eAHT18_Ma_S_geschwrzt.pdf
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „BG Abiturklausuren 2013-2019 SH“
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA Punkteverteilung Aufgabe 1: (hilfsmittelfreier Teil) Auignensn [a [o Le Tafel rfa In Tom mei | s|sis|s|is|sis|s| (estorreiior | | I PP (Zweisorem | | | | I | | 1 Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter: a,b,c,... € R und die Variablen: x,t,... € R. a) Gegeben ist der folgende Graph einer ganzrationalen Funktion f, der punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft: Abbildung 1.1 Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind: Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz | wahr | gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte). Für den Grad n der ganzrationalen Funktion fgilt:n > 4. BE jn IT 0,3 | f(x)dx = 0,6 [FE] 0 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 eAHT 18S Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 1von 9
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA b) Ist Feine beliebige Stammfunktion zu einer Funktion f im Intervall I = [2; 5], so gilt: | C___)d__=F6)-F(_) 2 b1) Ergänzen Sie die fehlenden vier Angaben in der obigen Gleichung. In Abbildung 1.2 ist der Graph der Funktion f dargestellt. b2) Skizzieren Sie den Verlauf einer möglichen Stammfunktion F in das untere Koordi- Abbildung 1.3 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 eAHT 18S Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 2 von 9
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA c) Bestimmen Sie den Wert für den Parameter k für die Funktion f mit der Funktionsglei- chung fx(x) = -4x?+2k’x mitk>0 so, dass der Graph der Funktion f mit der Abszissenachse eine Fläche von = Flächenein- heiten (FE) einschließt. d) Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung: f(x) = x? - cos(x). d1) Geben Sie die Gleichung der ersten Ableitung der Funktion fan: | d2) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung. Aussage Entscheidung und Begründung Der Graph der Funktion g mit g(x) = 2: cos(m x) ist identisch mit dem Graphen der Funktion h mit h(x) = -2: cos(n(x - 1)). Der Graph der Funktion k mit k(x) = 1,5: cos(2x) + 1,5 hat im Intervall I = [O;n] genau eine Nullstelle. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 eAHT 18S A1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite3 von 9
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA a 1 0 e) Gegeben ist die Ebene E}:X = (0) +5“ (0) +5 () 1 0 1 el) Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Hinweis: Für ein richtiges Kreuz gibt es einen Punkt, für ein falsches Kreuz gibt es null Punkte. Für jeden Wert des Parameters a liegt der Punkt P(1|b]3) auf der Ebene E.. e2) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung. Entscheidung und Begründung Für keinen Wert des Parameters b liegen die Richtungs- vektoren der Ebene orthogonal zueinander. Es gibt einen Wert des Parameters b, so dass die Gleichung E, eine Gerade beschreibt. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 eAHT 18S A1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 4 von 9
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA f) Gegeben sind die Gerade g, mit der Geradengleichung 4 2 «= ()+t-(1) 1 0 fl) Prüfen Sie, ob der Punkt P auf der Geraden g; liegt. und der Punkt P(1|4]3). f2) Berechnen Sie den minimalen Abstand des Punktes P zu der Geraden g, und erläutern Sie ihr Vorgehen. De g) Gegeben sind die Punkte A(1|1|1), B(3]3]2) und C(4]1]1). gl) Zeigen Sie, dass es sich bei dem von den drei Punkten aufgespannten Dreieck nicht um ein gleichseitiges Dreieck handelt. 82) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die durch den Punkt A und den Mittel- punkt der Strecke BC verläuft. h) Gegeben sind die Ebene E, mit der Ebenengleichung Ez:a’x+b’y+c'z=10 und die Darstellung des zugehörigen Ebenenabschnitts mit den Achsenschnittpunkten P1,P2 und P3. Bestimmen Sie die Parameter a, bundcso, dass der in Abbildung 1.4 dargestellte Ebenenabschnitt Teil der Ebene E; ist. -11 Abbildung 1.4 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 eAHT 18S Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 5 von 9
