bisxı = 100.

b) Im Bauantrag müssen das Gebäudevolumen (der sog. „umbaute Raum“) sowie die
Größe der Dachfläche angegeben werden. Der beauftragte Architekt hat hierfür die
Werte 22200 m? bzw. ca. 1232 m? berechnet.

Weisen Sie nach, dass diese Werte richtig sind.

Um die laufenden Kosten für den Neubau zu reduzieren, wird überlegt, auf dem Hallendach
eine Photovoltaikanlage zu installieren. Diese Anlage verwandelt das einfallende Sonnen-
licht in Strom, der ins öffentliche Stromnetz eingespeist werden kann, wodurch das Unter-
nehmen zusätzliche Einnahmen erzielen würde.

c) Für die Photovoltaikanlage soll eine elektrische Leitung so installiert werden, dass sie
im Mittelpunkt M der Dachfläche beginnend zunächst geradlinig zum Mittelpunkt der
Kante EF verläuft und danach entlang der Kante EF zum Endpunkt E geführt wird.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes M sowie die Leitungslänge.

d) Die Photovoltaikanlage wird auf der Dachfläche aus rechteckigen Einzelteilen, den sog.
Modulen zusammengesetzt. Diese Module haben eine Länge von 1580 mm, eine Breite
von 808 mm und werden so montiert, dass ihre Kanten parallel zu den Dachkanten
verlaufen, d.h. sie werden nicht schräg auf dem Dach montiert.

Bestimmen Sie, wie viele Module maximal auf dem Dach der Halle montiert werden
können.

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Aufgaben 1 und Geometrie u d 2 gA A Analytische a i G i OHNE CAS Das Grundstück wurde durch das Unternehmen deshalb ausgewählt, da es direkt an das geradlinige Ufer eines Flusses grenzt, das 40 m südlich von der Hallenwand BCGF entfernt parallel zur x2-Achse verläuft. Die transporttechnisch günstige Lage soll dazu genutzt werden, um Rohstoffe per Schiff anzuliefern und mit Hilfe eines geradlinigen Förderbandes zur Halle zu befördern. Der Anfangspunkt des Förderbandes soll sich am Flussufer im Punkt P(100|50|0) befinden. e) Erläutern Sie, warum die folgende Geradengleichung geeignet ist, den Uferverlauf mathematisch zu modellieren: 100 0 g a : UxV : W 20 X E r ∙ W1X. 0 0 Zeichnen Sie den Uferverlauf in das Koordinatensystem aus Aufgabenteil a). Weisen Sie rechnerisch nach, dass sich der Punkt P am Flussufer befindet. f) Auf dem Grundstück befindet sich ein lotrechter Pfeiler mit dem Endpunkt S(90|50|5), der aufgrund seiner Stabilität sehr gut zum Abstützen des Förderbandes geeignet ist. Berechnen Sie den Punkt, in dem das Förderband die uferseitige Hallenwand BCGF erreichen wird. g) Die Planung der Halle sieht vor, dass das Förderband im Punkt Q(60|50|20) die Hallenwand BCGF erreicht. Zeigen Sie, dass der Startpunkt P am Flussufer so gewählt wurde, dass das Förderband möglichst kurz ist. Die Leistung des geplanten Förderbandes (gemessen in Tonnen (t) pro Stunde (h)) beträgt laut Herstellerangaben bei waagerechtem Verlauf 800 t/h. Bei schrägem Verlauf ist die Leistung jedoch geringer. Zur Berechnung der Förderbandleistung ist der maximale Leistungswert von 800 t/h mit einem Faktor c zu multiplizieren, der vom Neigungswinkel α des Förderbandes gegenüber der Horizontalen abhängt. Laut Herstellerangaben kann der Faktor c für Winkel bis maximal 44° mithilfe folgender ganzrationaler Funktion berechnet werden: c(α) : −0,0005 α E 1 mit α ∈ I und 0 ≤ α ≤ 44 . < h) Beschreiben Sie die Abhängigkeit der Entladezeit eines Frachters vom Neigungswinkel des Förderbandes. Weisen Sie nach, dass das geplante Förderband vom Punkt P(100|50|0) zum Punkt Q(60|50|20) einen Neigungswinkel von α ≈ 26,56° hat. Berechnen Sie, wie lange es dauert, einen Zementfrachter mit einer Ladung von 6000 t zu entladen. Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G gA HT 14 S A1 und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) 04. 4 April 2014 Seite 6 von 6

Aufgaben 1 und 2 gA Lineare Algebra OHNE CAS

 

Punkteverteilung Aufgabe 1:

 

a) In Abbildung 1.1 ist der Graph feiner ganzrationalen Funktion dritten Grades
dargestellt.
Ermitteln Sie die Bedingungen, um den Term dieser ganzrationalen Funktion dritten
Grades zu bestimmen und stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.
(Eine explizite Lösung ist nicht notwendig.)

