Auf n 1 und 2 sA Analvytisch metri MIT

Punkteverteilung Aufgabe 1:

 

Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter
a,b,c,... € Runddie Variablen x,t,... € R.

a) Im nachfolgenden Koordinatensystem (Abbildung 1.1) ist der Graph einer Funktion f
dargestellt.
Skizzieren Sie den Verlauf der ersten Ableitungsfunktion in das untere Koordinaten-

system.
ne)
N
f’&)
=

Abbildung 1.1

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gAHT 15 SAl und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite 1von 7

Aufgaben 1und2gAAnalytischeGeometrie MIT CAS

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der gekenn- BER
zeichneten Flächen (siehe Abb. 1.2). Für die abge-
bildeten Funktionsgraphen gelten die folgenden
Funktionsgleichungen:
f(x) = 3x? — 18x? + 27x +1
g(x) = -2,25x + 11,5

Abbildung 1.2

c) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit der allgemeinen Funktionsgleichung
f(x) =a'x*+b-x®+c'x?+d:'x+e verläuft achsensymmetrisch zur Ordinaten-
achse, hat im Punkt A(2]5) ein lokales Maximum und an der Stellex = —1 die
Steigungm = —6.

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie.

An der Stellex = —2 hat der
Graph der Funktion f eine
waagerechte Tangente.

Um die Koeffizienten der
Funktion f bestimmen zu
können, wird die zweite
Ableitungsfunktion benötigt.

Zur Bestimmung der
Koeffizienten der Funktion fgilt
die Bedingung:

f(-1) = -

 

d) Entscheiden Sie ausgehend von der Funktion f mit der Gleichung
fx) =a' sin(b -(x- c)) +dmita,b #0,
ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz
gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte).

Fürra=b=1lundc=d=Ogilt:
Eine Wendestelle befindet sich beix = n.

Füra=b=1undc=d=Ogilt: Ss fCx)dx = 2.

Füorra=b=1x =Zundd = Ogilt:
Der Graph der Funktion f ist identisch mit dem Graphen der
Funktion gmitg(x) = cos(x).

 

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gAHT 15 SA1l und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) Seite 2 von 7

Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie MIT CAS 1,5 0,5 ST > U V e) Die folgende Graphik (siehe Abb. 1.3) zeigt die Vektoren SuT > U V, v @0,5 1 und SxT sowie den Punkt P(1,5|2). Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors SxT. Abbildung 1.3 1 1 ST > W0X. f) Gegeben sind die Vektoren SaT > W2X und b 0 2 ST linear unabhängig sind. Begründen Sie, warum die Vektoren SaT und b ST und SdT > @aST C 2 SbT linear unabhängig sind. Prüfen Sie, ob auch die Vektoren cT > 2aST C b Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG gA HT 15 S A1 und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) 20. März 2015 Seite 3 von 7

Auf n 1 und 2 sA Analvytisch metri IT

g) Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen über Geraden im dreidimensionalen Raum wahr
oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung.

Entscheidung und Begründung

Orthogonale Geraden
schneiden sich immer
in einem Punkt.

Windschiefe Geraden
haben einen konstan-
ten Abstand zueinan-
der.

Die Gerade g mit der

Gleichung:

1
gi=r- (1) verläuft

0
in der xı-x2-Ebene.

 

h) Gegeben ist die Ebene E mit der Gleichung E:x} + 3x2 + 3x3 = 3.

Ermitteln Sie für die Ebene E eine Ebenengleichung in Parameterform.

Zeichnen Sie ein Schrägbild der Ebene E.

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(iso |
weitomamu |

Der Tourismusverband in einem kleinen österreichischen Skigebiet plant für die Soemmer-
gäste in Höhe der Mittelstation einen Fun- und Kletterpark zu errichten. Zunächst soll eine
Seilrutsche aufgebaut werden, die im Zick-Zack-Kurs von einer Talseite zur anderen führt.

 

Der Chef des Tourismusverbandes hat bereits eine nicht maßstabsgetreue Skizze (Abb. 2.1)
erstellt, sowie einige Eckdaten ermitteln lassen. Alle Zahlenwerte sind in Metern
angegeben.

S (-100/300/1510) /
r m Ihe" #
KG?0/290 1500),
<K,. (-73,125/282,5/1485)

\ NE’ , J, F = 22 ®
\ ; nf f v Fr)
N, wre K(0/250/1420)
LER H fl i re Br _
\ (200/350/1260) Giesen DI
N.

