gAHT18_Ma_S_geschwrzt.pdf
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „BG Abiturklausuren 2013-2019 SH“
Aufgaben1 und 2 Analytische Geometrie gA Punkteverteilung Aufgabe 1: (hilfsmittelfreier Teil) Arsen Te TS Te fafeT rm este | I I I wendore | | | [| Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter: a,b,c,... € R und die Variablen: x,t,... ER. a) Gegeben ist der folgende Graph einer ganzrationalen Funktion f, die punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft: Abbildung 1.1 Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind: Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte). f(-0,4) = f(0,4) Für den Grad n der ganzrationalen Funktion fgilt:n > 5 f’(-0,4) < 0 f”(0) = 0 0,3 | f(x)dx = 0,6 [FE] 0 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 gAHT 18S Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 1von 9
Aufgaben1 und 2 Analytische Geometrie gA b) Ist F eine beliebige Stammfunktion zu einer Funktion f im Intervall I > E2; 5F, so gilt: _____ B (_________)d____ > F(5) < F(____) I b1) Ergänzen Sie die fehlenden vier Angaben in der obigen Gleichung. Nachfolgend (Abbildung 1.2) ist ein Graph der Funktion f dargestellt. b2) Skizzieren Sie den Verlauf der Ableitungsfunktion f in das Koordinatensystem in Abbildung 1.3. J Abbildung 1.2 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG gA HT 18 S A1 und A2 AnaGeo Abbildung 1.3 (Abschnitt 1) 28. März 2018 Seite 2 von 9
Aufgaben1 und 2 Analytische Geometrie gA c) Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung: f(x) = x cos(x) c1) Geben Sie die Gleichung der ersten Ableitung der Funktion f an: BE c2) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung. Entscheidung und Begründung Der Graph der Funktion g mit g(x) = sin(n x) ist identisch mit dem Gra- phen der Funktion h mit h(x) = cos(n(x - 0,5)). Die Funktion k mit k(x) = 2:sin(3-x)+1 hat den Wertebereich W=[-1;3]. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 gAHT 18S Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 3 von 9
Aufgaben1 und 2 Analytische Geometrie 1 1 0 d) Gegeben ist die Ebene E}:X = () +5, ' (6) +S2° 2) 1 0 1 d1) Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Hinweis: Für ein richtiges Kreuz gibt es einen Punkt, für ein falsche Kreuz gibt es null Punkte. Der Punkt P, (1|0]1) liegt in der Ebene E.. d2) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und begründen Sie Ihre Entscheidung. Aus dem Ausdruck 3 ist abzuleiten, dass die Richtungs- vektoren der Ebene E, orthogonal zueinander liegen. Die beiden Richungsvektoren der Ebene E, weisen die gleiche Länge auf. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 gAHT 18S Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite4von 9
Aufgaben1 und 2 Analytische Geometrie gA e) Gegeben sind die Punkte P1(4|0]3) und P2(0|8]3) dargestellt in Abbildung 1.4. Abbildung 1.4 e1) Geben Sie eine Gleichung für die Gerade g an, die durch die Punkte P1 und P2 ver- läuft. e2) Untersuchen Sie, ob die Gerade g parallel zur xy-Ebene verläuft. f) Gegeben sind die Punkte A(1]|1|1), B(3]3]2) und C(4]1|1). fl) Zeigen Sie, dass es sich bei dem von den drei Punkten aufgespannten Dreieck nicht um ein gleichseitiges Dreieck handelt. f2) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die durch den Punkt A und den Mittel- punkt der Strecke BC verläuft. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 gAHT 18S Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite5 von 9
Aufgaben1 und 2 Analytische Geometrie gA Punkteverteilung Aufgabe 2: Radiotherapie Aobonen Ta feTefafettfefn Tem | reiner se EC Ba Ha a EEE ee | I | | [| | | Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter: a,b,c,... € Runddie Variablen: x,t,.... € R. Die Strahlentherapie (Radiotherapie) ist neben Operation und Chemotherapie eine der zentralen Säulen der Krebstherapie. Bei jedem zweiten Krebspatienten kommt im Laufe seiner Erkrankung eine Strahlentherapie zum Einsatz. Im Gegensatz zur medikamentösen, im ganzen Körper wirkenden („systemischen“) Chemotherapie ist die Strahlenbehandlung eine rein lokale Maßnahme, die Wirkung tritt also nur innerhalb des Bestrahlungsfeldes aufl. Im Laufe der Jahre wurde eine ganze Reihe von unterschiedlichen Strategien entwickelt. Eine sehr patientenschonende Methode, die allerdings hohe Anforderungen an die Prä- zision stellt, ist die Stereotaktische Bestrahlung („Gamma Knife, CyberKnife, Strahlenchi- rurgie“) mehreren Strahlenquellen, sogenannten Linearbeschleunigern. | | 2 | | 20 0 -90 “80 -70 -60 -50 -40 = 0 | “20 / yl -60 | -50 | -40 | -30 | -20 | -10 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 190 | 20 | 30 (x 50 30 | || | Abbildung 2.1: Koordinatensystem - Behandlungsraum ! Quelle: https://www.krebsgesellschaft.de/onko-internetportal/ Zugriff 26.02.2017 17:00 Uhr Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 gAHT 18S Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite6 von 9
