Mecklenburg-Vorpommern Zentralabitur 2014 Mathematik ohne CAS Aufgaben

Seite 2 Abitur 2014 Mathematik ohne CAS Hinweise für Schüler Aufgabenwahl:              Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen. Prüfungsteilnehmer,die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, bearbeiten zusätzlich den Prüfungsteil B. Von den Aufgaben Biund B2ist eine auszuwählen. Bearbeitungszeit:         Allen Prüfungsteilnehmern steht eine Bearbeitungszeit von 195    Min ute n zuz ügl ich 30 Min ute n für die Au fg ab en  au sw ah l zur Verfügung. Den Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, stehen zusätzlich 60 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Hilfsmittel:               Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen: °    das an der Schule eingeführte Tafelwerk, «    de r an de r Sc hu le zugelasse ne, ni ch t pr og ra mm ie rb ar e un d nicht grafikfähige Taschenrechner ohne CAS, °    Zeichengeräte, ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung. (Schülerinnen und Schüler, deren Muttersprachenicht die deutsche Sprache ist, können als zusätzliches Hilfsmittel ein zweisprachiges Wörterbuch in gedruckter Form verwenden. Näheres regelt die Schule.) Hinweis:                   Die Lösungen sindin einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Sonstiges:                  Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei °    guter Notation und Darstellung, °    eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen, «    vollständiger Lösung einer zusätzlichen Wahlaufgabe. Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

Abitur 2014 Mathematik ohne CAS Seite 3 Ai          Analysis             (35 BE) Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung fx +x?+3x mit xeR. Ihr Graph ist G. 1.1         Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G mit den Koordi- natenachsen, der lokalen Extrempunkte und des Wendepunktes von G. Weisen Sie die Art der Extrema und die hinreichende Bedingung für die Existenz des Wendepunktes nach. Geben Sie die benötigten Ableitungsfunktionen an. Stellen Sie den Graphen G in einem geeigneten Koordinatensystem dar. 12         Im Punkt Pl? wire die Tangente t an G gelegt. Bestimmen Sie eine Gleichung von t. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem t die x-Achse schneidet. 1.3        Gegebenist die Gerade h mit der Gleichung y = 3x mit xeR. 13,1       Die Gerade h schneidet G in genau zwei Punkten. Berechnen Sie die Koordinaten dieser beiden Punkte. Zeichnen Sie die Gerade h in das Koordinatensystem. 13:2       Betrachtet wird nun die Fläche, die von G mit x>0, der x-Achse und der Geraden mit der Gleichung x = 3 vollständig begrenzt wird. Die Gerade h teilt diese Fläche in zwei Teilflächen. Kennzeichnen Sie diese Teilflächen im Koordinatensystem. Ermitteln Sie das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Teilflächen. Geben Sie die verwendeten Stammfunktionen an. 1.4        Die Punkte O(0 | 0), P(u | f(u)) und Q(0 | f(u)) mit 0 < u < 4,85 sind die Eckpunkte des Dreiecks OPQ. Berechnen Sie den Wert von u, für den der Flächeninhalt des Dreiecks OPQ extremal wird. Weisen Sie die Art des Extremums nach. Geben Sie den extremalen Flächeninhalt an. 1.5        Gegeben ist eine Schar von Funktionen f, mit der Gleichung 1.9=- 2x +x?+a.x mitxeRacR. Berechnen Sie den Wert von a für den Fall, dass die Tangente im Wendepunkt an den Graphenvon f; die x-Achse unter einem Winkel von 60° schneidet.

