eAHT18_Ma_L_geschwrzt.pdf
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „BG Abiturklausuren 2013-2019 SH“
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie - eA Lösungen Aufgabe 1 mit Analytischer Geometrie: FE Anforderungen Modelllösungen Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung: Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden- tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Bemerkung: Bei Multiple-Choice-Aufgaben gilt der jeweils angegebene Hinweis. Der Prüfling ... entscheidet, ob die oder falsch sind. | wahr | falsch | CoD = 100) 1x} Für den Grad n der ganzrationalen X Funktion fgilt:n > 4. . X | fx)dx=0 A Vosonerssn | I 3 [ f(x)dx = 0,6 [FE] 0 b1) ergänzt die feh- 5 lenden Angaben | (f&x))dx = F(5) — F(2) und 3 b2) skizziert den Ver- lauf einer mögli- chen Stammfunk- tion F. Mathematik BG 28. März 2018 eAHT 18LA1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 1 von 8
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie - eA Lösungen [ Tanfrderungen Trdelsungen se bestimmt den f.(X) = —4x? + 2kx Parameter k so, AN 2-0 dass die Fläche Purs ui STSEBEDEIDEETETE | 1. äten liegen beix, = 0,x, = =k groß ist. ” 1d | di) di) 5 gibt die Gleichung | f’(x) = 2x cos(x) — x? - sin(x) der ersten Ablei- tung von fan, d2) d2) entscheidet, ob die folgenden Aussa- Entscheidung und Begründung gen wahr oder Die Aussage ist wahr. falsch sind, und begründet die Der Graph der Funktion g Das negative Vorzeichen der Entscheidung. mit Amplitude bei h führt zur Spiege- g(x) = 2° cos(nm‘x) lung des Graphen an der Abszis- istidentisch mit dem Gra- | senachse (im Vergleich zum Gra- phen der Funktion h mit phen von g). Wird der gespiegelte h&) = —2: cos(n(x - 1)). Graph jetzt noch um eine halbe Periodenlänge (hier p = 2) nach links verschoben, so entstehen zwei identische Graphen. Die Aussage ist wahr. Die Periodenlänge von k beträgt p=n. Betragen die Amplitude a = 1,5 . und die Verschiebung in Ordina- Graph der Funktionk mit | tenrichtung d = 1,5, so verläuft k(@&) =15:cos(2x)+15 |der Graph von k oberhalb der hat im Intervalll=[O;n] | Abszissenachse und die Tiefpunk- genau eine Nullstelle. te sind dabei Berührpunkte. Die beiden Hochpunkte liegen im vorgegebenen Intervall an den Stellen x; = 0 sowie x, = nt. So- mit liegt der einzige Tiefpunkt (der gleichzeitig Nullstelle ist) genau in der Mitte beider Werte. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 eAHT 18LA1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 2 von 8
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie - eA E le Anforderungen ei) entscheidet, ob die Aussage wahr oder falsch ist, und e2) entscheidet und begründet, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. fl) prüft, ob der Punkt P auf der Geraden g; liegt. f2) berechnet den Abstand des Punk- tes P zu der Gera- den g, und erläu- tert sein Vorge- hen. Modelllösungen Für jeden Wert des Parameters a liegt der Punkt P(1/bI3) auf der Ebene E,. X Aussage Für keinen Wert des Parameters b liegen die Richtungsvektoren der Ebene orthogonal zueinander. Es gibt einen Wert des Parameters b, so dass die Gleichung E, eine Gerade beschreibt. fl) 9-0) Entscheidung und Begründung Orthogonalität zweier Vektoren ist gege- ben, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren Null ergibt. In diesem Fall wür- de sich ergeben: 1:0+0:b+0-:1=0 Da b mit Null multipliziert werden muss, liegen die Richtungsvektoren unabhängig von b immer orthogonal zueinander. Da- mit ist die Aussage falsch. Da der Parameter b nur die y-Richtung des zweiten Richtungsvektors beein- flusst, und die x- bzw. z-Richtungen der Richtungsvektoren sich unterscheiden, kann es keinen Wert für b geben, so dass die Gleichung eine Gerade beschreibt. Damit ist die Aussage falsch. Aus der letzten Zeile ergibt sich: 3 = 1. Aus diesem Widerspruch folgt, dass der Punkt nicht auf der Geraden liegt. f2) Zur Bestimmung des minimalen Abstandes zwischen einem Punkt und einer Geraden muss der Richtungsvektor der Geraden einen rechten Winkel mit der Strecke vom Punkt P zur Geraden g, bil- den. Somit ergibt sich für das Skalarprodukt: 9) Durch Umformen und Vereinfachen ergibt sich daraus dann: -()-@)0- 0=(-3-2t)-2+(1-U-1 st Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eAHT 18LA1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Fortsetzung nächste Seite 28. März 2018 Seite3von8 Lösungen
