Mathematik_BG_gAHT_2015_geschwrzt.pdf
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „BG Abiturklausuren 2013-2019 SH“
Auf n 1 und 2 sA Analvytisch metri HNE Punkteverteilung Aufgabe 1: Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter a,b,c,... € Runddie Variablen x,t,... € R. a) Im nachfolgenden Koordinatensystem (Abbildung 1.1) ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Skizzieren Sie den Verlauf der ersten Ableitungsfunktion in das untere Koordinaten- system. f(x) x F&) x Abbildung 1.1 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 gAHT 15 SA1 und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) Seite 1von 7
Auf n1 und 2 sA Analvti metri HN b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der gekenn- f). 90) zeichneten Fläche (siehe Abb. 1.2). Für die abgebildeten Funktionsgraphen gelten die folgenden Funktionsgleichungen: 7 6 5 f(x) = —0,5x? + 4x 4 3 g(x) = -0,5x +9 2 1 oO Abbildung 1.2 c) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit der allgemeinen Funktionsgleichung fx) =a'x*+b-x®+c'x?+d'x+e verläuftachsensymmetrisch zur Ordinaten- achse, hat im Punkt A(2]5) ein lokales Maximum und an der Stellex = —1 die Steigung m = —6. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie. An der Stellex = —2 hat der Graph der Funktion feine waagerechte Tangente. Um die Koeffizienten der Funktion f bestimmen zu können, wird die zweite Ableitungsfunktion benötigt. Zur Bestimmung der Koeffizienten der Funktion f gilt die Bedingung: f(-1) = —6. d) Entscheiden Sie ausgehend von der Funktion f mit der Gleichung f(x) = a: sin(b-(x+c))+dmita,b # 0, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte). Füra=b=1undce=d=Ogilt: Eine Wendestelle befindet sich beix = nt. Fürra=b=1undc=d=Ogilt: f(x)dx = 2. Füra=2,b=1,c=Zundd = Ogilt: Der Graph der Funktion f ist identisch mit dem Graphen der Funktion gmit g(x) = cos(x). Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 gAHT 15 SA1l und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) Seite 2 von 7
Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie OHNE CAS 1,5 0,5 ST ? U V e) Die folgende Graphik (siehe Abb. 1.3) zeigt die Vektoren SuT ? U V, v @0,5 1 und SxT sowie den Punkt P(1,5|2). Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors SxT. 1 1 ST ? W0X. f) Gegeben sind die Vektoren SaT ? W2X und b 0 2 Abbildung 1.3 ST linear unabhängig sind. Begründen Sie, warum die Vektoren SaT und b ST und SdT ? @aST B 2 SbT linear unabhängig sind. Prüfen Sie, ob auch die Vektoren cT ? 2aST B b Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG gA HT 15 S A1 und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) 20. März 2015 Seite 3 von 7
Auf n 1 und 2 sA Analvytisch metri HNE g) Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen über Geraden im dreidimensionalen Raum wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung. Entscheidung und Begründung Orthogonale Geraden schneiden sich immer in einem Punkt. Die Gerade g mit der Gleichung: 1 gi=r- (-:) verläuft 0 in der xı-x2-Ebene. Windschiefe Geraden haben einen konstan- ten Abstand zueinan- der. h) Gegeben ist die Ebene E mit der Gleichung E:x} + 3x2 + 3x3 = 3. Ermitteln Sie für die Ebene E eine Ebenengleichung in Parameterform. Zeichnen Sie ein Schrägbild der Ebene E. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 gAHT 15 SA1l und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) Seite 4 von 7
Der Tourismusverband in einem kleinen österreichischen Skigebiet plant für die Soemmer- gäste in Höhe der Mittelstation einen Fun- und Kletterpark zu errichten. Zunächst soll eine Seilrutsche aufgebaut werden, die im Zick-Zack-Kurs von einer Talseite zur anderen führt. Der Chef des Tourismusverbandes hat bereits eine nicht maßstabsgetreue Skizze (Abb. 2.1) erstellt, sowie einige Eckdaten ermitteln lassen. Alle Zahlenwerte sind in Metern angegeben. an ZW (-90/1701140 LA / ee 7 - K[-90/290/1500],7 K590/290/1500), (-45/270/1460) i | i 4 N f v hun N 3 ' 0/250/1420 a NN, nr Kl / 3 4 N ie 7 ; / Pr I (200/350/1260) er: 0 Abbildung 2.1: Entwurf einer Übersichtsskizze des Fun- und Kletterparks (nicht maßstäblich) Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 gAHT 15 SA1l und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) Seite5 von 7
Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie OHNE CAS Der Start-Tower S soll in der Nähe der Alm-Hütte auf einem bereits vorhandenen Beton- fundament aufgebaut werden. Dorthin gelangt man nur über einen langen Wanderweg. Der Chef des Tourismusverbandes schlägt daher vor, einen Kletterstieg vom Punkt KZ (0|250|1420) als durchgehende, geradlinige Treppenkonstruktion (ohne Podeste) bis zum Punkt K A (@90|290|1500) unterhalb des Start-Towers zu errichten (Abb. 2.2). Abb. 2.2: Detailskizze des Kletterstiegs Abb. 2.3: Geplantes Hinweisschild am Kletterstieg a) Ermitteln Sie für das Hinweisschild (Abb. 2.3) die fehlenden Angaben bezüglich der Länge des Kletterstiegs und der Anzahl der Treppenstufen. In dem Skigebiet ist ein Standpunkt mit den Koordinaten K ^ (@45|270|1460) markiert, an dem ein besonders schönes Echo erzeugt werden kann. b) Zeigen Sie, dass Gäste des Fun- und Kletterparks auf dem Kletterstieg dieses besonders schöne Echo erzeugen können. Die Seilrutsche soll von der Spitze des Start-Towers S(@100|300|1510) in Richtung 1 SSC SSST ? W@3X über den Change-Tower C im Zickzack-Kurs zum Landing-Tower L unterhalb @1 der Mittelstation führen. Für die Seilrutsche gilt aus Sicherheitsgründen, dass das Gefälle nicht mehr als 40 % gegenüber der Horizontalen betragen darf. c) Prüfen Sie, ob diese Sicherheitsbestimmung für den ersten Teil der Strecke vom Start- Tower S zum Change-Tower C eingehalten wird. Aufgrund der landschaftlichen Gegebenheiten muss der Streckenverlauf zwischen dem Change- und dem Landing-Tower so erfolgen, dass er mit der Gleichung beschrieben werden kann. 4 200 g `a : SxT ? W 350 X B r ∙ W 7 X 1260 @3 d) Ermitteln Sie die Koordinaten des Fundamentes des Change-Towers Cb , wenn dieser eine Höhe von 7,5 m haben soll. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG gA HT 15 S A1 und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) 20. März 2015 Seite 6 von 7
Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie Der Start der Seilrutsche erfolgt von einer Rampe, die zwei Meter unterhalb der Spitze S am Start-Tower im Punkt A befestigt ist. Die Gäste nehmen in Richtung des Punktes R Anlauf. Die gestrichelt dargestellte Linie zwischen den Punkten A und R stellt die lotrechte Projektion des Seiles auf die Rampe dar. Gleichzeitig ist sie die Symmetrielinie der Rampe. Als weitere Eckpunkte sind EZ (@105|295|1505,5) und EA (@93|299|1505,5) vorgesehen. OHNE CAS Abb. 2.4: Start-Tower mit Rampe e) Berechnen Sie die maximale Anlauflänge auf der Rampe zwischen den Punkten A und R. Untersuchen Sie, ob der Abstand zwischen dem Seil und der Rampe in Richtung des Anlaufs zunimmt. Ermitteln Sie die Größe der Rampe in Quadratmetern. Der erste Abschnitt der Seilrutsche vom Start- zum Change-Tower hat eine Länge von ca. 332 m. Die Spitze des Landing-Towers hat die Koordinaten L(400|700|1110). Genau in der Mitte der Strecke zwischen dem Change- und dem Landing-Tower soll im Seil im Punkt M(200|350|1260) ein Sensor eingebaut werden. f) Berechnen Sie die Gesamtlänge der Seilrutsche. Im mittleren Drittel des Abschnittes vom Start-Tower S zum Change- Tower C verläuft die Seilrutsche nahe eines ansteigenden ebenen Felsplateaus (Abb. 2.5). Dieses Felsplateau P verläuft durch die Punkte PZ (@50|180|1360), PA (@80|205|1420) und PG (@100|200|1470). Abb. 2.5: Detailskizze des Felsplateaus @30 @50 @50 g) Begründen Sie, dass die Ebenengleichung E: SxT ? W 180 X B s ∙ W 25 X B r ∙ W 20 X das 60 1360 110 Felsplateau beschreibt. Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf, mit dem die gegenseitige Lage von Seil und Felsplateau untersucht werden kann. Das Lösen des linearen Gleichungssystems ist nicht gefordert. Erläutern Sie, welche Eigenschaft das lineare Gleichungssystem besitzt, wenn das Seil echt parallel zum Felsplateau verläuft. Auf diesem Felsplateau soll im Punkt W(@90|170|1460) eine Hochleistungswebcam aufgebaut werden, die bis zu einer Entfernung von 30 m gute Aufnahmen machen kann. h) Bestimmen Sie den kürzesten Abstand der Webcam W zur Seilrutsche im Abschnitt zwischen dem Start- und Change-Tower. Entscheiden Sie begründet, ob der Einsatz dieser Kamera sinnvoll ist. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG gA HT 15 S A1 und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) 20. März 2015 Seite 7 von 7
Aufgabe 1 und 2 gA Lineare Algebra OHNE CAS Punkteverteilung Aufgabe 1: Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter a,b,c,... € Runddie Variablen x,t,... € R. a) Im nachfolgenden Koordinatensystem (Abbildung 1.1) ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Skizzieren Sie den Verlauf der ersten Ableitungsfunktion in das untere Koordinatensys- tem. f(x) x 69) X Abbildung 1.1 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 gAHT 15 S Al und A2 LinAlg OHNE CAS (Abschnitt 2) Seite 1 von 6
Aufgabe 1 und 2 gA Lineare Algebra OHNE CAS b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der gekenn- f). 90) zeichneten Fläche (siehe Abb. 1.2). Für die abgebildeten Funktionsgraphen gelten die folgenden Funktionsgleichungen: 7 6 5 f(x) = —0,5x? + 4x 4 3 g(x) = -0,5x +9 2 1 oO Abbildung 1.2 c) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit der allgemeinen Funktionsgleichung fx) =a'x*+b-x®+c'x?+d'x+e verläuftachsensymmetrisch zur Ordinaten- achse, hat im Punkt A(2]5) ein lokales Maximum und an der Stellex = —1 die Steigung m = —6. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie. An der Stellex = —2 hat der Graph der Funktion feine waagerechte Tangente. Um die Koeffizienten der Funktion f bestimmen zu können, wird die zweite Ableitungsfunktion benötigt. Zur Bestimmung der Koeffizienten der Funktion f gilt die Bedingung: f(-1) = —6. d) Entscheiden Sie ausgehend von der Funktion f mit der Gleichung f(x) = a: sin(b-(x+c))+dmita,b # 0, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte). Füra=b=1undce=d=Ogilt: Eine Wendestelle befindet sich beix = nt. Fürra=b=1undc=d=Ogilt: f(x)dx = 2. Füra=2,b=1,c=Zundd = Ogilt: Der Graph der Funktion f ist identisch mit dem Graphen der Funktion gmit g(x) = cos(x). Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 gAHT 15 S Al und A2 LinAlg OHNE CAS (Abschnitt 2) Seite 2 von 6
Aufgabe 1 und 2 gA Lineare Algebra OHNE CAS e) Ermitteln Sie die fehlenden Koeffizienten in dem gegebenen linearen Gleichungssystem und tragen Sie diese in die vorgegebenen Felder ein. Geben Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems an. x-4y+2z=-6 2x+3y+ z= 5 -32+6y+ z=—2 x-4A4y+2z= -6 y-3z= 17 -6 z=-20 x-4y+22= -6 66y—182= 102 z = 118 f) Bestimmen Sie die Matrixelemente x7,,Xzı und x31 so, dass die folgende Matrizen- gleichung erfüllt ist: 1 Xı2 0 3 >17 1 ) ; (6) _ (2) xı 1 1 0 9 g) Gegeben ist die MatrixM = e N): Bestimmen Sie das Matrixelement r so, dass die Gleichung MT:M=2E gilt, wobei E die Einheitsmatrix ist. h) Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte). Jede Matrix hat eine zugehörige inverse Matrix. e Gilt die Matrizengleichung: A-x = X, so handelt es sich um eine stabile (stationäre) Verteilung. : ; : _f4 4 5 i) Gegeben sind die Matrizen A= = 5) undB= r + Bestimmen Sie die Matrix X so, dass A-X = Bggilt. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 20. März 2015 gAHT 15 S Al und A2 LinAlg OHNE CAS (Abschnitt 2) Seite 3 von 6