bestimmt nähe-
rungsweise den
Wert der Steigung
des Graphen der
Funktion fan der
Stellex; = 3,5,

skizziert den Ver-
lauf der Ablei-
tungsfunktion f’
und

ermittelt den Wert
der durchschnitt-
lichen Steigung.
gibt die Gleichung
der ersten Ablei-
tung der Funktion
fanund
entscheidet be-
gründet, ob die
Aussagen wahr
oder falsch sind.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 17 LA1 und A2 AnaGeo

Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung:

Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden-
tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen
werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet.

gilt der jeweils angegebene Hinweis.
Ermittlung der Tangentensteigung m: = -3 beispielsweise mithil-
fe eines Steigungsdreieckes.

i
5

 

 

 

Ermittlung der Sekantensteigung m, = —0,3 beispielsweise mit-
hilfe eines Steigungsdreieckes.
Pe

Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche
Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null
Punkte).

Die Funktion f schneidet die Ordinatenachse im Punkt ee
S(011).

Begründung: f(0) = 3e’ +1 =

Verschiebt man den Graphen der Funktion f um eine

Einheit nach rechts, so lautet die zugehörige Funkti-
onsgleichung: g(x) = 3e**! +1.

Begründung: Da durch die Veränderung im Exponenten bei
Funktion galle Abszissen gegenüber f um eine Einheit erhöht
werden, hat diese Funktion die gleichen Funktionswerte wie die
Funktion f nur eine Einheit „früher“. Es handelt sich folglich um
eine Verschiebung der Funktion nach links.

 

05. April 2017

(Abschnitt 1) Seitelvon 4

zeichnet den Gra-
phen der Funktion
gund

berechnet die
Größe der einge-
schlossenen Flä-
che.

entscheidet, ob die
Aussagen wahr
oder falsch sind.

gibt eine Glei-
chung für eine
Gerade an, ...

gibt die Geraden-
gleichung der
Schnittgeraden an,
zeichnet die
Schnittgerade in
das Koordinaten-
system ein und

zeichnet den Ach-
senschnittpunkt
der Ebene E, mit
der x-Achse ein.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 17 LA1 und A2 AnaGeo

0
27 4 [FE]

0
1
se | - dx = a2 +c|
2

Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche
Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral

null Punkte). wie)
x |
Ey

Der Vektor ä liegt nicht in der x-y-Ebene. X

Der Vektor ä ist ein Einheitsvektor. |

Die Vektoren ä und b sind orthogonal zueinander. FF
x,

Die Vektoren äund b sind linear voneinander
die identisch mit der Gerade g ist, aber nicht durch die angegebene

0 0
Geradengleichung beschrieben wird: g1:X = (-:) +Ss: (2)
—3 0

0 1
die senkrecht zur Gerade g verläuft: g,:X = | ) +S° (0)
3 0
die Gerade g im Punkt P(0|2|-3) schneidet:
1

 

6x+5:0+15:0=30
x=5=>A(5[0|0)

 

(Abschnitt 1)

05. April 2017
Seite2von4

Aufgabe 2: Neubau

| | Anforderungen | Modelllösungen BF

 

Der Prüfling

gibt die Koordi-
naten der Punkte
AundPanund
berechnet den
Dachneigungs-
winkel a.
berechnet die
Materialkosten
für die gesamte
Dachkehle.

zeigt, dass die
Firstlinie GF und
die Firstlinie FE
im rechten Win-
kel zueinander
liegen.

berechnet, wel-
che Qualitätsstu-
fe der Auftragge-
ber maximal
auswählen kann.

zeigt, dass die
Antenne in dem
Punkt

H, (-3]15]8,7)
am Dach befes-
tigt werden
muss.

Zentrale Abschlussprüfung MthematikBG nn 05. April 2017° Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 17 LA1 und A2 AnaGeo

Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung:
Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden-
tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen
werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet.
A(15]0]0), P(-10]22]6)
0 0

6)

cos(a) = GC. > a = 48,37°

-8 4
0 4,5

-5
CF = (- —4 )
4,5
|CF| = 7,83m
Kosten: 7,83 m : 25,00 — = 195,75 Euro

-5 -—135 —20
GF= ( 4 — :)-( )
10,5 — 10,5 0

-5 - (-5) 0
FE = (, >—4 )-(®)
10,5 - 10,5 0

GF+FE = 0
Somit liegen die Firstlinie GF und die Firstlinie FE im rechten Win-
kel zueinander.

i )
4,5
A=2%°. 6,02 x 105,364 [m2]

Gesamtfläche: (105,53 + 378) - 1,1 = 531,70 [m?]