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie - eA Lösungen 7 Tanforderungen _TModellösungen [Lee] Der minimale Abstand zwischen dem Punkt und der Geraden ist also fürt = —1 gegeben. Wie folgt ergibt sich der Vektor des mini- malen Abstandes: HRS Über die Berechnung des Betrages des Vektors kann die minimale Länge des Abstandes zwischen dem Punkt P und der Geraden g} mit einer Länge von 3 LE berechnet werden. —1 (2)-vens@rr-: zeigt, dass es sich bei dem von den drei Punkten auf- gespannten Drei- eck nicht um ein gleichseitiges Dreieck handelt. 82) bestimmt eine Gleichung der Geraden. bestimmt die Pa- a -0+b-'0+c-3,33 = 10 rametera,bundc. |. 23 a-5+b:0+c-0=10 a=2 a-0+b-25+c'0=10 b=4 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 eAHT 18LA1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 4 von 8
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie - eA Aufgabe 2: Radiotherapie Bi Anforderungen Modelllösungen | BE - Der Prüfling zeichnet die Punk- te ein und erläutert die Schwierigkeit, Koordinaten aus einem dreidimen- sionalen, kartesi- schen Koordina- tensystem abzule- sen. ordnet den Be- handlungsstrahl einem der Linear- beschleuniger zu und prüft, ob der Be- handlungsstrahl durch diese Gera- dengleichung be- schrieben werden kann. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eAHT 18LA1 und A2 AnaGeo Lösungen Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung: Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden- tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Bemerkung: Bei Multiple-Choice-Aufgaben gilt der jeweils angegebene Hinweis. 13 {0}:50]50) 41 ' 11(30]0]50) | + ! Durch die Darstellung in 3D auf einem 2D Medium werden Punkte mit unterschiedlichen 3D-Koordinaten in der 2D-Darstellung an der gleichen Position dargestellt. Folglich ist der Rückgriff von der 2D-Darstellung auf die Koordinaten in der 3D-Darstellung nicht eindeutig möglich. Der Ortsvektor des Ausgangs von Linearbeschleunigers 2 lautet 30 OL, = | 0) Folglich muss es der Linearbeschleuniger 2 sein. 50 Der Richtungsvektor des Behandlungsstrahles ergibt sich aus der Differenz der Ortsvektoren des Behandlungszieles und des Aus- gangs von Linearbeschleuniger 2: , f10\ /-30 40 25 50/7 \-25 Der Richtungsvektor der Geraden g entspricht genau einem Fünftel des Vektors BL, ; Ze = PuEn wear —25 -5 Folglich kann der Behandlungsstrahl von Linearbeschleuniger 2 durch die Geradengleichung beschrieben werden. 28. März 2018 (Abschnitt 1) Seite 5 von 8
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie - eA berechnet die Länge des Be- handlungsstrahls bis zum Bestrah- lungsziel. beurteilt, ob die Therapie als er- folgsversprechend eingeschätzt wer- den kann. prüft, ob diese Voraussetzung für den Linearbe- schleuniger 1 und den Linearbe- schleuniger 3 ge- geben ist. skizziert die Gren- zen des Gefahren- bereiches in der Abbildung. zeigt, dass die Ebene E, durch die Ebenenglei- chung beschrie- ben werden kann. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eAHT 18LA1 und A2 AnaGeo Betrag des Vektors L,B des Behandlungsstrahls des Linearbe- schleunigers 2: 5) (©) Entnommen aus der Grafik: Der Fokussierungsgrad liegt bei einem Abstand von 32 cm bei ca. 61 %. Da der Fokussierungsgrad des Behandlungsstrahls mit ca. 61 % deutlich über dem Grenzwert von 50 % liegt, kann mit einem er- folgreichen Therapieverlauf gerechnet werden. (61 % > 50 % Bestimmung der VektorenL,;B und L;B der Behandlungsstrahlen der Linearbeschleuniger: _, f10\ /30\ /-20 (3-3 25/ \50/ \-25 10 0 10 LB= | 5) - (-50) = | ss) 25 50/7 \-25 Berechnung des Winkels 4(L3BL,) zwischen den Vektoren der Behandlungsstrahlen: -20 10 cosa = ER -25 —25. a = 69,34° > 30° Da der Schnittwinkel größer als 30° ist, ist keine Schädigung zu erwarten. = 47,43 [cm] x [em], bo-160-140-120-100-50 50 -40 -20_ | = &0 &0 100 120 140 160 1fo 200 220 20 -20 Ebene E, in Parameterdarstellung: 180 0 0 Ei: :-( 0)+4-(1)+4-(0) 0 0 E Ebene E, in Koordinatendarstellung: x+0'y+0'z=180 Fortsetzun, (Abschnitt 1) nächste Seite Lösungen 7 Trnforderungen _ Todeilasungen Be 28. März 2018 Seite 6 von 8
