Ministerium für Schule

und Berufsbildung Be
des Landes |.
Deckblatt HT 17 (eA) Schleswig-Holstein FU

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik Berufliches Gymnasium
05. April 2017

erhöhtes Anforderungsniveau (eA
Vom Prüfling auszufüllen:

mt |
En
ae
an I

Bitte kreuzen Sie die von Ihnen gewählten Aufgaben an:

Analytische Geometrie u
Aufgaben 1 und 2: Lineare Algebra Bu

a
Von der Lehrkraft anzukreuzen:

Analysis (allgemeiner Anwendungsbezug) u
Analysis (Gesundheit und Soziales, Ernährung) u
Aufgabe ar

Analysis (Technik)
Analysis (Wirtschaft) u

Nicht vom Prüfling auszufüllen!
Punkteverteilung und Bewertung:

Aufgabenteil A
“

ı | Tas T Summe Tmnprzen
| |
roman I |
zuensome | | NT

Erstkorrektor/in Zweitkorrektor/in

Note (Notenpunkte) nn Note (Notenpunkte) nn

 

       

 

Datum, Unterschrift Datum, Unterschrift

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 05. April 2017

Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA

 

Punkteverteilung Aufgabe 1:

Aignonen Ta» TeTalefr

Erstkorrektur | | | | | ||
Zweitkorrektur | | | | |

Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter:
a,b,c,... € Runddie Variablen: x,t,... ER.

 

a) Im nachfolgenden Koordinatensystem (Abb. 1.1) ist der Graph einer Funktion f darge-
stellt.

    
 

 

To
7 B{216,5)
mi
Dee: ussszt ;
A(015) C(3,5|4)
4 - s
3
f
2
4!
0| %
1.5 1 0.5 0 05 1 1.5 2 25 3 3,5 4 4.5 5 55 6 6.5 7 75

1
-24

To:

Abbildung 1.2

 

al) Bestimmen Sie näherungsweise den Wert der Steigung des Graphen der Funktion f
an der Stellex,; = 3,5.

a2) Skizzieren Sie den Verlauf der Ableitungsfunktion f’ in das untere Koordinaten-
system (Abb. 1.2).

a3) Beurteilen Sie den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussage: „An der Stellex, = 2
muss der Wert der zweiten Ableitung positiv sein.“

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eAHT 17 SA1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 1 von 8

Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA

b) Gegeben ist die Gleichung der Funktionenschar f, mit
8, &) = —x'(x- a)? = -x?+2a'x?-a?-xmita > 0.
Nachfolgend (Abb. 1.3) ist ein Graph der Funktionenschar f, dargestellt.

11,0)

 

 

 

"Abbildung 1.3

b1) Zeigen Sie, dass die Stellen x; = O0 undxz = a Nullstellen der Funktionenschar f,
sind.

b2) Berechnen Sie in Abhängigkeit von a den Inhalt der Flächen, die die Graphen der
Funktionenschar f, mit der Abszissenachse (x-Achse) einschließen.

c) Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung:
f(x) = 0,5* +1.

c1) Geben Sie die Gleichung der ersten Ableitung der Funktion f an:

c2) Entscheiden Sie ausgehend von der Funktion f, ob die folgenden Aussagen wahr
oder falsch sind.

Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt es
null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte).

Die Funktion f schneidet die Ordinatenachse im Punkt S(0]1).

Es gilt: lim f(x) = 1. Bu
x>+0

Der Graph der Funktion f schneidet niemals den Graphen der

Funktion g mit der Gleichung g(x) = 1.

 

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Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA

d) Gegeben sind die Gleichungen der Funktionen f und gmit
f(x) = x - x und g(x) = m x.
Nachfolgend (Abb. 1.4) ist ausschnittsweise der Graph der Funktion f dargestellt.
; | i | | f | | Tr) j | | | |

  
      
 

' ‘ ‘ ' ’x
4 16 18 2 22 24

   

-1.2 -1 -0.8 -0.5 -0.4 -0.2
ee ee Host-

 

benannten fee epamendannechnnend 1,5

Abbildung 1.4

d1) Ermitteln Sie die Steigung m des Graphen der Funktion g so, dass die Stelle
xı = —2 Schnittstelle beider Funktionsgraphen ist und

zeichnen Sie den Graphen der Funktion gin das Koordinatensystem (Abb.1.4) ein.

d2) Begründen Sie, dass der Ausdruck 7,0) — g(x))dx = 0 wahr ist.

k 0
e) Gegeben sind die Vektorenä = () undb = ()
it k

Entscheiden Sie, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.

Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt
es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte).

Für keinen Wert des Parameters k liegt der Vektor ä in der
x-y-Ebene.

Es gibt genau zwei Werte des Parameters k, so dass der Vektor dein
Einheitsvektor ist.

Es gibt genau einen Wert des Parameters k, so dass die Vektoren ä
undb orthogonal zueinander sind.

Für keinen Wert des Parameters k steht ein Vektor n’ = &'x
orthogonal auf den Vektoren ä’ und b.

Es gibt keinen Wert des Parameters k, so dass die Vektoren ä und
b eine Ebene aufspannen.

 

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Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie f) Die Grundfläche einer Pyramide liegt in der Ebene E, die mit der Ebenengleichung E: 2x; H xB E 3xG < 18 eA beschrieben wird, und die Spitze der Pyramide liegt im Punkt S mit den Koordi- naten S(1|2|0). Berechnen Sie die Koordinaten des Höhenfußpunktes der Pyramide. g) Gegeben ist die Ebene E mit der Gleichung E: 5x; E xG < 10 oder auch g1) g2) g3) g4) 0 0 1 E: VxW < X 0Y H s ∙ X1Y H t ∙ X0Y. E10 0 5 Geben Sie eine Gleichung für eine Gerade an, die echt parallel zur Ebene E verläuft. Geben Sie eine Gleichung für eine Gerade an, die senkrecht zur Ebene E verläuft. Geben Sie eine Gleichung für eine Gerade an, die in der Ebene E liegt. Geben Sie den Parameter k des Punktes P(k|2|3k) so an, dass der Punkt in der Ebene E liegt. h) Zeichnen Sie die Achsenschnittpunkte der Ebene E; mit der Gleichung E; : 6x H 5y H 15z < 30 in das nachfolgende Koordinatensystem (Abbildung 1.5) ein und geben Sie eine Gleichung der Schnittgerade der Ebene E; mit der der x-z-Ebene an. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eA HT 17 S A1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Abbildung 1.5 05. April 2017 Seite 4 von 8

Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA

Punkteverteilung Aufgabe 2: Der Neubau

 

Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter:
a,b,c,... € Runddie Variablen: x,t,... ER.

Für eine berufliche Schule in Schleswig-Holstein soll ein zusätzliches Unterrichtsgebäude
errichtet werden. Die Abbildung 2.1 zeigt das Gebäude als Winkelbau in perspektivischer
Ansicht (alle Maße sind in Metern [m] angegeben).

 

y

Abbildung 2.1 Darstellung des Gebäudes (nicht maßstäblich)

Für die Darstellung in Abbildung 2.1 sind die Punkte mit den folgenden Koordinaten
gegeben:
B(15/8]6), C(0|8|6), D(0|22]6), E(-5|22]10,5), F(-5|4|10,5), G(15]4]10,5).

Es soll sich zunächst an der Darstellung des Gebäudes orientiert werden (die Giebelseiten
sind jeweils symmetrisch gestaltet).

a) Geben Sie die Koordinaten der Punkte A und Pan und

berechnen Sie den Dachneigungswinkel a.

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Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA

Die Dachkehle CF soll mit einem Kupferblech ausgeführt werden. Die Kosten des Roh-
materials für die Kupferkehle belaufen sich auf 25,00 € pro laufendem Meter.

b) Berechnen Sie die Materialkosten für die gesamte Dachkehle.

c) Zeigen Sie, dass die Firstlinie GF und die Firstlinie FE im rechten Winkel zueinander
liegen.

Für die Eindeckung des Daches werden Dachpfannen benötigt. Da es sich um einen Winkel-
bau handelt, wird bei der Beschaffung der Dachpfannen mit einem Verschnitt von ca. 10 %
der gesamten Dachfläche gerechnet. Für das Bedachungsmaterial hat der Bauträger einen
Betrag von 5 800,00 Euro vorgesehen. Die in Tabelle 2.1 angegebenen Dachpfannen mit
den entsprechenden Preisen pro Quadratmeter stehen für den Bau zur Verfügung. Der
gesamte Flächeninhalt von drei der vier Dachflächen ist mit einem Flächeninhalt von

ca. 378 m? bekannt. Nur der Flächeninhalt der Dachfläche, die in der Ebene E, enthalten ist,
ist noch nicht bestimmt worden.

f - Preis in Euro pro
zu

engobiert

DEE mittelmäßig/hochwertig 10,21
Dachpfanne, weinrot glasiert

GALANT FINESSE, weinrot glasiert sehr hochwertig 18,50

Tabelle 2.1 Auswahl der Dachpfannen

 

d) Berechnen Sie, welche Qualitätsstufe der Auftraggeber für die gesamte Bedachung
maximal auswählen kann.

