Mathematik_BG_eAHT_2015_CAS_geschwrzt.pdf
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „BG Abiturklausuren 2013-2019 SH“
Auf nl und 2 eA Analytisch metri MIT Punkteverteilung Aufgabe 1: 34 Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter a,b,c,... € Runddie Variablen x,t,... € R. a) Im nachfolgenden Koordinatensystem (Abbildung 1.1) ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Skizzieren Sie den Verlauf einer möglichen Stammfunktion F in das untere Koordina- tensystem. f(x) X Fi) x Abbildung 1.1 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 eAHT 15 S Al und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite 1von 7
Auf nl und2eA Analvti metri IT b) Gegeben ist die Funktion fa» mit der Funktionsgleichung fp(X)=a'x®+b-x mita>Oundb<0. Bestimmen Sie den Koeffizienten a in Abhängigkeit des Koeffizienten b so, dass der Graph der Funktion fa» mit der x-Achse im IV. Quadranten einen Flächeninhalt von 0,25 Flächeneinheiten (FE) einschließt. c) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit der allgemeinen Funktionsgleichung f(x) =a'x*+b-x?+c'x?+d:'x+ e verläuft achsensymmetrisch zur Ordinatenachse, hat im Punkt A(2]5) ein lokales Maximum und an der Stellex = —1 die Steigung m=—-6. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie. Der zugehörige Funktionsterm kann nicht eindeutig bestimmt werden, da die Anzahl der ge- gebenen Bedingungen zu ge- ring ist. Aus den gegebenen Bedingun- gen lässt sich unter anderem folgende Gleichung aufstellen: d=0. Um die Koeffizienten der Funktion f bestimmen zu können, wird die zweite Ableitungsfunktion benötigt. d) Gegeben ist die Funktion f} mit der Funktionsgleichung fX(x) = cos(2(x + 1)) +t Geben Sie an, für welche Werte des Parameters t der Graph innerhalb einer Periode die Abszissenachse zweimal oder gar nicht schneidet. Ermitteln Sie die Koordinaten der Berührpunkte mit der Abszissenachse. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 eAHT 15SA1 und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite 2 von 7
Auf nl und2eA Analvti metri IT 1 -5 e) Gegeben sind die Vektoren OA = (‘) und AB = (-25) sowie der Punkt 2 3 C(-2| - 2,5]1,5). Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors BC. fJ) Gegeben sind die zwei linear unabhängigen Vektoren ä und b. Prüfen Sie, ob auch die Vektoren € = 23 + bundd= -älinear unabhängig sind. 5 a g) Im R? ist die Geradenschar g,:X = () +r: ( 1 ) gegeben. 3 1+a Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung. Entscheidung und Begründung Keine Gerade der Schar verläuft durch den Ur- sprung. Es gibt nur eine Gerade der Schar, die die xı-Achse schneidet. Für a = —1 verläuft die Gerade parallel zur X1-X2-Ebene. 1 0 h) Gegeben ist die Ebene E, mit der Gleichung: E;: h - (-)) . ß) =, 0 u e Ermitteln Sie für die Ebene E, eine Ebenengleichung in Koordinatenform. e Begründen Sie, dass die Ebene E2:x2 + x3 = 0 parallel zur Ebene E,; ist. Der Nachweis, dass die Ebenen nicht identisch sind, ist nicht gefordert. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 eAHT 15SA1 und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite 3 von 7
Sufaben Boiid2wa Rralstischeig MIT CAS Punkteverteilung Aufgabe 2: Fun- und Kletterpark Der Tourismusverband in einem kleinen österreichischen Skigebiet plant für die Sommergäste in Höhe der Mittelstation einen Fun- und Kletterpark zu errichten. Zunächst soll eine Seilrutsche aufgebaut werden, die im Zick-Zack-Kurs von einer Talseite zur anderen führt. Der Chef des Tourismusverbandes hat bereits eine nicht maßstabsgetreue Skizze (Abb. 2.1) erstellt, sowie einige Eckdaten ermitteln lassen. Alle Zahlenwerte sind in Metern angegeben. m > EB \ an r | u. en ie e el re" a AS, dr a Te =FelsplateauP 7.77 ,STaRr-TöwER S(-100/300/1510) y III FR" an See 247: ag K5 90729071500) { (697 282/1481,5) h ; } er = B me ; Ei nf £ , / / Cop N B:)r PN (0/250/1420 # W/ ( 7% E 1 y > a En \ \ Ye 0% } 5 x wir a Abbildung 2.1: Entwurf einer Übersichtsskizze des Fun- und Kletterparks (nicht maßstäblich) Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 eAHT 15 S Al und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite4von 7
