gAHT18_Ma_L_geschwrzt.pdf
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „BG Abiturklausuren 2013-2019 SH“
Der Prüfling ... entscheidet, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. b1) ergänzt die feh- lenden Angaben und b2) skizziert den Ver- lauf der Ablei- tungsfunktion f”. c1) gibt die Gleichung der ersten Ablei- tung von fan und Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG gAHT 18L Al und A2 AnaGeo tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Bemerkung: Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung: Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden- Bei Multiple-Choice-Aufgaben gilt der jeweils angegebene Hinweis. I To Fran sma | | x f(x) = cos(x) — x sin(x) Fortsetzung nächste Seite 28. März 2018 (Abschnitt 1) Seite 1von 7
entscheidet, ob die folgenden Aussa- Entscheidung und Begründung Ben wahr oder Die Aussage ist wahr. falsch sind, und Der Graph der Funkti- begründet die on gmit Entscheidung. g(x) = sin(n-x) ist identisch mit dem Graphen der Funktion h mit h(x) = cos(m(x - 0,5)). Die Periodenlänge sowohl von gals auch von h istp = 2. Eine Sinusfunk- tion kann auch durch eine Kosinus- funktion dargestellt werden, indem man sie entlang der Abszissenachse verschiebt. In diesem Fall muss der Graph vom Funktionsterm cos(t x) noch um ein Viertel der Periodenlänge nach rechts verschoben werden, somit entsteht h(x) = cos(n(x - 0,5)). Die Aussage ist wahr. Verantwortlich für die Wertemenge einer Sinusfunktion sind die Amplitu- de sowie die Verschiebung des Gra- phen in Ordinatenrichtung. Die Funktion k mit Bei k ist der Graph um eine LE in k@&) =2°sin8-x)+1 | Ordinatenrichtung verschoben im hat den Wertebereich | vergleich zur Funktion f(x) = sin(x). W=[-1;3]. Die Amplitude beträgt a = 2, somit befinden sich die Ordinatenwerte von k zwischen Ymin=1-2=-1 und Ymax =1+2=3. Damit gilt für die Wertemenge W = [-1;3]. di) entscheidet, ob die Aussage wahr a falsch ist, Der Punkt P, (1j0|1) liegt in der EbeneEE.. Bu un Fortsetzung nächste Seite Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 gAHT 18L Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite2 von 7
zu 1d Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG gAHT 18L Al und A2 AnaGeo d2) entscheidet und begründet, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. el) gibt eine Geraden- gleichung für die Gerade gan und e2) untersucht, ob die Gerade g parallel zur xy-Ebene ver- läuft. fl) zeigt, dass es sich bei dem von den drei Punkten auf- gespannten Drei- eck nicht um ein gleichseitiges Dreieck handelt. Es handelt sich bei dem Ausdruck um das Skalarprodukt, das, sofern es Null wird, immer auf eine orthogonale Lage der beteiligten Vektoren schließen lässt. Da dies hier gegeben ist, ist diese Aussage wahr. ist abzuleiten, dass die Richtungs- vektoren der Ebene E, orthogonal zueinander liegen. Die Aussage ist falsch, da 1 Die beiden (6) - 7 = Richungsvektoren 0 der Ebene E,weisen die gleiche Länge 0 auf. i FT = 5 ungleich ist. 0 4 J-0 3 3 4 0 0 Die Gerade g muss parallel zur xy-Ebene verlaufen, da die Punkte P1 und P2 die gleiche z-Koordinaten aufweisen. Folglich muss die Gerade auf der Höhe z = 3 verlaufen und ist damit parallel zur xy-Ebene. (Abschnitt 1) 28. März 2018 Seite3von 7
Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie - gA Lösunge BE Anforderungen Modelllösungen zu | f2) f2) bestimmt eine Bu 3 1 35 Gleichung der i 3)+0,5.|-2]=|2 Geraden, die —1 1.3 durch den Punkt A 1-33 und den Mittel- : DB punkt der Strecke i—-13 BC verläuft. —2,5 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 gAHT 18L Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 4von 7
