Mecklenburg-Vorpommern Zentralabitur 2012 Mathematik mit CAS Aufgaben

Abitur 2012 Mathematik mit CAS                                                         Seite 2 Hinweise für Schüler Aufgabenwahl:              Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmernzu bearbeiten. Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen. Prüfungsteilnehmer, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, bearbeiten zusätzlich den Prüfungsteil B. Vonden Aufgaben B1 und B2ist eine auszuwählen. Bearbeitungszeit:         Allen Prüfungsteilnehmern steht eine Bearbeitungszeit von 195 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl zur Verfügung. Den Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, stehen zusätzlich 60 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Hilfsmittel:               Für die Bearbeitung der Aufgabensind zugelassen: «    das an der Schule eingeführte Tafelwerk, e    der an der Schule zugelassene Taschenrechner und das zugelassene CAS, °e   Zeichengeräte, °    ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung. Schülerinnen und Schüler, deren Muttersprachenicht die deutsche Spracheist, können als zusätzliches Hilfsmittel ein zweisprachiges Wörterbuchin gedruckter Form verwenden. Näheres regelt die Schule. Hinweis:                   Die Lösungensind in einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängendkonzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Sonstiges:                  Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei °    guter Notation und Darstellung, °    eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen, °    vollständiger Lösung einer zusätzlichen Wahlaufgabe. Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

Abitur 2012 Mathematik mit CAS                                                   Seite 3 Ai       Analysis Gegebenist die Funktion f durch die Gleichung f(x) =    s    -1mitxeR. x   +1 Ihr Graph heißtF. 1.1      GebenSie die Nullstellen der Funktion f an. Untersuchen Sie F auf die Existenz von Extrem- und Wendepunkten. Ermitteln Sie gegebenenfalls deren Koordinaten. GebenSie eine Gleichung der Asymptote von F an. Zeichnen Sie F im Intervall -4<x<4 in ein geeignetes Koordinatensystem. 1.2      Die x-Achse und F begrenzeneine Fläche vollständig. BerechnenSie denInhalt dieser Fläche. 1.3      Die Punkte R(-u | f(-u)), S(0 |O) und T(u | f(u)) mit O<u<1 bestimmen ein Dreieck. BerechnenSie den Wert von u so, dass die Dreiecksfläche maximal wird. 1.4      Bestimmen Sie die Gleichungenderjenigen Tangenten an F, die Ursprungsgeradensind. 1.5      Gegeben ist die Funktionenschar g , mit der Gleichung 9,(x)=-px?+p mitx,peR undp>0. Jeder Graph von g,, hat Schnittpunkte mit F. Deren Anzahlist abhängig vonp. BestimmenSie für jeden der folgenden Fälle je einen Wert für p. (a) Die Graphen haben genau zwei Schnittpunkte. (b) Die Graphen haben genau drei Schnittpunkte. (c) Die Graphen haben genau vier Schnittpunkte.

Abitur 2012 Mathematik mit CAS                                                   Seite 4 A2       Analytische Geometrie 2        In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein ebenflächig begrenzter Körper K mit den Eckpunkten A(2|-4]|0), B(0|4|-2), C(0|4|2) und D(-2|-4|0) gegeben. Er besitzt die vier Begrenzungsflächen ABC, ACD, ABD und BCD. 2.1      Stellen Sie K grafisch dar. 2.2      Weisen Sie nach, dass alle Begrenzungsflächen des Körpers zueinander kongruentsind. Prüfen Sie, ob diese Dreiecke > gleichschenklig > rechtwinklig sind. BerechnenSie für eine der Begrenzungsflächen den Flächeninhalt. Berechnen Sie den Neigungswinkel zwischen den Begrenzungsflächen ABC und ACD. 2.3      Die Mittelpunkte der Kanten AB, AC, DB und DCliegen in einer gemeinsamen Ebene. Beschreiben Sie die besondere Lage dieser Ebene im Koordinatensystem. 2.4      Berechnen Sie den Abstand des Punktes C von der Ebene ABD. Berechnen Sie das Volumendes Körpers K. 2,5      Gegeben sind Körper K‘, durch die Punkte A(2|-4|0),          B,(0 | t|-2), c,(0|t]|2) und    D(-2|-4]|0). Prüfen Sie, ob es einen Wert für t gibt, sodass die Begrenzungsfläche ABC, des Körpers K, rechtwinklig ist.