Euro

[GB] = x 6,02

5800 Euro 2
Ssısomz = 10,91 > 10,21 [E/m?]

Es kann maximal der Dachziegel „Odenwälder Dachpfanne, wein-
rot Biasiert;, mit der Qualität mittelmäßig/hochwertig ausgewählt

u

Möglicher Preis:

sı =43A 5, = 0,6

#4 4
= ( 15 15 )
13 8,7

 

05. April 2017
Seite3von 4

(Abschnitt 1)

zeigt, dass die
Ebene Eı durch
die Ebenen-
gleichung be-
schrieben wer-
den kann und

gibt eine Ebenen-

gleichung der
Ebene E, in der
Parameterform
an.

vervollständigt
die fehlenden
Angaben in der
Tabelle und

zeichnet die

Schattenpunkte
der Giebelspitze
G in das Koordi-

natensystem ein.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 17 LA1 und A2 AnaGeo

m Anforderungen | Modelllösungen N

PunktBinEı:9:8+8:6= 120
PunktCinE,:9:8+8:6= 120
PunktFinE,:9:4+38:10,5 = 120

Eı:9y + 8z = 120
Umwandlung in die Parameterform:
x= tz Ay = t4 mit t3,t4 ER

0 1
(Hrufe)ee
15 0

_ -15 \ /23,88
$11:00 = —0G + OQy1:00 = (- 4 )+ (170) = (
—10,5 0 —

Aus der Abbildung 2.2: Q12.00 (221910)

15 10 x
(i )+(- 205) =(v)
10,5 —16,74 0

8,88
1308)

10,5

x* 21,27 A y= 2,09 A s = 0,63
Q14:00(21,27|2,09|0)

Punkt G
Be Nor

Q4:00

x%,

 

10.12 .14..16..18..20..22..24...26..28

 

05. April 2017

(Abschnitt 1) Seite4von 4

bestimmt nähe-
rungsweise den
Wert der Steigung
des Graphen der
Funktion fan der
Stellex\ = 3,5,

skizziert den Ver-
lauf der Ablei-
tungsfunktion f’
und

ermittelt den Wert
der durchschnitt-
lichen Steigung.
gibt die Gleichung
der ersten Ablei-
tung der Funktion
fan und
entscheidet be-
gründet, ob die
Aussagen wahr
oder falsch sind.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 17 LA1 und A2 LinAlg

Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung:

Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden-
tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen
werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet.
Bemerkung:

Bei Multip 0

Ermittlung der Tangentensteigung m = —3 beispielsweise mithil-
fe eines Steigungsdreieckes.

82165)

CaH4)

 

 

 

Ermittlung der Sekantensteigung m, = —0,3 beispielsweise mit-
hilfe eines Steigungsdreieckes.

Fix) = 3e*
Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche

Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null
Punkte).

Die Funktion f schneidet die Ordinatenachse im Punkt
S(0]1).

Begründung: f(0) = 3e’ +1 =4.

Verschiebt man den Graphen der Funktion f um eine

Einheit nach rechts, so lautet die zugehörige Funkti-
onsgleichung: g(x) = 3e*t! +1.

Begründung: Da durch die Veränderung im Exponenten bei
Funktion g alle Abszissen gegenüber f um eine Einheit erhöht
werden, hat diese Funktion die gleichen Funktionswerte wie die
Funktion f nur eine Einheit „früher“. Es handelt sich folglich um
eine Verschiebung der Funktion nach links.

 

(Abschnitt 2)

05. April 2017
Seite 1von 4

zeichnet den Gra-
phen der Funktion
85

berechnet die Grö-
ße der einge-
schlossenen Flä-
che.

zeigt, dass die
Beziehung
F-G=G-Fgilt
und

bestimmt die Ma-
trixX in der Ma-
trizengleichung.

ergänzt in der
Abb. 1.4 die feh-
lenden Über-
gangswahrschein-
lichkeiten im
Übergangsdia-
gramm,

gibt die Über-
gangsmatrix an
und

ermittelt die Ver-
teilung nach ei-
nem Übergang.
entscheidet, ob die
Aussagen wahr
oder falsch sind.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 17 LA1 und A2 LinAlg

4 [FE]

0
1
S= je - dx = [7x - 202 +c| 0 _
4 -2
2

X'F-G=2G
X:F=3G
X=3G:F1

36 6 0765

0,9 =)

Für die Übergangsmatrix gilt: M = n 1 05

Nach einem Übergang: x] =M x = Da ) i (5) = En

Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt
es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte).

BT=-C.

Das Produkt aus der Matrix A und der Einheitsmatrix
_f1 0 . — FRES

E= Rn ‚) ergibt die inverse Matrix AT“.

3 —
Esgil: A-C=|-10 -15|).

