Mathematik_BG_eA_CAS_HT_2014_geschwrzt.pdf
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „BG Abiturklausuren 2013-2019 SH“
Aufsaben 1 und 2 eA Analvtische Geometrie MIT CAS Punkteverteilung Aufgabe 1: a) Gegeben ist die Funktionenschar f, mit der Funktionsgleichung: f,. &)=a'x*-2'x?+4 mitaxeRunda #0. Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung. Entscheidung und Begründung Alle Funktionsgraphen der Funktionenschar sind achsensym- metrisch. Für a > 0 kann die Funktion drei Extrema besitzen. Alle Funktionsgraphen der Funktionenschar besitzen zwei Wendepunkte. b) Gegeben sind Parabeln, deren Verläufe durch fı(x) = 5x2 > 5% mit,xeR und t > O0 beschrieben werden. Weisen Sie nach, dass die Flächen, die die Parabeln mit der Abszisse einschließen, für allet > 0 gleich groß sind. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 eAHT 14S Al und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite 1 von5
Aufgaben Geometrie g e 1 und 2 eA Analytische a is G e i MIT T CAS A c) Geben Sie jeweils eine mögliche Funktionsgleichung in der Form y(x) = a ∙ sinKb(x + c)L + d und y(x) = a ∙ cosKb(x + c)L + d mit a, b, c, d, x ∈ ℝ an, deren Graph den in Abbildung 1.1 dargestellten Verlauf hat. Abbildung 1.1 d) Im Koordinatensystem (Abbildung 1.2) ist die erste Ableitung f einer Funktion f dargestellt. Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen der Funktion f in das untere Koordinatensystem. N Zentrale Mathematik e l Abschlussprüfung s l ü th k BG G eA HT 14 S A1 und A2 AnaGeo MIT CAS Abbildung 1.2 (Abschnitt 1) 04. 4 April 2014 Seite 2 von 5
Aufsaben 1 und 2 eA Analvtische Geometrie MIT CAS e) Ein Quader mit den Eckpunkten E(0|2]|0) und D(5]2|4) steht auf der x}-x2-Ebene (siehe Abbildung). Die Länge der Strecke EF beträgt 3 Längeneinheiten. x Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte A und H an. Ermitteln Sie das Volumen des Quaders. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene durch die Punkte D, E und Fin Normalform. f) Gegeben sind die Punkte A(1|3]4), B(5]5]6) und M(2]3,5|z) mitz €E R. e Bestimmen Sie den Parameter z so, dass der Punkt M auf der Strecke AB liegt. e Ermitteln Sie den Punkt, der die Strecke AB im Verhältnis 1:3 teilt. g) Gegeben sind der Punkt A(1|2|1) und eine Menge von Punkten Cx(4|k]| — 2) mitk ER. e Beschreiben Sie die Lage der Punkte der Menge C, im Raum und geben Sie hierfür ein mathematisches Modell an. e Bestimmen Sie die Werte des Parameters k, für die die Punkte C, vom Punkt A einen Abstand von d = 10 LE haben. h) Gegeben sind die Ebene E mit der Ebenengleichung E: x] — 2x2 + 3x3 = 3 sowie die Geradenschar g, mit der Gleichung 0 a? g.:x=| a]|+tr:[|o |mitraeRunda#0. —1 a e Erläutern Sie, warum der Parameterwerta = O kein sinnvoller Wert in Hinblick auf die Geradenschar ist. e Erläutern Sie, zu welcher Koordinatenebene alle Geraden der Geradenschar g, parallel verlaufen. e Untersuchen Sie die möglichen Lagen von E und g, in Abhängigkeit von a. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 eAHT 14S Al und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite3 von5