Abitur 2012 Mathematik mit CAS                                                      Seite 5 A3       Analysis und Stochastik 3.1      Gegeben sind die Funktioneng, f und h mit den Gleichungen g(x)=3,7 f(x) = 0,135 x? -8,12 x? +161,8x -1065,3 h(x) = - 0,0272 x+2,19                         mit   xeR. Ihre Graphenheißen G, F undH. 3.1.1 BerechnenSie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von F. 3.1.2 Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten von F. 3.1.3 Stellen Sie in einem kartesischen Koordinatensystem die Graphen der Funktionen g, f und h jeweils in diesenIntervallen dar: G: 0<x<18,5             F218,5 & X 2156          H: 21,6 <x <30,5 3.1.4 Eine weitere Funktion w ist folgendermaßendefiniert: g(x) für 0O<x<18,5 w(x)=+f(x) für 18,5<x< 21,6                      Es gilt: (|LE=1 cm) h(x)" für '216=x=30,5 Bei der Rotation des Graphen von w um die x-Achse entsteht ein Körper, der näherungsweise der äußeren Form einer Flasche entspricht. Berechnen Sie das Volumendieses Rotationskörpers. Auf dem Etikett dieser Flasche ist die Füllmenge mit 700 ml angegeben. Geben Sie zwei Gründefür mögliche Abweichungendes von Ihnen berechneten Rotationsvolumens von der angegebenenFüllmengean. 3.2      Flaschen werden in zwei Abfüllanlagen maschinell befüllt. Die Einhaltung der angestrebten Füllmenge von 700 ml soll überprüft werden, dazu wurden je 7 Flaschen der laufenden Produktion entnommen undderen Inhalt gemessen. Anlage A         716 ml   692 mi   712 mi  702 ml    706 mi  701 ml    714 ml Anlage B         707 ml   695 ml   726 mi  684 ml    683 ml  711 ml    692 ml 3.2.1    Ermitteln Sie für beide Abfüllanlagen jeweils das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der Füllmengen. Beurteilen Sie die Einhaltung der angestrebten Füllmengebeibeiden Anlagen. 6) Flaschen, deren Füllmengen um mehr als 20 ml von der angegebenen Füllmenge abweichen, werden aussortiert. Langfristige Beobachtungen habenergeben, dassdies bei 0,1 % aller abgefüllten FlaschenderFall ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: A: Genau 3 von 1000 abgefüllten Flaschen werden deshalb ausssoriiert. B: Weniger als 3 von 1000 abgefüllten Flaschen werden deshalb aussortiert.

