Mecklenburg-Vorpommern Zentralabitur 2014 Mathematik mit CAS Aufgaben

Seite 2 Abitur 2014 Mathematik mit CAS Hinweise für Schüler Aufgabenwahl:              Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Der Teil A     ist vo  n  al le n  Pr üf  un  gs te il  ne hm  er  n  zu   be ar be it en . Von de    n  Au fg ab  en   A1  ,  A2    un  d  A3   si nd   zw  ei   au  sz  uw äh le n. Prüf  un gs te il ne hm er ,   di e  di e  Pr  üf un g   un te r  er  hö  ht en Anfo   rder  un ge n  ab  le ge  n,   be ar  be it en   zu sä tz  li ch  de  n Prüfungsteil B. Von    de n  Au fg  ab  en  B1    un  d   B2i st   ei  ne   au  sz uw  äh  le  n. Allen Prüfungs       te il ne  hm  er  n  st eh t ei  ne   Be ar  be it  un gs ze it  vo  n Bearbeitungszeit: 195 Minute     n  zu zü gl ic  h  30    Mi nu  te n  fü r  di e  Au  fg  ab  en au  sw ah  l zur Verfügung. Den Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, stehen zusätzlich 60 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Hilfsmittel:               Für die Be    ar be it  un g  de  r Au   fg ab  en   si  nd  zu  ge  la ss  en : °    das an der Schule eingeführte Tafelwerk, «    der an de    r Sc  hu le    zu ge  la  ss  en e  Ta  sc  he  nr  ec  hn er   un d  da  s zugelassene CAS, °    Zeichengeräte, °    ein  Wö rt er  bu  ch   de r  de  ut  sc  he n  Re  ch ts  ch re  ib  un g. Schü  le ri nn en   un  d  Sc hü  le r,   de re  n  Mu tt  er sp ra  ch e ni ch  t   di e deut  sc he   Sp ra ch ei  st  ,  kö nn  en al   s   zu sä tz  li ch  es  Hil fsm itt el ein zweisprachiges Wörterbuch in gedruckter Form verwenden. Näheresregelt die Schule. Hinweis:                   Die Lösung    en  si  nd    in  ei ne  r  sp ra ch li ch   ko rr ek  te n,   ma th em  at is  ch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrif       t  mü  ss  en    di e  Lö  su  ng  sw  eg  e   na ch vo ll zi  eh ba r sein. Entw  ür fe  kö  nn en   er  gä  nz  en  d  zu r  Be  we  rt  un g   nu  r  he ra ng  ez  og  en werden, wenn         sie  zu   sa  mm   en  hä  ng  en   d  ko nz  ip ie rt  si nd  un d   di e Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Sonstiges:                  Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei °    guter Notation und Darstellung, «    elegan   ten ,   kre ati  ven    un  d  rat ion  ell en   Lö  su  ng  sw eg  en , °    vollständiger Lösung einer zusätzlichen Wahlaufgabe. Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

Abitur 2014 Mathematik mit CAS Seite 3 Ai       Analysis Gegebenist die Funktion f mit f(x) = e*x? +2x und xeR. 1.1      Bestimmen Sie die Nullstellen, die Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunktes sowie die Koordinaten der Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall -2,2<x<63. 12       Der Graph von f und die x-Achse begrenzen eine Fläche L vollständig. Tal Ermitteln Sie den Inhalt und den Umfang von L. 1.2.2 Die Fläche L rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. 1.3     Gegebensind die Funktionenscharenf, und h, durch ihre Gleichungen w+t.x x) =        x     ’ 2 h.(x) ee und xiteR. 1.3.1 Weisen Sie nach, dassfür (2 die Graphen vonf, und h, im Koordinatenursprung senkrecht aufeinander stehen. 1.3.2 Für jeden Wert von t(t>0) schließen die Graphen vonf, und h, mit der x-Achse jeweils eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie den Wert vont, für den diese beiden Flächen gleich groß sind.