Aufgaben 1 und 2 eA Analytische Geometrie MIT CAS Der Start-Tower soll in der Nähe der Alm-Hütte auf einem bereits vorhandenen Beton- fundament aufgebaut werden. Dorthin gelangt man nur über einen langen Wanderweg. Der Chef des Tourismusverbandes schlägt daher vor, einen Kletterstieg vom Punkt KY (0|250|1420) als durchgehende, geradlinige Treppenkonstruktion (ohne Podeste) bis zum Punkt K J (−90|290|1500) unterhalb des Start-Towers zu errichten (Abb. 2.2). Abb. 2.2: Detailskizze des Kletterstiegs Abb. 2.3: Geplantes Hinweisschild am Kletterstieg a) Ermitteln Sie die fehlenden Angaben auf dem Hinweisschild (Abb. 2.3). In einem Umkreis von ca. 1,5 m um den Punkt K ^ (−69|282|1481,5) lässt sich ein besonders schönes Echo erzeugen. b) Prüfen Sie, ob Gäste des Fun- und Kletterparks auf dem Kletterstieg die Möglichkeit haben dieses Echo zu erzeugen. Die Seilrutsche soll von der Spitze des Start-Towers S(−100|300|1510) in Richtung 1 SSC SSST = U −3 V über den Change-Tower C im Zickzack-Kurs zum Landing-Tower L unterhalb xB der Mittelstation führen. Für die Seilrutsche gilt aus Sicherheitsgründen, dass das Gefälle nicht mehr als 35 % gegenüber der Horizontalen betragen sollte. SSSST so, dass das größtmögliche Gefälle c) Berechnen Sie die xB -Koordinate des Vektors SC erreicht wird, aber die Sicherheitsbestimmung für die Strecke vom Start-Tower S zum Change-Tower C eingehalten wird. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eA HT 15 S A1 und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) 20. März 2015 Seite 5 von 7
Aufgaben 1 und 2 eA Analytische Geometrie Der Start der Seilrutsche erfolgt von einer Rampe, die zwei Meter unterhalb der Spitze S am Start-Tower im Punkt A befestigt ist. Die Gäste nehmen in Richtung des Punktes R Anlauf. Damit beträgt die maximale Anlauflänge ca. 2,5 Meter. Die gestrichelt dargestellte Linie zwischen den Punkten A und R stellt die lotrechte Projektion des Seiles auf die Rampe dar. Gleichzeitig ist sie die Symmetrielinie der Rampe. Als weitere Eckpunkte sind EY (−101,75|297,35|1506,45) und EJ (−97,01|298,93|1506,45) vorgesehen. MIT CAS Abb. 2.4: Start-Tower mit Rampe Der TÜV hat jedoch die maximale Anlauflänge von nur ca. 2,5 Metern beanstandet und fordert stattdessen eine Verdoppelung der Anlauflänge. d) Zeigen Sie, dass die maximale Anlauflänge ca. 2,5 Meter beträgt. d Eckpunkte EY d EJ Ermitteln Sie die Koordinaten der und (in Verlängerung der Vektoren SSSSSSTY bzw. AE SAE SSSSSSSTJ ), so dass die Forderung des TÜV auf Verdoppelung der Anlauflänge erfüllt wird. Ursprünglichen Planungen zufolge sollte im Punkt F(300|525|1185) der Endpunkt des Seiles liegen. Der Chef des Tourismusverbandes möchte für den Fun- und Kletterpark aber unbedingt mit der längsten Seilrutsche Europas (mindestens 1,2 km) werben. Daher fordert er, dass die Seilrutsche zwischen dem Change-Tower C und dem Landing- Tower L über den Punkt F hinaus um ein Drittel länger wird, als sie zwischen dem Change- Tower C und dem Landing-Tower in F geworden wäre. Aufgrund der landschaftlichen Verhältnisse wird der Verlauf der Seilrutsche zwischen dem Change-Tower C und dem 4 SSSST = U 7 V beschrieben. Für den Abschnitt Landing-Tower L mit Hilfe des Vektors CL −3 zwischen Start- und Change-Tower wurde die Richtung des Seiles entlang des Vektors 1 SSC SSST = U−3V festgelegt. −1 e) Ermitteln Sie die Koordinaten der Spitze des Change-Towers C und die Koordinaten der Spitze des Landing-Towers L. Prüfen Sie, ob der Chef des Tourismusverbandes mit der längsten Seilrutsche Europas werben kann. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eA HT 15 S A1 und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) 20. März 2015 Seite 6 von 7
Aufgaben 1 und 2 eA Analytische Geometrie Im mittleren Drittel des Abschnittes vom Start- zum Change-Tower verläuft die Seilrutsche nahe eines ansteigenden ebenen Felsplateaus (Abb. 2.5). Dieses Felsplateau P verläuft durch die Punkte PY (−50|180|1360), PJ (−80|205|1420) und PB (−100|200|1470). , MIT CAS Abb. 2.5: Detailskizze des Felsplateaus f) Stellen Sie die Normalenform der Ebenengleichung auf, die das Felsplateau beschreibt. Erläutern Sie, wie durch Rechnung geprüft werden kann, dass eine beliebige Gerade echt parallel zu einer Ebene verläuft. Auf diesem Felsplateau soll im Punkt W(−90|170|1460) ein lotrechter Mast errichtet werden, an dem eine Hochleistungswebcam befestigt werden soll. Mit dieser Kamera sollen die Besucher