Abitur 2012 Mathematik mit CAS                                                      Seite 6 B1       Analysis 11       Gegebenist die Funktionenschar f, mit der Gleichung (9) ——+0,5 mit axeR unda> 0. 1+30 e°2* Untersuchen Sie die Graphen von f, auf gegebenenfalls vorhandene Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrem- und Wendepunkte. GebenSie auch jeweils die Koordinatenan. GebenSie die Gleichung der Ortskurve der Wendepunktean. Bestimmen Sie die Gleichungen der Asymptoten. 112 Für a = 40 schließen der Graph vonf4o, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung x = 50 eine Fläche F ein. Die Punkte A(0 | 0) und P(50 | f,,(50)) sind Eckpunkte eines Rechtecks, dessenSeiten parallel zu den Koordinatenachsenliegen. Ermitteln Sie rechnerisch, wie viel Prozent der Rechteckfläche auf die Fläche F entfallen. 1.2      Auf einem Versuchsgelände wurde zu Forschungszwecken das Höhenwachstum einer bestimmten Grassorte beobachtet. In der Tabelle sind die Durchschnittswerte der Messungen der Höhe des Grasesh (in cm) zu ausgewählten Zeitpunkten t (in h) ab Beginn der Beobachtung angegeben. tinh              0        3      7     10       15       24      36      48 h in cm          1,8      2,8    5,3    8,4     16,5     32,6    39,6    40,4 1.2.1 Stellen Sie die Wertepaare der Tabelle in einem Koordinatensystem grafisch dar. Zur Beschreibung der Höhe des Grases kann die Funktion h mit der Gleichung hit) =      40 +0,5     mitt>0 verwendet werden. 1+30 e?! Berechnen Sie die durchschnittliche Höhe des Grases nach 20 Stunden sowie den Zeitpunkt, zu dem etwa 20 cm Höhe erreicht sind. Beurteilen Sie die Aussage: Höhen über 45 cm sind nicht möglich. 1.22 Führen Sie mit den gegebenen Messwerten eine exponentielle Regression durch und gebenSie die Gleichung der Regressionsfunktion an. Beurteilen Sie die Brauchbarkeit der ermittelten Funktionhinsichtlich der Darstellung der Messwerte und des zu erwartenden weiteren Wachstums.

Abitur 2012 Mathematik mit CAS                                                       Seite 7 B2       Analytische Geometrie und Stochastik Ein Carport wird direkt an einer Hauswandaufgestellt. In einem kartesischen Koordinatensystem hat das Carportdach die Eckpunkte A(3|0|25), B(3|4| 23,3), C(-3,5 | 4 | 2,3) und D(-3,5|0| 2,5). Die Hauswand befindet sich in der xz-Ebene. Die Stellfläche für das Auto befindet sich in der xy-Ebene.Eine Längeneinheit ist ein Meter. 2.1      Erstellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Punkte A, B und C liegen undzeigen Sie, dass der Punkt D ebenfalls Punkt dieser Ebeneist. Damit das Regenwasser auf dem Carportdach von der Hauswand weg geführt werden kann, mussdieses eine horizontale Neigung von mindestens 2,5° haben. Überprüfen Sie, ob dies gewährleistetist. 2.2      Im Punkt M(0 | 0 | 5) befindet sich die Spitze einesBlitzableiters. -1,35 Die Sonnenstrahlen verlaufen in Richtung des Vektors           1. 1 Untersuchen Sie, ob der Schatten der Spitze des Blitzableiters auf das Carportdachfällt. 2.3      Für die Dachverblendung des Carports sollen quadratische Schieferplatten montiert werden. Der Hersteller der Schieferplatten gibt an, dass durch Fertigung und Transport mit einem Anteil defekter Platten von 5% zu rechnen ist. Überprüfen Sie, ob die Behauptung desHerstellers mit einem Signifikanzniveau von 0,05 korrekt ist, wenn in einer Teillieferung von 200 Platten höchstens 15 defekt sind. 2.4      Im hinteren Teil des Carports wird mithilfe von Brettern und Schrauben ein Abstellraum geschaffen. 2.4.1    Die Bretter werden maschinell zugesägt und mit Bohrungenfür die Schrauben versehen. Bei der Endkontrolle wird festgestellt, dass 5 % der Bretter falsch zugesägt wurden und 0,2 % falsch zugesägt und fehlerhaft gebohrt wurden. Die Fehler treten unabhängig voneinanderauf. BestimmenSie die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Brett richtig zugesägt aber falsch gebohrt wurde. 2.4.2 Beim Erstellen des Abstellraumes werden Schrauben zur Befestigung der Bretter benötigt. Der Anteil fehlerhafter Schraubenist binomialverteilt mit den Parametern u =25 und 0 =4,9371. Berechnen Sie den Anteil der fehlerhaften Schrauben.