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA Punkteverteilung Aufgabe 2: Radiotherapie [Aufgabentel | a|b|Ic|dje|f|eg|n |; [gesamt Erreichbar ENEZEZESEZEZESEIEN rosa III Zweisomaem 1 I II II TIL Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter: a,b,c,... € Rund die Variablen: x,t,... € R. Die Strahlentherapie (Radiotherapie) ist neben Operation und Chemotherapie eine der zentralen Säulen der Krebstherapie. Bei jedem zweiten Krebspatienten kommt im Laufe seiner Erkrankung eine Strahlentherapie zum Einsatz. Im Gegensatz zur medikamentösen, im ganzen Körper wirkenden („systemischen“) Chemotherapie ist die Strahlenbehandlung eine rein lokale Maßnahme, die Wirkung tritt also nur innerhalb des Bestrahlungsfeldes auf!. Im Laufe der Jahre wurde eine ganze Reihe von unterschiedlichen Strategien entwickelt. Eine sehr patientenschonende Methode, die allerdings hohe Anforderungen an die Prä- zision stellt, ist die Stereotaktische Bestrahlung („Gamma Knife, CyberKnife, Strahlenchi- rurgie“) mit mehreren Strahlenquellen, sogenannten Linearbeschleunigern. BULL LT 60. | | A130 20 Bo | | 10. Abbildung 2.1: Koordinatensystem - Behandlungsraum ! Quelle: https://www.krebsgesellschaft.de/onko-internetportal/ Zugriff 26.02.2017 17:00 Uhr Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 eAHT 18S Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite6 von 9
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA Hierbei treffen die Behandlungsstrahlen aus verschiedenen Richtungen punktgenau auf die zu behandelnde Stelle, wobei der Patient entweder fixiert wird oder seine spontanen Lage- veränderungen und Atembewegungen automatisch ausgeglichen werden. Auf das gesunde Gewebe entlang der Einstrahlbahnen trifft nur eine geringe Strahlendosis, sodass das Be- strahlungsziel punktuell mit hohen Energiedosen bestrahlt werden kann. Im Nachfolgenden ist von einem im Koordinatensystem im Punkt B (10|5|25) fixierten Be- strahlungsziel auszugehen. Alle Längen sind in Zentimeter angegeben. Die Ausgänge der drei Linearbeschleuniger haben die Koordinaten LY (30|0|50), LK (<30|0|50) und LS (0| < 50|50). a) Zeichnen Sie die Punkte LY , LK und LS in das dreidimensionale Koordinatensystem (Ab- bildung 2.1) ein und erläutern Sie im Allgemeinen die Schwierigkeit, Koordinaten von Punkten aus einem dreidimensionalen, kartesischen Koordinatensystem abzulesen, wenn keine der Koor- dinaten bekannt sind. Die Steuerungseinheit des Bestrahlungsgerätes errechnet für einen der Behandlungs- strahlen die Gerade g mit der Gleichung: <30 8 g: Zx[ = ^ 0_ + s ^ 1 _ 50 <5 b) Ordnen Sie den Behandlungsstrahl einem der Linearbeschleuniger zu und prüfen Sie, ob der Behandlungsstrahl durch diese Geradengleichung beschrieben wer- den kann. c) Berechnen Sie die Länge des Behandlungsstrahls vom Austritt des Linearbeschleuni- gers 2 bis zum Bestrahlungsziel. Mit zunehmendem Abstand zum Bestrahlungsziel lässt die Fokussierung der Behandlungs- strahlen nach und die Strahlen beginnen vermehrt zu streuen. Damit die Behandlungs- strahlen sich möglichst gebündelt treffen, darf der Abstand des Bestrahlungsziels zu den einzelnen Ausgängen der Linearbeschleuniger nicht zu groß sein. Die Abbildung 2.2 zeigt den Grad der Fokussierung in Prozent in Abhängigkeit vom Abstand zu den Ausgängen der Linearbeschleuniger. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eA HT 18 S A1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) 28. März 2018 Seite 7 von 9