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie - eA Lösungen | Anforderungen Modelllösungen Einsetzen der Parameterdarstellung in die Koordinatendarstel- lung: (180 +t1’0 +t2:0)+0-(O+tı-1+t2-0)+0-(O+t1:0+tz:1)= 180 180 = 180 Folglich sind die Ebenen identisch. ermittelt den Gleichung der Geraden des Behandlungsstrahls (Linearbeschleuni- Schnittpunkt des | ger 1): Behandlungs- 30 —20 strahls des Line- 81,’ X= ( 0) ER? ( ) arbeschleunigers 50 25 1 mit dem Fußbo- | Schnittpunkt P des Behandlungsstrahls (Linearbeschleuniger 1) den und mit dem Fußboden: ARE =>x=-58 y=22 Die Koordinaten des Schnittpunktes lauten also: P(-58]22| — 60) [BE prüft, ob eine Ge- | pa die Koordinaten innerhalb des Gefahrenbereichs liegen, ist eine fährdung gegeben | Gefährdung ausgeschlossen. ist. -180 <x< 180; -150 < berechnet den Ortsvektor des Linearbeschleunigers 3: Abstand von der 0 Ebene E- (Dach- OL; = = (- so) schräge) zu dem 50 Ausgang des Line- | Normalenvektor der Ebene E;: arbeschleunigers 360 0 0 3. ( 0)« (10) - (- 68 on) 0 190 68 400 Geradengleichung der Gerade g,,-Ebene Vom Punkt L; in Richtung des Normalenvktors der Ebene E;: 0 0 8L3-Ebene: = (- 50) (- 68 «o) 50 68 400 Schnittpunktberechnung der Ebene E- mit der der Gerade SL3-Ebene‘ 0 0 180 360 0 (- 50) (- 23) (- 150) +7 ( 0)+s (100) 50 m 400 50 0 190 1 5 2 19 r=: s=ı Einsetzen von v = ——in die Gerade gL,-Ebene ergibt den 1368 Schnittpunkt der Geraden gj,-Ebene Mit der Ebene E,: 0 a 0 0 ( 50)+ ( 68 o0)- (- 10) 1 1368 50 68 400 100 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 eAHT 18LA1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 7 von 8 Fortsetzung nächste Seite
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie - eA Lösungen u Anforderungen Modelllösungen | BE | Der Betrag der Differenz zwischen Ortsvektor des Linearbeschleunigers 3 ( OL;) und dem Schnittpunkt der Geraden 8L,-Ebene Mit der Ebene E, ergibt den minimalen Abstand der von OL; zu der Ebene 0 0 ) - (-100 x 70,71 [cm] 50 100 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 eAHT 18LA1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 8 von 8
Aufgaben 1 und 2 Lineare Algebra - eA Lösungen Aufgabe 1 mit Linearer Algebra: FE Anforderungen Modelllösungen Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung: Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden- tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Bemerkung: Bei Multiple-Choice-Aufgaben gilt der jeweils angegebene Hinweis. Der Prüfling ... entscheidet, ob die oder falsch sind. wahr | falsch | 0 = on) x Für den Grad n der ganzrationalen X Funktion fgilt:n > 4. > X | fx)dx=0 A f"@&) < 0 fürx € [-0,3; 0,1] x 0,3 X | f(x)dx = 0,6 [FE] 0 b1) ergänzt die feh- 5 lenden Angaben | (f(x))dx = F(5) — F(2) und 3 b2) skizziert den Ver- lauf einer mögli- chen Stammfunk- tion F. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 eAHT18LA1 und A2 LinAlg (Abschnitt 2) Seite 1von 7
Aufgaben 1 und 2 Lineare Algebra - eA Lösungen u Anforderungen Modelllösungen | BE | bestimmt den > 4x2 +2k:x Parameter k so, -4x2 +2k-x=0 dass die Fläche = Flächeneinheiten Nullstellen liegen beix, = 0,x, = Zk 1 groß ist. gk 4 gr | (—4x? + 2k x)dx = |-3x° +k: x2] 0 1 1. i an > 4 12" 0 di) gibt die Gleichung | f’(x) = 2x cos(x) — x? - sin(x) der ersten Ablei- tung von fan, d2) d2) entscheidet, ob die folgenden Aussa- Entscheidung und Begründung gen wahr oder Die Aussage ist wahr. falsch sind, und begründet die Der Graph der Funktion g Das negative Vorzeichen der Entscheidung. mit Amplitude bei h führt zur Spiege- g(x) = 2:cos(n'x) lung des Graphen an der Abszis- ist identisch mit dem Gra- | senachse (im Vergleich zum Gra- phen der Funktion h mit phen von g). Wird der gespiegelte h(x) = -2- cos(mt(x > 1)). Graph jetzt noch um eine halbe Periodenlänge (hier p = 2) nach links verschoben, so entstehen zwei identische Graphen. Die Aussage ist wahr. Die Periodenlänge von k beträgt p=n. Betragen die Amplitude a = 1,5 Der Graph der Funktion k und die Verschiebung in Ordina- mit tenrichtung d = 1,5, so verläuft k(x) = 1,5 cos(2x) + 1,5 der Graph von k oberhalb der hat im Intervall I = [O; n] Abszissenachse und die Tiefpunk- te sind dabei Berührpunkte. Die genau eine Nullstelle. beiden Hochpunkte liegen im vorgegebenen Intervall an den Stellen x}, = 0 sowie x, = nt. So- mit liegt der einzige Tiefpunkt (der gleichzeitig Nullstelle ist) genau in der Mitte beider Werte. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 eAHT18LA1 und A2 LinAlg (Abschnitt 2) Seite 2 von 7