 

Abbildung 2.1: Entwurf einer Übersichtsskizze des Fun- und Kletterparks (nicht maßstäblich)

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Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie MIT CAS Der Start-Tower S soll in der Nähe der Alm-Hütte auf einem bereits vorhandenen Beton- fundament aufgebaut werden. Dorthin gelangt man nur über einen langen Wanderweg. Der Chef des Tourismusverbandes schlägt daher vor, einen Kletterstieg vom Punkt KZ (0|250|1420) als durchgehende, geradlinige Treppenkonstruktion (ohne Podeste) bis zum Punkt K B (@90|290|1500) unterhalb des Start-Towers zu errichten (Abb. 2.2). Abb. 2.2: Detailskizze des Kletterstiegs Abb. 2.3: Geplantes Hinweisschild am Kletterstieg a) Ermitteln Sie für das Hinweisschild (Abb. 2.3) die fehlenden Angaben bezüglich der Länge des Kletterstiegs und der Anzahl der Treppenstufen. In dem Skigebiet ist ein Standpunkt mit den Koordinaten K _ (@73,125|282,5|1485) markiert, an dem ein besonders schönes Echo erzeugt werden kann. b) Zeigen Sie, dass Gäste des Fun- und Kletterparks auf dem Kletterstieg dieses besonders schöne Echo erzeugen können. Die Seilrutsche soll von der Spitze des Start-Towers S(@100|300|1510) in Richtung 1 SSC SSST > W@3X über den Change-Tower C im Zickzack-Kurs zum Landing-Tower L unterhalb @1 der Mittelstation führen. Für die Seilrutsche gilt aus Sicherheitsgründen, dass das Gefälle nicht mehr als 40 % gegenüber der Horizontalen betragen darf. c) Prüfen Sie, ob diese Sicherheitsbestimmung für den ersten Teil der Strecke vom Start- Tower S zum Change-Tower C eingehalten wird. Aufgrund der landschaftlichen Gegebenheiten muss der Streckenverlauf zwischen dem Change- und dem Landing-Tower so erfolgen, dass er mit der Gleichung beschrieben werden kann. 4 200 g ab : SxT > W 350 X C r ∙ W 7 X 1260 @3 d) Ermitteln Sie die Koordinaten des Fundamentes des Change-Towers Cc , wenn dieser eine Höhe von 7,5 m haben soll. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG gA HT 15 S A1 und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) 20. März 2015 Seite 6 von 7

Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie Der Start der Seilrutsche erfolgt von einer Rampe, die zwei Meter unterhalb der Spitze S am Start-Tower im Punkt A befestigt ist. Die Gäste nehmen in Richtung des Punktes R Anlauf. Die gestrichelt dargestellte Linie zwischen den Punkten A und R stellt die lotrechte Projektion des Seiles auf die Rampe dar. Gleichzeitig ist sie die Symmetrielinie der Rampe. Als weitere Eckpunkte sind EZ (@97,01|298,93|1506,45) und EB (@101,75|297,35|1506,45) vorgesehen. MIT CAS Abb. 2.4: Start-Tower mit Rampe e) Berechnen Sie die maximale Anlauflänge auf der Rampe zwischen den Punkten A und R. Untersuchen Sie, ob der Abstand zwischen dem Seil und der Rampe in Richtung des Anlaufs zunimmt. Ermitteln Sie die Größe der Rampe in Quadratmetern. Der erste Abschnitt der Seilrutsche vom Start- zum Change-Tower hat eine Länge von ca. 332 m. Die Spitze des Landing-Towers hat die Koordinaten L(400|700|1110). Genau in der Mitte der Strecke zwischen dem Change- und dem Landing-Tower soll im Seil im Punkt M(200|350|1260) ein Sensor eingebaut werden. f) Berechnen Sie die Gesamtlänge der Seilrutsche. Im mittleren Drittel des Abschnittes vom Start-Tower S zum Change-Tower C verläuft die Seilrutsche nahe eines ansteigenden ebenen Felsplateaus (Abb. 2.5). Dieses Felsplateau P verläuft durch die Punkte PZ (@50|180|1360), PB (@80|205|1420), P? (@100|200|1470). Abb. 2.5: Detailskizze des Felsplateaus @30 @50 @50 g) Begründen Sie, dass die Ebenengleichung E: xST > W 180 X C s ∙ W 25X C r ∙ W 20 X das 60 1360 110 Felsplateau beschreibt. Zeigen Sie, dass die Seilbahn im Abschnitt zwischen Start- und Change-Tower parallel zum Felsplateau verläuft. Auf diesem Felsplateau soll im Punkt W(@90|170|1460) eine Hochleistungswebcam aufgebaut werden, die bis zu einer Entfernung von 30 m gute Aufnahmen machen kann. h) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes F auf der Seilrutsche zwischen dem Start- tower S und dem Change-Tower C, der den kürzesten Abstand zur Webcam W hat. Beurteilen Sie, ob der Einsatz dieser Kamera sinnvoll ist. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG gA HT 15 S A1 und A2 AnaGeo MIT CAS (Abschnitt 1) 20. März 2015 Seite 7 von 7