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA Abbildung 2.2: Grad der Fokussierung in Prozent Der Abstand des Linearbeschleunigers 1 (Austrittspunkt LY (30|0|50)) zum Bestrahlungs- ziel ist mit ca. 32 cm bekannt. Damit die Therapie erfolgsversprechend ist, sollte die Fokus- sierung des Strahls nicht unter 50 % fallen. d) Beurteilen Sie, ob die Therapie für den Linearbeschleuniger 1 als erfolgsversprechend eingeschätzt werden kann (siehe Abbildung 2.2). Bei einer zu großen Streuung und einem zu kleinen Winkel zwischen den einzelnen Be- handlungsstrahlen kann es bei dem an das Bestrahlungsziel angrenzenden Gewebe zu un- erwünschten Schädigungen kommen. Daher darf der Winkel zwischen zwei Behandlungs- strahlen nicht kleiner als 30° sein. e) Prüfen Sie, ob diese Voraussetzung für den Linearbeschleuniger 1 und den Linearbe- schleuniger 3 gegeben ist. Die Ebenen EY : x = 180, EK : x = <180, ES : y = 150 und Em : y = <150 begrenzen den Be- handlungsbereich. In diesem Bereich ist der Aufenthalt von Begleitpersonen oder Behand- lungspersonal während der Behandlung aus Sicherheitsgründen untersagt. Der strah- lungsundurchlässige Fußboden befindet sich in der Ebene En : z = <60, die Decke des Be- handlungsraumes liegt in den Ebenen Eo : z = 240 und <180 360 0 Ep : ZZ[x = ^<150_ + r ∙ ^ 0_ + s ∙ ^190_ mit 0 q r q 1 und 0 q s q 1 (Dachschräge). 50 0 190 Um eine Gefährdung des Behandlungspersonals auszuschließen, soll der Gefährdungs- bereich um den Patienten durch Markierungen auf dem Fußboden (Ebene En ) gut sichtbar gekennzeichnet werden. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eA HT 18 S A1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) 28. März 2018 Seite 8 von 9
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie eA Abbildung 2.3: Gefahrenbereich auf dem Fußboden f) Skizzieren Sie die Grenzen des Gefahrenbereiches in der Abbildung 2.3. g) Zeigen Sie, dass die Ebene E1 durch die Ebenengleichung 180 0 0 EY : Zx[ = ^ 0_ + tY ∙ ^1_ + t K ∙ ^0_ 0 0 1 beschrieben werden kann. Eine Gefährdung des Behandlungspersonals kann nur ausgeschlossen werden, wenn die Behandlungsstrahlen innerhalb des Gefahrenbereiches in den geschützten Fußboden ein- dringen können. h) Ermitteln Sie den Schnittpunkt des Behandlungsstrahls des Linearbeschleunigers 1 mit dem Fußboden und prüfen Sie, ob eine Gefährdung gegeben ist. Wegen der Wärmeentwicklung der Linearbeschleuniger wird ein Abstand von mehr als einem Meter zur nächsten Wand bzw. Decke gefordert. Andernfalls muss eine zusätzliche Wärmeisolierung vorgesehen werden. i) Berechnen Sie den Abstand von der Ebene Ep (Dachschräge) zum Ausgang des Linear- beschleunigers 3. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG eA HT 18 S A1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) 28. März 2018 Seite 9 von 9
Aufgaben 1 und 2 Lineare Algebra Punkteverteilung Aufgabe 1: (hilfsmittelfreier Teil) Aubona Tas Tefafefrfgfn]gm Breit | s|sIs|[sI[s|s|s|s| 0 esoreo | IL I PIPPI Zweitomeau | I LITT TTT Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter: a,b,c,... € Rund die Variablen: x,t,... ER. a) Gegeben ist der folgende Graph einer ganzrationalen Funktion f, der punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft: Abbildung 1.1 Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind: Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreu | wahr gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte). Für den Grad n der ganzrationalen Funktion fgilt:n > 4. Für den Gradn er ganzrationalen Funktonfatenea | 0 | = Tr se... 0,3; —0,1] 0,3 | f(x)dx = 0,6 [FE] 0 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 eAHT18SA1 und A2 LinAlg (Abschnitt 2) Seite 1von 8