Abitur 2014 Mathematik mit CAS                                                   Seite 4 A2       Analytische Geometrie In einem Stadion soll die Eröffnung einer großen Sportveranstaltung gefeiert werden. Alle Koordinatenangaben beziehen sich auf dasselbe kartesische Koordinatensystem (Einheit 1 m). 2        Zunächst soll auf dem rechteckigen Sportplatz OPQR ein Fallschirmspringer landen. Von diesem Rechteck sind die Punkte O(0 |0 |0), P(0 | 110 |0) und R(-60 |0 | 0) gegeben. Der Fallschirmspringer wird zunächst im Punkt F(-225 | 330 | 600) beobachtet. Etwa 40 Sekunden später sieht man ihn im Punkt G(-175 | 260 | 450). Seine Bewegung wird während des gesamten Sprungs als geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit angenommen. 2.1. Geben Sie die Koordinaten des Eckpunktes Q an. 2.1.2 Berechnen Sie die Größe des Landewinkels. 2.1.3 Der Springer wird etwa um 20:00 Uhr landen. Bestimmen Sie den Zeitpunkt des Absprunges, wenn er das Flugzeug in 900 m Höhe verlassen hat. 2.2      Auf dem Sportplatz befindet sich zentral gelegen in einer Höhe von zwei Metern ein waagerecht errichtetes kreisförmiges Podest mit 10 m Durchmesser und dem Mittelpunkt M(-30 | 55 | 2). Untersuchen Sie, ob der Fallschirmspringer ohne Kurskorrektur auf dem Podest landen würde. 2.3      Gegebensind weiterhin die Punkte A(-8 | -3 | 2), B(-33 | -3 | 2), C,(x |-13 | 2) und S(-25 | -3 |17) mitxeR. Pe Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABS nicht gleichschenklig ist. 2.3.2 Die Punkte Cx liegen auf einer Geraden h. Untersuchen Sie die Lagebeziehung von h und der Geraden durch A und B. 2.3.3 Zeigen Sie, dass das Volumen der Pyramide ABCxS vom Parameter x unabhängig ist. 2.3.4 In die Pyramide ABCxS soll eine Bühne gebaut werden. Zum Schutz vor Regen sollen die Pyramidenseiten ASCx und BCxS mit Zeltbahnenverkleidet werden. Berechnen Sie x so, dass dafür möglichst wenig Material gebraucht wird.

Abitur 2014 Mathematik mit CAS                                                     Seite 5 A3       Analytische Geometrie und Stochastik Eine Nahrungsmittelfirma erwärmtin einem Test zur Qualitätssicherung 2014 ml eines Flüssigkeitsgemisches. 3.1      Die Funktion f mit fft) = —— beschreibt modellhaft diesen Erwärmungsvorgang. Dabeiist t die Zeit in Minuten undf(t) die Temperatur in °C. 3.1.1    Stellen Sie den Graphen von f in einem Koordinatensystem im Intervall O<t<20 dar. Berechnen Sie die Temperatur, die nach 325 s erreicht wird, sowie die Zeit, die vergeht, bis die Temperatur auf 100 °C gestiegen ist. Vergleichen Sie die momentanen Änderungsraten der Temperatur zu den Zeitpunkten t=2 und t=17. Die Funktion f besitzt genau eine Wendestelle. Ermitteln Sie diese. Nennen Sie die Bedeutung dieses Zeitpunktes in Bezug auf den Erwärmungsvorgang. Weisen Sie nach, dass die Funktion f streng monoton wachsendist. Berechnen Sie, welche Temperatur nach diesem Modell maximal erreicht werden kann. 3.2      In der täglichen Arbeit muss das Flüssigkeitsgemisch sehr oft hergestellt werden. Der Herstellungsprozess führt mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% zu einem brauchbaren Gemisch. 82,1 Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei 20 Herstellungen des Flüssigkeitsgemisches > genau 15 > höchstens 13 > mindestens 18 brauchbare Gemischeentstehen. 3.2.2 Ermitteln Sie, wie viele Gemische mindestens hergestellt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99,5% mit wenigstens einem unbrauchbaren Gemisch zu rechnenist.