Auf dem Dach soll eine Antenne (in Abbildung 2.1 dargestellt durch die Strecke H;H,)
lotrecht montiert werden. Die Spitze H, der Antenne hat die Koordinaten H,(—-3|15]|13).

e) Zeigen Sie, dass die Antenne in dem Punkt H, (-3|15|8,7) am Dach befestigt werden
muss.

Für die Formung des Kupferbleches in der Dachkehle CF werden die Gleichungen der
Dachebenen E} und E, benötigt.

f) Zeigen Sie, dass die Ebene Eı durch die Ebenengleichung Eı:9y + 82 = 120
beschrieben werden kann und

geben Sie eine Ebenengleichung der Ebene E, in der Parameterform an.

Geben Sie eine Ebenengleichung für die Dachebene E, an und

erläutern Sie, warum der Winkel des Kehlbleches, das für die Dachkehle CF benötigt
wird, mit Hilfe der Normalenvektoren der Ebenen E, und E, berechnet werden kann.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 05. April 2017
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Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA

Eine Projektgruppe der Schule plant, mithilfe der Giebelspitze G des neuen Gebäudes eine
Sonnenuhr auf dem Schulhof zu konstruieren. Es sind folgende Werte für den Sonnen-
verlauf am Tag der Sonnenwende (21.06. eines jeden Jahres) bekannt:

—— 11:00 Uhr | __ 12:000Ubr | 1400Uhr |

10,00
- 305)

—16,74

dem Schulhof

 

Tabelle 2.2 Sonnenverlauf
Der Schulhof liegt in der x-y-Ebene und soll als vollständig eben betrachtet werden.

g) Vervollständigen Sie die fehlenden Angaben in der Tabelle 2.2 und

zeichnen Sie die Schattenpunkte der Giebelspitze G in das nachfolgende Koordinaten-
system (Abbildung 2: 2) ein.

 

Abbildung 22
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Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA Die Abluft der Heizung wird durch ein lotrechtes Edelstahlrohr abgeführt, dessen Austritts- öffnung im Punkt JB (0,2|7|z) liegt. Je nach Heizleistung und Abgastemperatur ist ein anderer Abstand d zwischen der Mitte der Austrittsöffnung JB und der mit Solarzellen bedeckten Dachfläche in Ebene E; einzuhalten. Dieser muss bei der geplanten Heizleistung und der sich daraus ergebenen Abgastemperatur für das Gebäude mindestens zwei Meter betragen. h) Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes J; des Abluftrohres durch das Dach und bestimmen Sie die Koordinate z des Punktes JB so, dass der vorgegebene Mindest- abstand von zwei Metern zu den in Ebene E; liegenden Solarzellen eingehalten wird. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eA HT 17 S A1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) 05. April 2017 Seite 8 von 8

Aufgaben 1 und 2 Lineare Algebra

 

Punkteverteilung Aufgabe 1:

BEREREEEES TE BE BEE PS ES EEE

Erstkorrektun | | 3 |
Zweitkorrektur | | | |

Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter:
a,b,c,... € Runddie Variablen: x,t,... € R.

 

a) Im nachfolgenden Koordinatensystem (Abb. 1.1) ist der Graph einer Funktion f darge-
stellt.

To
7

B{216,5)

   
 
   

61

C(3,54)

oO — n w >

 

\
-

i
n

af pe Abbildung 1.1

To

 

Abbildung 1.2

al) Bestimmen Sie Sie näherungsweise den Wert der Steigung des Graphen der
Funktion f an der Stellex; = 3,5.

a2) Skizzieren Sie den Verlauf der Ableitungsfunktion f’ in das untere Koordinaten-
system (Abb. 1.2).

a3) Beurteilen Sie den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussage: „An der Stellex, = 2
muss der Wert der zweiten Ableitung positiv sein.“

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 05. April 2017
eAHT 17 SA1 und A2 LinAlg (Abschnitt 2) Seite 1 von 8