Aufgaben1 und 2 Analytische Geometrie gA Hierbei treffen die Behandlungsstrahlen aus verschiedenen Richtungen punktgenau auf die zu behandelnde Stelle, wobei der Patient entweder fixiert wird oder seine spontanen Lage- veränderungen und Atembewegungen automatisch ausgeglichen werden. Auf das gesunde Gewebe entlang der Einstrahlbahnen trifft nur eine geringe Strahlendosis, sodass das Be- strahlungsziel punktuell mit hohen Energiedosen bestrahlt werden kann. Im Nachfolgenden ist von einem im Koordinatensystem im Punkt B (10|5|25) fixierten Be- strahlungsziel auszugehen. Alle Längen sind in Zentimeter angegeben. Die Ausgänge der drei Linearbeschleuniger haben die Koordinaten LS (30|0|50), LI (<30|0|50) und Lf (0| < 50|50). a) Zeichnen Sie die Punkte LS , LI und Lf in das dreidimensionale Koordinatensystem (Ab- bildung 2.1) ein und erläutern Sie im Allgemeinen die Schwierigkeit, Koordinaten von Punkten aus einem dreidimensionalen, kartesischen Koordinatensystem abzulesen, wenn keine der Koor- dinaten bekannt sind. Die Steuerungseinheit des Bestrahlungsgerätes errechnet für einen der Behandlungs- strahlen die Gerade g mit der Gleichung: <30 8 g: TxU > V 0W + s V 1 W 50 <5 b) Ordnen Sie den Behandlungsstrahl einem der Linearbeschleuniger zu und prüfen Sie, ob der Behandlungsstrahl durch diese Geradengleichung beschrieben wer- den kann. c) Berechnen Sie die Länge des Behandlungsstrahls vom Austritt des Linearbeschleuni- gers 2 bis zum Bestrahlungsziel. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG gA HT 18 S A1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) 28. März 2018 Seite 7 von 9
Aufgaben1 und 2 Analytische Geometrie gA Mit zunehmendem Abstand zum Bestrahlungsziel lässt die Fokussierung der Behandlungs- strahlen nach und die Strahlen beginnen vermehrt zu streuen. Damit die Behandlungs- strahlen sich möglichst gebündelt treffen, darf der Abstand des Bestrahlungsziels zu den einzelnen Ausgängen der Linearbeschleuniger nicht zu groß sein. Die Abbildung 2.2 zeigt den Grad der Fokussierung in Prozent in Abhängigkeit vom Abstand zu den Ausgängen der Linearbeschleuniger. Abbildung 2.2: Grad der Fokussierung in Prozent Der Abstand des Linearbeschleunigers 1 (Austrittspunkt LS (30|0|50)) zum Bestrahlungs- ziel ist mit ca. 32 cm bekannt. Damit die Therapie erfolgsversprechend ist, sollte die Fokus- sierung des Strahls nicht unter 50 % fallen. d) Beurteilen Sie, ob die Therapie für den Linearbeschleuniger 1 als erfolgsversprechend eingeschätzt werden kann (siehe Abbildung 2.2). Bei einer zu großen Streuung und einem zu kleinen Winkel zwischen den einzelnen Be- handlungsstrahlen kann es bei dem an das Bestrahlungsziel angrenzenden Gewebe zu un- erwünschten Schädigungen kommen. Daher darf der Winkel zwischen zwei Behandlungs- strahlen nicht kleiner als 30° sein. e) Prüfen Sie, ob diese Voraussetzung für den Linearbeschleuniger 1 und den Linearbe- schleuniger 3 gegeben ist. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG gA HT 18 S A1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) 28. März 2018 Seite 8 von 9 Abbildung 2.2: Grad der Fokussierung in Prozent
Aufgaben1 und 2 Analytische Geometrie gA Die Ebenen ES : x > 180, EI : x > <180, Ef : y > 150 und Ei : y > <150 begrenzen den Be- handlungsbereich. In diesem Bereich ist der Aufenthalt von Begleitpersonen oder Behand- lungspersonal während der Behandlung aus Sicherheitsgründen untersagt. Der strah- lungsundurchlässige Fußboden befindet sich in der Ebene Ej : z > <60, die Decke des Be- handlungsraumes liegt in den Ebenen Ek : z > 240 und El : < y + z > 200 (Dachschräge). Um eine Gefährdung des Behandlungspersonals auszuschließen, soll der Gefährdungs- bereich um den Patienten durch Markierungen auf dem Fußboden (Ebene Ej ) gut sichtbar gekennzeichnet werden. f) Skizzieren Sie die Grenzen des Gefahrenbereiches in der Abbildung 2.3. Abbildung 2.3: Gefahrenbereich auf dem Fußboden g) Prüfen Sie, ob der Punkt A(<180| < 150|50) in der Ebene El liegt. Eine Gefährdung des Behandlungspersonals kann nur ausgeschlossen werden, wenn die Behandlungsstrahlen innerhalb des Gefahrenbereiches in den geschützten Fußboden ein- dringen können. h) Ermitteln Sie den Schnittpunkt des Behandlungsstrahls des Linearbeschleunigers 1 mit dem Fußboden und prüfen Sie, ob eine Gefährdung gegeben ist. Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG gA HT 18 S A1 und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) 28. März 2018 Seite 9 von 9
Aufgaben1 und 2 Lineare Algebra gA Punkteverteilung Aufgabe 1:(hilfsmittelfreier Teil) Arsen Te TS Te fafeT rm este | I I I uendore | | | Im Folgenden gilt, sofern nicht anders angegeben, für die verwendeten Parameter: a,b,c,... € Rund die Variablen: x,t,... € R. a) Gegeben ist der folgende Graph einer ganzrationalen Funktion f, die punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft: Abbildung 1.1 Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind: Hinweis: Für jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsche Kreuz gibt es null Punkte, nicht angekreuzte Zeilen bleiben neutral (null Punkte). f(-0,4) = f(0,4) Für den Grad n der ganzrationalen Funktion fgilt: n > 5. f’(-0,4) < 0 f”(0) = 0 0,3 | f(x)dx = 0,6 [FE] 0 Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018 gAHT 18S Al und A2 LinAlg (Abschnitt 2) Seitelvon 7