Aufsaben 1 und 2 eA Analvtische Geometrie MIT CAS Punkteverteilung Aufgabe 2: Fabrikhalle Pr EUESENEEESERFIEN mies I slalal2|lslealslol | Erstkorrektur | | | | Zweitkorrektur | | | [TTS NT Ein zementverarbeitendes Unternehmen plant zur Ausweitung der Produktion den Neubau einer Fabrikhalle. Die Planung sieht hierzu folgende Eckpunkte des Gebäudes vor (alle Angaben in Metern): Grundfläche: A(30|20|0), B(60]20|0), C(60]60]0), D(30]60]0), Dach: E(30]20]15), F(60]20|22), G(60|60|22), H(30]60|15). Die x, -Achse zeigt in südliche, die x,-Achse in östliche Richtung. Die Kanten des Gebäudes sollen geradlinig verlaufen. a) Zeichnen Sie von der Halle ein dreidimensionales Schrägbild. Hinweis: Zeichnen Sie die x;-Achse für die Veranschaulichung nachfolgender Aufgaben bisx, = 100. Um die laufenden Kosten für den Neubau zu reduzieren, wird überlegt, auf dem Hallendach eine Photovoltaikanlage zu installieren. Diese Anlage verwandelt das einfallende Sonnen- licht in Strom, der ins öffentliche Stromnetz eingespeist werden kann, wodurch das Unter- nehmen zusätzliche Einnahmen erzielen würde. Zur Planung der Photovoltaikanlage wird von der Dachebene Ep folgende Gleichung in Koordinatenform erstellt: Ep: - 7x1 + 30x3 = 240. b) Zeigen Sie, dass diese Gleichung die Dachebene beschreibt. Vom Neigungswinkel der Dach- 100 ‚Anteil in % fläche gegenüber der x; -x2-Ebene und von der Ausrichtung der Fläche bzgl. der Himmelsrichtung hängt ab, welchen Anteil vom maximal mög- lichen Ertrag eine Photovoltaik- anlage wirklich erbringt. Um diese Abhängigkeit dem Kunden zu ver- anschaulichen, wurde vom Herstel- ler der Photovoltaikanlage eine r--__ -—— Pressen, en graphische Darstellung erstellt Abweichung von Südrichtung in Grad, (Abb 2 1) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Abbildung 2.1 c) Ermitteln Sie, welchen Anteil vom maximal möglichen Ertrag das zementverarbeitende Unternehmen für die geplante Photovoltaikanlage in etwa erwarten kann. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 eAHT 14S Al und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite 4 von5
Aufgaben 1 und Geometrie u d 2 eA A Analytische a i G o r MIT T CAS d) Für die Photovoltaikanlage soll eine elektrische Leitung vom Mittelpunkt M der TTTT verlegt werden, der vom Punkt E einen Dachfläche zu einem Punkt Z der Dachkante EF Abstand von 10 m hat. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte M und Z. Das Grundstück wurde durch das Unternehmen deshalb ausgewählt, da es direkt an das Ufer eines Flusses grenzt. Die transporttechnisch günstige Lage soll dazu genutzt werden, um Rohstoffe per Schiff anzuliefern und mit Hilfe eines geradlinigen Förderbandes zur Hallenwand BCGF zu befördern. Der Anfangspunkt des Förderbandes soll sich am Flussufer im Punkt P(100|70|0) befinden. e) Auf dem Grundstück befindet sich im Punkt S(93|66,5|0) bereits ein 6 m hoher senkrechter Pfeiler, der aufgrund seiner Stabilität sehr gut zum Abstützen des Förderbandes geeignet wäre. Untersuchen Sie, ob es möglich ist, das Förderband vom Punkt P über die Spitze des Pfeilers zur Wand BCGF zu bauen. f) Die Anlage zur Zementverarbeitung im Inneren der Fabrikhalle macht es notwendig, dass das Förderband die Hallenwand in einem Punkt Q erreicht, der zum einen senkrecht über dem Punkt Q_ (60|50|0) liegt und zum anderen zur Dachfläche einen Abstand von mindestens 1,5 m hat. Bestimmen Sie die maximale Höhe des Punktes Q, so dass der geforderte Abstand noch eingehalten wird. g) Das Förderband von Punkt P(100|70|0) zum Punkt Q(60|50|20) soll durch einen senkrechten Stützpfeiler abgestützt werden. Eine erste Planung sah vor, für den Pfeiler im Punkt T(68|53|0) ein Fundament zu gießen. Es stellte sich allerdings heraus, dass sich der Punkt T nicht senkrecht unter dem Förderband befindet, sondern hierfür in östliche Richtung verlegt werden muss. Bestimmen Sie, wie weit der Punkt T in östliche Richtung verlegt werden muss. Die Leistung des geplanten Förderbandes (gemessen in Tonnen (t) pro Stunde (h)) vom Punkt P(100|70|0) zum Punkt Q(60|50|20) beträgt laut Herstellerangaben bei waage- rechtem Verlauf 800 t/h. Bei schrägem Verlauf ist die Leistung jedoch geringer. Zur