2 6

 

(Abschnitt 2)

05. April 2017
Seite2von 4

Der Prüfling ...

zeigt, dass die
Verteilung für die
drei Flächenarten
A,G und W hinrei-
chend genau
durch den Vertei-
lungsvektor
beschrieben wer-
den kann.

erstellt die Über-
gangsmatrix M,
die diesen jährli-
chen Übergang
darstellt,

erläutert, dass die
Übergangsmatrix

eine stochastische
Matrix ist und

interpretiert die
Bedeutung am
Beispiel einer
Spalte.

ermittelt die Wer-
te des Vertei-
lungszustands für
das Jahr 2013.

berechnet die fünf
fehlenden Matri-
zenelemente.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 17 LA1 und A2 LinAlg

Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung:

Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden-
tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen
werden an dieser Stelle mit entsp

Die Gesamtfläche der landwirtschaftlich genutzten Flächen
beträgt: 2,75 +10,56 +7,82 = 21,13 [km2].

Berechnung der prozentualen Verteilungen:

A= 275:21,13» 0,13 = 13%

G = 10,56: 21,13 = 0,50 = 50%

W = 7,82 : 21,13 = 0,37 = 37%

Daraus ergibt sich der Verteilungsvektor Vz903 -(

Aus der Tabelle 2.2 lässt sich die Matrix M erstellen:
0,910 0,01 0,01
M= (0075 0,97 001)

0,015 0,02 0,98

Die Matrix M ist eine stochastische Übergangsmatrix, da ihre Ele-
mente alle positiv sind, alle Matrixelemente zwischen O0 und 1
liegen und die Spaltensummen jeweils 1 ergeben.

Am Beispiel der ersten Spalte: Aus der Tabelle 2.2 ist erkennbar,
dass 91 % des Ackerlandes als Ackerland auch weiter genutzt
werden. 7,5 % des Ackerlandes werden zu Grünland und 1,5 % des
Ackerlandes werden zu Waldflächen aufgeforstet.

Da die jährliche Übergangsverteilung konstant bleibt und für

A 0,13
V2003 -(c) = (5) gilt, folgt:
Ww 0,37
0,910 0,01 0,01\'° 70,13 0,110
Va0o13 = M'® - Va003 = (0073 0,97 001) 109) z (033)
0,015 0,02 0,98 0,37 0,409
Die Werte des Verteilungszustands im Jahr 2013 sind:
ca. 11 % der landwirtschaftlich genutzten Flächen bestehen aus
Ackerland, ca. 48,1 % aus Grünland und ca. 40,9 % aus Wald.
mıı 0,01 0,01 0,14 0,14
Es gilt: (m Mpa 002) . (2) = (09)
0,01 M32 Mz33 0,37 0,37
Da die Übergangsmatrix stochastisch sein muss, ergibt sich für das
Matrixelement ma: Ma3 = 1— 0,01 — 0,02 = 0,97
Aufstellen des zugehörigen LGS:
0,14m;1 + 0,0086
0,14m,, + 0,49mzz2 + 0,0074 0,49
0,49m32 + 0,3603 0,37
Aus 0,14m;1 + 0,0086 = 0,14 folgt mıı = 0,94 > mzı = 0,05.
Aus 0,49m3z2 + 0,3603 = 0,37 folgt m32 = 0,02 > mz2z = 0, 97.
0,94 0,01 0,01
Es ergibt sich für die Matrix Q = (? 05 0,97 0,02 )
0,01 0,02 0,97

0,14

 

(Abschnitt 2)

05. April 2017
Seite 3von 4

erläutert, wie mit
Hilfe der Matrix Q
die Aussage des
Politikers geprüft
werden kann.
ermittelt, wie man
aus den zur Verfü-
gung stehenden
Düngern eine Mi-
schung herstellen
kann, so dass die
zu düngende Flä-
che ertragsopti-
mal versorgt wird
und

gibt an, wie viel kg
Düngemittelmi-
schung pro Hektar
benötigt würden.
vervollständigt
anhand der Daten
in den Tabellen
2.4 und 2.5 das
Materialverflech-
tungsdiagramm
und

bestimmt, wie
groß der Vorrat an
Nährstoffen beim
Düngemittelher-
steller sein sollte,
damit von den
Düngermischun-
gen DM1, DM2
und DM3 jeweils
1 000 kg herge-
stellt werden kön-
nen.

Geprüft werden soll, nach wie vielen Jahren sich eine stabile Ver-
teilung einstellen kann. Dazu kann die vorgebene Matrix Q zum
Beispiel beliebig potenziert werden, um eine Grenzmatrix zu
ermitteln, dabei gibt der Exponent die Anzahl der Jahre an.

Aufstellen einer zugehörigen Matrizengleichung oder eines LGS:

150d, + 180d, + 120d3; = 180
100d}ı + 120d;, + 40d; = 100
25dı +100d, + 70d; = 9%
Es ergeben sich die Lösungen:
dı = 0,2 (2 20% einer Tonne D1 = 200 kg)
d, = 0,5 (2 50% einer Tonne D2 = 500 kg)
dz = 0,5 (2 50% einer Tonne D3 = 500 kg)
Eine optimale Düngermischung müsste aus 200 kg Dünger D1 und
jeweils 500 kg Dünger D2 und D3 hergestellt werden.