Aufgabe 2: Radiotherapie | [Anforderungen | Modelllösungen FI Der Prüfling zeichnet die Punkte ein und erläutert die Schwierigkeit, Koordinaten von Punkten aus ei- nem dreidimen- sionalen, kartesi- schen Koordina- tensystem abzu- lesen. ordnet den Be- handlungsstrahl einem der Line- arbeschleuniger zu und prüft, ob der Be- handlungsstrahl durch diese Ge- radengleichung beschrieben werden kann. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG gAHT 18L Al und A2 AnaGeo Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung: Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden- tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. + 426,30}0150) + 1t310}:50550) + — | L1(30]0]50) Durch die Darstellung in 3D auf einem 2D Medium werden Punkte mit unterschiedlichen 3D-Koordinaten in der 2D-Darstellung an der gleichen Position dargestellt. Folglich ist der Rückgriff von der 2D-Darstellung auf die Koordinaten in der 3D-Darstellung nicht eindeutig möglich. Der Ortsvektor des Ausgangs von Linearbeschleunigers 2 lautet -30 ebenfalls OL = | 0) Folglich muss es der Linearbeschleuniger 50 2 sein. Der Richtungsvektor des Behandlungsstrahles müsste sich aus der Differenz der Ortsvektoren des Behandlungszieles und des Aus- gangs von Linearbeschleuniger 2 ergeben: ,. f10\ /-30 40 25 50/ \-25 Der Richtungsvektor der Geraden g entspricht genau einem Fünftel des Vektors BL; . IE ı 40 8 —25 —5 Folglich kann der Behandlungsstrahl von Linearbeschleuniger 2 durch die Geradengleichung beschrieben werden. 28. März 2018 (Abschnitt 1) Seite 5 von 7
berechnet die Länge des Be- handlungsstrahls bis zum Bestrah- lungsziel. beurteilt, ob die Therapie als er- folgs- versprechend eingeschätzt werden kann. prüft, ob diese Voraussetzung für den Linear- beschleuniger 1 und den Linear- beschleuniger 3 gegeben ist. skizziert die Grenzen des Ge- fahrenbereiches in der Abbildung. prüft, ob der Punkt A in der Ebene E; liegt. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG nn... 28. März 2018° Abschlussprüfung Mathematik BG gAHT 18L Al und A2 AnaGeo Betrag des Richtungsvektors des Behandlungsstrahlens des Line- arbeschleunigers 2: “Hs Entnommen aus der Grafik: Der Fokussierungsgrad liegt bei einem Abstand von 32 cm bei ca. 61%. Da der Fokussierungsgrad des Behandlungsstrahls mit ca. 61 % deutlich über dem Grenzwert von 50 % liegt, kann mit einem er- folgreichen Therapieverlauf gerechnet werden. (61 % > 50%) |LzB| = = 47,43 [cm] Richtungsvektoren der Behandlungsstrahlen der Linearbeschleu- niger: 10 30 —20 (2-2) 25 50 25 10 0 10 L,B= ( 5) - (- so) - ( 55) 25 50 25 Winkel zwischen den Richtungsvektoren der Behandlungsstrahlen: Gt) 25 25 cosa = AT ( s)| 25 10 G 25 a = 69,34° > 30° Da der Schnittwinkel größer als 30° ist, ist keine Schädigung zu erwarten. x [cm], 200- 220-200-%0-160-140-120-100-80 -60 0 -20 © 0 60 © 100 120 140 180 1bo 200 2 20 240 -20 Ebene E, in Koordinatendarstellung: E,:-y+z=200 Einsetzen von A in die Ebenengleichung: —(-150) + 50 = 200 200 = 200 Damit liegt der Punkt A in der Ebene E.. (Abschnitt 1) 28. März 2018 Seite 6 von 7
z Anforderungen | Modelllösungen T— ermittelt den Schnittpunkt des Behandlungs- strahls des Line- arbeschleunigers 1 mit dem Fuß- boden und prüft, ob eine Gefährdung ge- geben ist. Geradengleichung des Behandlungsstrahls (Linearbeschleuniger 1): 30 —20 2.8=(0)+u( ;) 50 —25 Schnittpunkt des Behandlungsstrahls (Linearbeschleuniger 1) mit dem Fußboden: ARE x=-58 y=-22 u== S(-58] 22] - 60) Da die Koordinaten innerhalb des Gefahrenbereichs liegen, ist eine Gefährdung ausgeschlossen. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 gAHT 18L Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 7von 7