Berechnung der Förderbandleistung ist der maximale Leistungswert von 800 t/h mit einem Faktor c zu multiplizieren, der vom Neigungswinkel α des Förderbandes gegenüber der Horizontalen abhängt. Laut Herstellerangaben kann der Faktor c für Winkel bis maximal 30° mithilfe folgender ganzrationaler Funktion berechnet werden, wobei α ∈ ℝ und 0 ≤ α ≤ 30 gilt. c(α) = −0,000001α + 0,000032α − 0,000616α − 0,001216α + 1 6 E 8 h) Zeigen Sie, dass es länger als 10 Stunden dauern würde, einen Zementfrachter mit einer Ladung von 6000 t zu entladen. Bestimmen Sie, welchen Neigungswinkel das Förderband maximal haben darf, um eine Entladezeit von höchstens 10 Stunden zu erreichen Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G eA HT 14 S A1 und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) 04. 4 April 2014 Seite 5 von 5
Aufsaben 1 und 2 eA Lineare Alsebra MIT CAS Punkteverteilung Aufgabe 1: nee STrERRee erreichbar 33|3|35 Erstkorrektur Zweitkorrektur a) Gegeben ist die Funktionenschar f, mit der Funktionsgleichung: f, &)=a'x*-2-x?+4 mitaxeRunda#0. Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung. Entscheidung und Begründung Alle Funktionsgraphen der Funktionenschar sind achsensym- metrisch. Für a > 0 kann die Funktion drei Extrema besitzen. Alle Funktionsgraphen der Funktionenschar besitzen zwei Wendepunkte. b) Gegeben sind Parabeln, deren Verläufe durch f;(x) = ax _ x mitt,xeR und t > 0 beschrieben werden. Weisen Sie nach, dass die Flächen, die die Parabeln mit der Abszisse einschließen, für allet > 0 gleich groß sind. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 eAHT 14S Al und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite 1 von 6
Aufgaben g e 1 und 2 eA Lineare n r Algebra MIT T CAS A c) Geben Sie jeweils eine mögliche Funktionsgleichung in der Form y(x) = a ∙ sinKb(x + c)L + d und y(x) = a ∙ cosKb(x + c)L + d mit a, b, c, d, x ∈ ℝ an, deren Graph den in Abbildung 1.1 dargestellten Verlauf hat. Abbildung 1.1 d) Im Koordinatensystem (Abbildung 1.2) ist die erste Ableitung f einer Funktion f dargestellt. Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen der Funktion f in das untere Koordinatensystem. N Zentrale Mathematik e l Abschlussprüfung s l ü th k BG G eA HT 14 S A1 und A2 LinAlg MIT CAS Abbildung 1.2 (Abschnitt 2) 04. 4 April 2014 Seite 2 von 6
Aufsaben 1 und 2 eA Lineare Alsebra MIT CAS 10 rt e) Gegeben ist die Matrix M = ( 1 ) mitteR. 15 Bestimmen Sie den Parameter t so, dass die Matrix M nicht invertierbar ist. 50 f) Zeigen Sie, dass die Matrix Q = ( 0 0 05) einen stabilen zyklischen Prozess 040 0 beschreibt und geben Sie die Zykluslänge an. 375 Ermitteln Sie die Matrix X, so dass Q?-X=| 20 |gilt. 400 g) Berechnen Sie die fehlenden Matrixelemente a, b, c€ R zur folgenden Matrizen- multiplikation. a 4 2b a -7 ca a ( )C ni >)-(: 2 2) 1 b 5 1-5 h) Bestimmen Sie die Koeffizienten a,bundcmita,b,ce Rso, dass das folgende lineare Gleichungssystem die Lösung L = {(3 | —4 | 2 )} hat. a’x- y-3z2 = 1 -c'x+b'y+7'z = 0 3’:x+b'y+b’z = 5 i) Bestimmen Sie aus den folgenden Matrizengleichungen jeweils die Matrix X. (Für alle Matrizen existieren die zugehörigen inversen Matrizen, se R.) Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 eAHT 14S Al und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite 3 von 6