 

Abbildung 1.1

b) In Abbildung 1.2 schließen eine Ursprungsgerade g mit
g(x) = mx und die Normalparabel

f(x) = x? eine Fläche von - Flächeneinheiten ein.

Zeigen Sie, dass die Integrationsgrenzen
x; = 0 undx, = msind und berechnen Sie die
Steigung der Ursprungsgeraden.

 

Abbildung 1.2

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014
gAHT 14S Al und A2 LinAlg OHNE CAS (Abschnitt 2) Seite 1 von 6

Aufgaben 1 und 2 gA Lineare Algebra OHNE CAS

 

c) Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.

Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt es
null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte).

Bei der Funktion fmit f(x) = 3 et? -x+15-e? handelt es sich um
eine Exponentialfunktion.

Zu der Exponentialfunktion f mit der Gleichung x jo|l 3 |
f(x) = 2°**? mit x E R passt die folgende Wertetabelle:

Der Definitionsbereich der Funktion f mit der Gleichung f(x) = e*
besteht nur aus allen positiven reellen Zahlen.

 

d) Im Koordinatensystem (Abbildung 1.3) ist der Graph einer Funktion f dargestellt.
Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen der ersten Ableitungsfunktion f’ in das untere
Koordinatensystem.

 

Abbildung 1.3

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014
gAHT 14S Al und A2 LinAlg OHNE CAS (Abschnitt 2) Seite 2 von 6

Aufsaben 1 und 2 sA Lineare Alsebra OHNE CAS

e)

8)

h)

))

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

    

Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz
gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte).

  

Die Steigung eines Funktionsgraphen an einer Stelle x wird mit der
ersten Ableitung berechnet.

Eine Funktion kann an keiner Stelle die Steigung 100% haben, da
es dann keine Funktion mehr wäre (der Graph würde senkrecht
nach oben verlaufen).

Entscheiden und begründen Sie, ob für die Matrizen A und B die Rechenoperationen
A+Bbzw. A- B möglich sind.

1 0
1-2 3 D-(0 -ı)

12

Bestimmen Sie die Matrixelemente aund bmita,bE Rso, dass die Matrix B die Inverse
zur Matrix A ist.

a=( unde-(, 2)

-1 3 .
3 .) mitx,yEeR.

Bestimmen Sie die Elemente x und y der Matrix A so, dass A -B=B-Agilt.

Gegeben sind die Matrizen A = 7 ,) undB= (

Weisen Sie durch Umstellen der Matrizengleichung2 C =C-A - B.nach, dass für die
MatrixC=B-(A-2-E) "gilt.

05 05 0
Gegeben ist die Matrix A = ( 0 05 05)
05 0 05

Berechnen Sie die Matrix A? und erläutern Sie, ob es sich bei den Matrizen A und A? um
stochastische Matrizen handelt.

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Aufgaben 1 und 2 gA Lineare Algebra OHNE CAS

Punkteverteilung Aufgabe 2: Kundenzufriedenheit

 

Das Möbelhaus „Schanz“ beauftragt ein Marktforschungsunternehmen die Kundenzufrie-
denheit mit den monatlich wechselnden Sonderangeboten zu untersuchen. Anhand von Er-
fahrungen bereits erfolgter Untersuchungen von 1040 Kunden kann das Marktforschungs-
unternehmen die monatliche Änderung der Kundenzufriedenheit wie folgt darstellen:

  
 

S & sehr zufrieden
U & unzufrieden

Z & zufrieden
Abbildung 2.1

Zu Beginn der Untersuchung waren von den 1040 befragten Kunden 200 Kunden sehr zu-
frieden und 340 Kunden waren zufrieden. Die Verteilung der Kunden wird durch den
Vektor V und das Änderungsverhalten der Kundenzufriedenheit wird durch die Matrix A
beschrieben.

s uU zZ
Ss /0,6 0,4 0,3 S
A=U (0: 0,6 02) war=(v)
z\03 0 05 Z

a) Erläutern Sie anhand eines ausgewählten Elementes der Matrix A, warum diese Matrix
das Anderungsverhalten der Kundenzufriedenheit wiedergibt.

Ermitteln Sie auch die fehlenden Werte in der Tabelle 2.1.

 

Änderungsverhalten :
der Kundenzufrieden- Beginn der Untersuchung Kunden-
heit (Anzahl der Kun- anzahl
mm st 120 20 |
nach einem
BEE
Tabelle 2.1
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