Aufgabe 1 und 2 gA Lineare Algebra MIT CAS

Punkteverteilung Aufgabe 1:

 

Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter
a,b,c,... € Runddie Variablen x,t,... € R.

a) Im nachfolgenden Koordinatensystem (Abbildung 1.1) ist der Graph einer Funktion f
dargestellt.
Skizzieren Sie den Verlauf der ersten Ableitungsfunktion in das untere Koordinatensys-

tem.
f(x)
x
F&)
x
Abbildung 1.1
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gAHT 15 S Al und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite 1 von 6

Aufgabe 1 und 2gALineare Algebra 0 MITCAS

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der gekenn- DAT
zeichneten Flächen (siehe Abb. 1.2). Für die abge-
bildeten Funktionsgraphen gelten die folgenden
Funktionsgleichungen:
f(x) = 3x? — 18x? + 27x +1
g(x) = -2,25x + 11,5

Abbildung 1.2

c) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit der allgemeinen Funktionsgleichung
f(x) =a'x*+b-x®+c'x?+d:'x+e verläuft achsensymmetrisch zur Ordinaten-
achse, hat im Punkt A(2]5) ein lokales Maximum und an der Stellex = —1 die
Steigungm = —6.

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie.

An der Stellex = —2 hat der
Graph der Funktion f eine
waagerechte Tangente.

Um die Koeffizienten der
Funktion f bestimmen zu
können, wird die zweite
Ableitungsfunktion benötigt.

Zur Bestimmung der
Koeffizienten der Funktion f gilt
die Bedingung:

f(-1) = —6.

 

d) Entscheiden Sie ausgehend von der Funktion f mit der Gleichung
fx) =a' sin(b -(x- c)) +dmita,b #0,
ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz
gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte).

Fürra=b=1lundc=d=Ogilt:
Eine Wendestelle befindet sich beix = n.

Füra=b=1undc=d=Ogilt: Ss fCx)dx = 2.

Füorra=b=1x =Zundd = Ogilt:
Der Graph der Funktion f ist identisch mit dem Graphen der
Funktion gmitg(x) = cos(x).

 

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gAHT 15 S Al und A2 LinAlg MIT CAS (Abschnitt 2) Seite 2 von 6

Aufgabe 1 und 2 gA Lineare Algebra MIT CAS

e) Zeigen Sie, dass die Lösungsmenge des in Matrixschreibweise gegebenen linearen Glei-
chungssystems L = {(2|1| — 2)} ist.
-6
5
2

1-4 2

2 ss ı
3 6 1

Begründen Sie, warum die Lösungsmenge L = {(2|1| — 2)} die einzige Lösung dieses li-

nearen Gleichungssystemms ist.

 

f) Bestimmen Sie die Matrixelemente x12, X2ı und X31 so, dass die folgende Matrizen-
gleichung gilt:
1 %2 0 3 7X12
f 1 ) Ä (6) i (®)
X31 1 1 0 3x12

g) Gegeben ist die Matrix M = ( HH!

Bestimmen Sie die Matrixelemente q undr so, dass die Gleichung MT -M = 2Ejgilt,
wobei E die Einheitsmatrix ist.

h) Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.

Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt
es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte).

Jede Matrix hat eine zugehörige inverse Matrix. =.

Gilt die Matrizengleichung: A x = X, so handelt es sich um eine
stabile (stationäre) Verteilung.

 

i) Gegeben sind die Matrizen A= (Ü 5 B= e ) undC = E )

Bestimmen Sie die MatrixX so, dass A-X+C = Bgilt.

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