Aufgaben 1 und 2 eA Lineare Algebra MIT CAS Punkteverteilung Aufgabe 2: Kundenzufriedenheit Das Möbelhaus „Schanz“ beauftragt ein Marktforschungsunternehmen die Kundenzufrie- denheit mit den monatlich wechselnden Sonderangeboten zu untersuchen. Anhand von Er- fahrungen bereits erfolgter Untersuchungen von 2000 Kunden kann das Marktforschungs- unternehmen die monatliche Änderung der Kundenzufriedenheit wie folgt darstellen: 15% 55% S &£ sehr zufrieden U £ unzufrieden Z & zufrieden Abbildung 2.1 a) Erläutern Sie anhand eines ausgewählten Elementes der Matrix A, warum diese Matrix das Änderungsverhalten der Kundenzufriedenheit wiedergibt. 5 U Z S /0,60 0,45 0,30 A=U (045 0,55 020) 2\025 0 0,50 Zu Beginn der Untersuchung wurden insgesamt 2000 Kunden befragt. Das Änderungs- verhalten bezüglich der Kundenzufriedenheit wird durch die Matrix A und die Verteilung S der Kunden wird durch den Vektor v= B beschrieben. Von diesen befragten Kunden 7. waren ein Fünftel aller Kunden sehr zufrieden mit den monatlich wechselnden Sonder- angeboten und die Hälfte aller Kunden war mit diesen Angeboten unzufrieden. b) Ermitteln Sie, wie viele Kunden nach dem ersten Monat sehr zufrieden und wie viele Kunden unzufrieden mit den wechselnden Sonderangeboten waren. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 04. April 2014 eAHT 14S Al und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite 4 von 6
Aufgaben 1 und u d 2 eA A Lineare in r Algebra l MIT T CAS Nach dem ersten Monat wird die Kundenumfrage unter den 2000 Kunden wiederholt. Demnach waren 43,5% der Kunden sehr zufrieden und 20% der Kunden waren zufrieden. c) Ermitteln Sie den voraussichtlichen Prozentsatz sehr zufriedener, unzufriedener und zufriedener Kunden nach einem weiteren Monat und nach weiteren sechs Monaten. d) Ermitteln Sie die Matrix A und interpretieren Sie die Matrix A² im Sachzusammenhang. 8 Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass das Element a11 der Matrix A2 den Wert 0,5025 annimmt. Es werden zu diesem Element der Matrix A2 von einem Mitarbeiter des Marktfor- schungsinstitutes folgende drei Aussagen getroffen: Aussage 1: Von 100 sehr zufriedenen Kunden sind auch nach zwei Monaten noch ca. 50 Kunden sehr zufrieden. Aussage 3: Der Anteil der ursprünglich sehr zufriedenen Kunden (S), die auch während der zurückliegenden zwei Monate sehr zufrieden waren, beträgt 50,25%. Aussage 2: Der Anteil der ursprünglich sehr zufriedenen Kunden, die in zwei aufeinan- derfolgenden Monaten immer noch sehr zufrieden waren, muss kleiner als 50,25% sein. e) Entscheiden Sie begründet, welche der drei Aussagen zu dem Element aRR = 0,5025 der Matrix A² korrekt sind. f) Untersuchen Sie, wie sich das Änderungsverhalten der Kundenzufriedenheit langfristig entwickeln wird und geben Sie mit Hilfe der Matrix A an, wie sich der Anteil der sehr zufriedenen Kunden darstellen wird. g) Ermitteln Sie den Fixvektor der Matrix A, der die Verteilung der 2000 Kunden wieder- gibt und erläutern Sie dessen Bedeutung im Sachzusammenhang. Durch eine gezielte Imagewerbung möchte das Marktforschungsunternehmen den Anteil der unzufriedenen Kunden senken. Bei der Untersuchung wird das Änderungsverhalten, das durch die Matrix A beschrieben wird, zunächst vorausgesetzt. Es wird jedoch angenommen, dass 10% der unzufriedenen Kunden nach der Imagewerbung zufrieden sein werden. Der Anteil der unzufrieden bleibenden Kunden soll entsprechend gesenkt werden. Die Marketingmaßnahme soll schon zu Beginn der Untersuchung durchgeführt werden. Zu diesem Zeitpunkt waren von den 2000 Kunden 400 Kunden sehr zufrieden und 600 Kunden waren zufrieden. h) Weisen Sie nach, dass schon nach dem ersten Monat der Einführung der Marketing- maßnahme die Anzahl der unzufriedenen Kunden zugunsten der zufriedenen Kunden gesenkt werden kann. Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G eA HT 14 S A1 und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) 04. 4 April 2014 Seite 5 von 6