fotographiert werden, wenn diese auf der Seilrutsche den kürzesten Abstand zur Kamera haben. Der Fokus der Kamera ist so eingestellt, dass die Kamera bei einer Entfernung des zu fotographierenden Objekts von 32 Metern die besten Aufnahmen macht. Allerdings hängt die Qualität der Kameraaufnahmen auch wesentlich von der Geschwindig- e keit der Seilrutschenbenutzer ab. Ab einer Geschwindigkeit von 8 f werden die Bilder unscharf. Die nachfolgende Graphik zeigt die Geschwindigkeit eines Besuchers auf der Seilrutsche in Abhängigkeit der Höhenabnahme, wenn er nicht abgebremst wird. Dabei ist v(0) = 0 die Geschwindigkeit am Start und v(100) gibt die Geschwindigkeit im 100 Meter tiefer gelegenem Change-Tower an. Abb. 2.6: Geschwindigkeit der Seilrutscher in Abhängigkeit der Höhenabnahme g) Bestimmen Sie die Länge des Mastes, an dem die Kamera befestigt werden soll, damit der Abstand zu den vorbei rutschenden Besuchern genau 32 Meter beträgt. Beurteilen Sie, ob der Einsatz der Kamera sinnvoll sein wird. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eA HT 15 S A1 und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) 20. März 2015 Seite 7 von 7
Aufgaben 1 und 2 eA Lineare Algebra MIT CAS Punkteverteilung Aufgabe 1: Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter a,b,c,... € Runddie Variablen x,t,... € R. a) Im nachfolgenden Koordinatensystem (Abbildung 1.1) ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Skizzieren Sie den Verlauf einer möglichen Stammfunktion F in das untere Koordina- tensystem. fix) X F) x Abbildung 1.1 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 eAHT 15SA1 und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite 1 von 6
Auf nlund2eA Lineare Alsebr IT b) Gegeben ist Funktion fa» mit der Funktionsgleichung fp(X) =a'x®+b-x mita>Oundb<O0. Bestimmen Sie den Koeffizienten a in Abhängikeit des Koeffizienten b so, dass der Graph der Funktion fa» mit der x-Achse im IV. Quadranten einen Flächeninhalt von 0,25 Flächeneinheiten (FE) einschließt. c) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit der allgemeinen Funktionsgleichung fx) =a'x*?+b-x?+c'x?+d'x+ e verläuft achsensymmetrisch zur Ordinatenachse, hat im Punkt A(2]5) ein lokales Maximum und an der Stellex = —1 die Steigung m=-6. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie. Der zugehörige Funktionsterm kann nicht eindeutig bestimmt werden, da die Anzahl der ge- gebenen Bedingungen zu ge- ring ist. Um die Koeffizienten der Funktion f bestimmen zu können, wird die zweite Ableitungsfunktion benötigt. Aus den gegebenen Bedingun- gen lässt sich unter anderem folgende Gleichung aufstellen: d=0. d) Gegeben ist die Funktion f}; mit der Funktionsgleichung f{(x) = cos(2(x+1)) +t. Geben Sie an, für welche Werte des Parameters t der Graph innerhalb einer Periode die Abszissenachse zweimal oder gar nicht schneidet. Ermitteln Sie die Koordinaten der Berührpunkte mit der Abszissenachse. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 eAHT 15SA1 und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite 2 von 6
A ni 2 ineare Alsebr. I e) Untersuchen Sie, für welche Werte des Koeffizienten a das lineare Gleichungssystem: iR —2y-+ lZ = -5 1y+ 32 = 1 (-2)-z = a el) eindeutig lösbar, e2) mehrdeutig lösbar und e3) nicht lösbar ist. Geben Sie für a = —2 die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems an. a 1b —18 0 12 f) Gegeben sind die Matrizen A=| 2 c 0O}undB= 0 6 12 I. —4 d 1 -16 -8 -22 Bestimmen Sie die Matrixelemente a,b, cundd so, dass2:A? =B gilt. g) Ermitteln Sie eine mögliche Matrix X, für die die folgende Matrizengleichung gilt: x)=()mux=(u 32) h) Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte). Jede Matrix hat eine zugehörige inverse Matrix. Wenn die quadratischen Matrizen A und B vom gleichen Typ sind, dann gilt: (A- B-!)T = (B-!)T AT, Hat die Matrizengleichung: M -x = X einen von Null verschiedenen Lösungsvektor x, so ist der Vektor X Fixvektor zur Matrix M. )aro Ermitteln Sie die Matrix X in der MatrizengleichungA -X+B=A. a i) Gegeben sind die Matrizen A = ( z .) undB = ( =a 2 nie €— Bestimmen Sie das Matrixelement a so, dass A? +B= gilt. wIunw|w DNIw — Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 eAHT 15SA1 und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite 3 von 6