200 kg+500kg+500kg= 1200 kg
Es ergibt sich eine Düngemittelmischung von 1 200 kg pro Hektar.

| —
0,1 > 0,1
» [ap
7

82,50
41,25
18,75
45,00
267 500
103 750

100
125
42,5
70,0

150 200 50
50 0 75
0 100 25

100 150 0

N 82,50 100 85
P\_[4125 125 50|, ern _
K 18,75 42,5 35 1000 96 250
S 45,00 70,0 40 155 000
Von den Nährstoffen müssen 267,5 kg Nitrat, 103,75 kg Phosphat,
96,25 kg Kalium und 155,0 kg Schwefel vorgehalten werden, damit
von den Düngermischungen DM 1, DM 2 und DM 3 jeweils
1.000 kg hergestellt werden können.

0,30 0,10 0,10
(m 0,40 020) -

0,35 0,10 0,60

(Einheit: g)

 

05. April 2017
Seite 4von 4

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG

gAHT 17 LA1 und A2 LinAlg (Abschnitt 2)

Aufgaben 1 und 2 Stochastik -gA Lösungen

Aufgabe 1 Analysis mit Stochastik:

| | Anforderungen Modelllösungen BE

Der Prüfling...

bestimmt nähe-
rungsweise den
Wert der Steigung
des Graphen der
Funktion fan der
Stellex, = 3,5,

skizziert den Ver-
lauf der Ablei-
tungsfunktion f’
und

ermittelt den Wert
der durchschnitt-
lichen Steigung.
gibt die Gleichung
der ersten Ablei-
tung der Funktion
fan und
entscheidet be-
gründet, ob die
Aussagen wahr
oder falsch sind.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 17 LA1 und A2 Stoch

Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung:

Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden-
tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen
werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet.

Bei Multiple-Choice-Aufgaben gilt der jeweils angegebene Hinweis.
Ermittlung der Tangentensteigung m; = —3 beispielsweise mithil-
fe eines Steigungsdreieckes.

 

 

 

Ermittlung der Sekantensteigung m, = —0,3 beispielsweise mit-
hilfe eines Stei sdreieckes.
f'(x) = 3e*

Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche

Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null
Punkte).

Die Funktion f schneidet die Ordinatenachse im Punkt
S(0]1).

Begründung: f(0) = 3e’ +1 = 4.

Verschiebt man den Graphen der Funktion f um eine

Einheit nach rechts, so lautet die zugehörige Funkti-
onsgleichung: g(x) = 3e**! +1.

Begründung: Da durch die Veränderung im Exponenten bei
Funktion g alle Abszissen gegenüber f um eine Einheit erhöht
werden, hat diese Funktion die gleichen Funktionswerte wie die
Funktion f nur eine Einheit „früher“. Es handelt sich folglich um
eine Verschiebung der Funktion nach links.

 

05. April 2017

(Abschnitt 3) Seite 1von5

zeichnet den Gra-
phen der Funktion
gund

berechnet die
Größe der einge-
schlossenen Flä-
che.

ergänzt alle feh-
lenden Wahr-
scheinlichkeiten
im Vierfelderdia-
gramm und

gibt P(B|A)
= Pı(B) an und

entscheidet be-
gründet, ob die
Ereignisse A und B
stochastisch von-
einander abhängig
sind oder nicht.
erläutert, warum
der Wert — in das

doppelt gerahmte
Kästchen einge-
tragen werden
muss und
ergänzt in allen
verbleibenden
Kästchen die ent-
sprechenden
Wahrscheinlich-
keiten.

 

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 17 LA1 und A2 Stoch

Aufgaben 1und2 Stochastik - gA Lösungen
[Anforderungen _ Modelllösungen Bu

P(BJA) = Px(B) =" = 0,75

Es gilt P(B) = 0,76 # 0,75 = P(BJA)

D.h. also, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens vom Ereignis
B abhängig davon ist, ob wir Kenntnis über das gleichzeitige Ein-
treten von A haben oder nicht. Die beiden Ereignisse sind somit
stochastisch voneinander abhängig.

Jede Wahrscheinlichkeit am Ende eines Pfades des Wahrschein-
lichkeitsbaums gibt die Wahrscheinlichkeit einer der vier mögli-

chen Ereigniskombinationen wieder. Da weitere Ereigniskombina-
tionen nicht möglich sind, müssen sie in der Summe 1 ergeben und

somit muss die fehlende Wahrscheinlichkeit - betragen.

37 1® P(ANnB)

(8) )P(AnB

\8) P(ÄnB)

2.
I
ae
I

05. April 2017

(Abschnitt 3) Seite2 von5