Abitur 2014 Mathematik mit CAS                                                       Seite 6 B1       Analysis In einem Betrieb werden Werkstücke hergestellt, die aus einem Quaderund einem geraden Kreiszylinder (Stab) desselben Materials zusammengesetzt sind. Die Maße des Quaders sind 15 cm, 20 cm und 40 cm. Der Kreiszylinder hat einen Durchmesser von 2 cm, eine Höhe von 50 cm              Te; und steht senkrecht auf einer Seitenfläche des Quaders.                                                             rundum laufende Kerbe Während des späteren Einsatzes des Werkstückesin der Praxisist mit großen mechanischen Beanspruchungen aus                                                           0 wechselnden Richtungen auf den Stab zu rechnen. Um diesen am Quader zu stabilisieren, Abbildung 1 wird die Kerbe zwischen Quader und Stab rundum mit demselben Material aufgefüllt. Die Form der „Auffüllung“ wird mit der Methode der Zugdreiecke ermittelt. Zuerst wird ein gleichschenkliges Dreieck EFA in die Kerbe bei E gelegt, sodass F auf dem Stab und A auf der Quaderoberflächeliegen. In die neue Kerbe bei F wird ein zweites gleichschenkliges Dreiecks gelegt, sodass BG die Basis ist und der Punkt B die Strecke AF halbiert. Im dritten Schritt wird die Strecke BG halbiert und ein gleichschenkliges Dreieck in die Kerbe bei G gelegt. Man erhält so den Streckenzug ABCD. In der Praxis werden die Knicke außer im Punkt A geglättet. Für die Berechnungen verwenden Sie nun ein                 Quader Koordinatensystem, bei dem die x-Achsedie                            Abbildung 2: Schnittfigur Symmetrieachse des Stabesist und die y-Achsein der Seitenebene des Quaders, an der der Stab angebrachtist, verläuft. 1.1.      Die Strecke EA hat eine Länge von 4 cm. Berechnen Sie die Koordinaten der Knickpunkte A, B, CundD. Bestimmen Sie mit exponentieller Regression eine Gleichung einer „Glättungsfunktion“. 1.2       Für die folgenden Berechnungen verwenden Sie die Glättungsfunktion f mit der Gleichung f(x) = 4,5:0,85* mit xe IR sowie statt A und D die Punkte A,(0 | 4,5) und D, (9,25 | 1). 1.2.1    Berechnen Sie die Oberfläche des Werkstücks, nachdem die Kerbe rundum aufgefüllt wurde. 1.22 Die Masse des Werkstücks wird durch das Auffüllen der Kerbe vergrößert. Bestimmen Sie die prozentuale Änderung.

Abitur 2014 Mathematik mit CAS Seite 7 B2       Analytische Geometrie und Stochastik In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Koordinaten der Punkte A(15 0] 0), B(0 115] 0), c(15-3,/46 | 6 | 0 sowie D(15)0] 55) eines Prismas ABCDEF mit der Grundfläche ABC und der Kante AD gegeben. 2.1      Geben Sie die Koordinaten der Punkte E und F an und stellen Sie das Prisma grafisch dar. Weisen Sie nach, dass die Grundfläche ein gleichschenkliges Dreieckist. 2.2      Das Prisma wird durch die Ebenee, die durch die Punkte K(15| | 45) [2 | = | 55 ) und M| 15-3726 | 5 | 55 ) verläuft, in zwei Körper geteilt. 2.2.1    Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene e bezüglich der xy-Ebene. Ermitteln Sie das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper. 2.2.2 Im Straßenverkehr dienen Leitpfosten dem besseren Erkennen des Verlaufs der Fahrbahn. Leitpfosten können auch auf Leitplanken angebracht werden. Mit dem Körper ABCKLEFM (1LE 21cm) kann ein solcher Leitpfosten modelliert werden, wobei in der Praxis die Kanten zum Teil deutlich abgerundetsind. Auf zwei Seitenflächen befinden sich schwarze Kunststofffolien. Die Form dieser Folien kann jeweils durch ein Parallelogramm mit den Seitenlängen 25 cm und 15 cm und einem Innenwinkel von 60° beschrieben werden. " Auf einer dieser Folien sind zwei kreisförmige Reflektoren und " auf der anderenist ein rechteckiger Reflektor angebracht (siehe Abbildungen). Die kreisförmigen Reflektoren habenjeweils einen Durchmesser von 6 cm. Berechnen Sie, wie viel Prozent einer solchen schwarzen Kunststofffolie durch die beiden kreisförmigen Reflektoren verdecktwird. Der rechteckige Reflektor verdeckt 25% der anderen Folie. Das Verhältnis der Höhedes rechteckigen Reflektors zu seiner Breite beträgt 4:1. Bestimmen Sie die Längen derSeiten des rechteckigen Reflektors. Die Aufgabe B2 wird auf der folgendenSeite fortgesetzt.

Abitur 2014 Mathematik mit CAS                                                     Seite 8 2.3      An Gefahrenstellen sind die Reflektoren gelb, anderenfalls sind sie weiß. In einer Diskussionsrunde unter fünf Personen hat sich ergeben, dass vier der anwesenden Personen diese Tatsache noch wussten. Es wird diskutiert, ob in der gesamten Bevölkerung dieser Anteil auch vier Fünftel beträgt. Daher wird eine Umfrage vorbereitet. Formulieren Sie zwei Bedingungen, die bei der Auswahl der Teilnehmer der Umfrage berücksichtigt werden müssen, damit das Ergebnis der Umfrage aussagekräftig wird. BegründenSie. In einer solchen Umfrage unter 100 Personen beschreibt die binomial verteilte Zufallsvariable X die Anzahl der Personen, die diese Tatsache noch kannten. Es soll die Annahme überprüft werden, ob der Anteil der Gesamtbevölkerung, der diese Tatsache kennt, mindestens vier Fünftel beträgt. Formulieren Sie für ein Signifikanzniveau von 10 % eine Entscheidungsregel.