Aufgaben 1 und 2 Lineare Algebra - gA Lösungen Aufgabe 1 mit Linearer Algebra: FE Anforderungen Modelllösungen | BE | Der Prüfling ... entscheidet, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. b1) ergänzt die feh- lenden Angaben und b2) skizziert den Ver- lauf der Ablei- tungsfunktion f”. c1) gibt die Gleichung der ersten Ablei- tung von fan und tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Bemerkung: Bei Multiple-Choice-Aufgaben gilt der jeweils angegebene Hinweis. D Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung: Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden- I To Fran sma | x f(x) = cos(x) — x sin(x) Fortsetzung nächste Seite Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 gAHT 18LA1 und A2 LinAlg (Abschnitt 2) Seite 1 von 6
Aufgaben 1 und 2 Lineare Algebra - gA Lösungen BE Anforderungen Modelllösungen | BE | zu | c2) c2) entscheidet, ob die folgenden Aussa- Entscheidung und Begründung gen wahr oder falsch sind, und Der Graph der Funkti- begründet die on gmit Entscheidung. g(x) = sin(n-x) ist identisch mit dem Graphen der Funktion h mit h(x) = cos(m(x - 0,5)). Die Funktion K mit k(x) = 2-sin(3-x)+1 hat den Wertebereich W=[-1;3]. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG Die Aussage ist wahr. Die Periodenlänge sowohl von gals auch von h istp = 2. Eine Sinusfunk- tion kann auch durch eine Kosinus- funktion dargestellt werden, indem man sie entlang der Abszissenachse verschiebt. In diesem Fall muss der Graph vom Funktionsterm cos(t x) noch um ein Viertel der Periodenlänge nach rechts verschoben werden, somit entsteht h(x) = cos(n(x - 0,5)). Die Aussage ist wahr. Verantwortlich für die Wertemenge einer Sinusfunktion sind die Amplitu- de sowie die Verschiebung des Gra- phen in Ordinatenrichtung. Bei k ist der Graph um eine LE in Ordinatenrichtung verschoben im Vergleich zur Funktion f(x) = sin(x). Die Amplitude beträgt a = 2, somit befinden sich die Ordinatenwerte von k zwischen Ymn=1-2=-1 und Ymx=1+2=3. Damit gilt für die Wertemenge W = [-1;3]. 28. März 2018 gAHT 18LA1 und A2 LinAlg (Abschnitt 2) Seite 2 von 6
Aufgaben 1 und 2 Lineare Algebra - Lösungen entscheidet, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Ist A eine Matrix vom Typ 2x3 und B eine Mat- rix vom Typ 3x2, so ist A - Beine Matrix vom Typ 2x2. Seien A, B,C und X quadratische Matrizen vom gleichen Typ. Dann hat die Matrizengleichung A-X-B = Cdie LösungX = A’!-B-!-C. Wenn die Matrix A die Inverse zur Matrix B ist, gilt: A-B=B-A. 1 2 _ 3- (A 05) 2 G )=( Er „nd untersucht, obes | Es muss gelten: A-B=E reelle Zahlen für x x: 2 0,2 0,4 10 und ygibt, so dass | also: C = ’ 55 y ) (og n B diezuAinverse | gs folgt das Gleichungssystem: Matrix ist. L 02x+16=1 ll. 0,8-0,8=0 II. 0,4x+2y=0 IV. 16-y=1 mit den Lösungenx = -3 und y = 0,6. Für diese Zahlen ist B die inverse Matrix zu A. fl) zeichnet das zu- gehörige Materialver- flechtungs- diagramm und Aus den Tabellen ergeben sich die Matrizen: erstellt die zuge- hörende Rohstoff- 33 3 3 Zwischenprodukt- |A= |% 2jundB= 2 1 3) Matrix A und die ab Zwischenprodukt- Endprodukt- Matrix B. Fortsetzung nächste Seite Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 gAHT 18LA1 und A2 LinAlg (Abschnitt 2) Seite 3 von 6