Abitur 2014 Mathematik ohne CAS                                                   Seite 4 A2       Analytische Geometrie              (35 BE) Die rechte Abbildung zeigt das Kantenmodell eines Kirchturmdachs mit der quadratischen Grundfläche ABCD mit den Eckpunkten A(4 | 4 | O0) und B(-4|4 | 0). Den oberen Teil des Dachesbildet eine Pyramide P mit der achteckigen Grundfläche EFGHIJKL und der Spitze S. Nicht sichtbare Punkte und Körperkanten sind nicht dargestellt. Gegebensind die Punkte: E25 ]71] 2), F(i 12,512), 661 ]2312, HM2571123. 16235 | 1 | 2), 31 25 | 23). Ki | 2,5 | 2), LZ5 | 1 | 2) und 800 |0 | 2). 2.1     Zeichnen Sie die achtseitige Pyramide P in einem geeigneten Koordinatensystem. 2.2      Betrachtet werden die Geraden: g durch die Punkte F und G, h durch die Punkte A und S und k durch die Punkte L und E. 2.2.1    GebenSie je eine Geradengleichungfür g und han. Untersuchen Sie die Lagebeziehung von g und h. 2.2.2 Die Geraden g und k schneiden einander in einem Punkt. Geben Sie die Koordinaten dieses Punktes an. 2.3      Die Punkte A, E und liegen in der Ebene e. e Geben Sie eine Koordinatengleichung für e an. e Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den & mit der xy-Ebeneeinschließt. e Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q(2,5 | 2,5 | 2) von e. 2.4      Berechnen Sie den Flächeninhalt der Seitenfläche ABGF. 2.5      Zeigen Sie, dass je vier der Seiten der Grundfläche der Pyramide P gleichlang sind. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide P.

Abitur 2014 Mathematik ohne CAS                                                      Seite 5 A3       Analysis und Stochastik              (35 BE) 3.1      Gegeben ist eine Funktion f mit der                     | Gleichung                                               | x- I     e                              |                       Rn = mitxeD,.                                      ! 3.1.1 Geben Sie D;an.                                            | Berechnen Sie die Nullstelle von f sowie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes und des Wendepunktes des Graphen von f. Weisen Sie die Art des Extremumssowie die hinreichende Bedingung für die Existenz des Wendepunktesnach. Bestimmen Sie die Gleichungen der Asymptoten des Graphen von f. 3.1.2 Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x = 1 und x = 4 vollständig begrenzt wird. Geben Sie die verwendete Stammfunktion an. 3.1.3 Betrachtet wird der Inhalt A(u) der Fläche, die vom Graphen von f, der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x = 1 undx = umit uveR, u>1 vollständig begrenzt wird. Geben Sie A(u) in Abhängigkeit von u an. Bestimmen Sie alle Werte von u, für die A(u) -7 gilt. Berechnen Sie den Grenzwert lim A(u). U>4o Begründen Sie, dass der Flächeninhalt A(u) nicht den Wert 1 annehmen kann. 3.2      Die Urne im Bild enthält sieben Kugeln mit den Ziffern 1 bis 7. 3.2.1 Aus der Urne werden gleichzeitig zwei Kugeln zufällig gezogen und die Summeihrer Ziffern festgestellt.                              Q) a Geben Sie die Ergebnismenge für dieses Zufallsexperimentan.           Er Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei diesem             nr Zufallsexperiment die Summeder Ziffern größer als 10 ist. 3.2.2 Ein anderes Zufallsexperiment „Ziehen einer Kugel und Feststellen der Ziffer“ wird für ein Spiel verwendet. Hierbeigilt Folgendes: Ziffer auf der Kugel      1       2      3       4       8        6        f Auszahlung in Euro        1       2      0       0       0        0        0 e   Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert für den Gewinn gleich O0 Euroist. Berechnen Sie, welchen Einsatz man vom Spieler verlangen sollte, damit das Spiel fair ist. e   Ein Teilnehmer spielt zweimal, wobei die zuerst gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Teilnehmer insgesamt eine Auszahlung von genau 3 Euro erhält. 3.2.3 Berechnen Sie, wie oft mit Zurücklegen eine Kugel gezogen werden muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98 % wenigstens einmal die Kugel mit der Ziffer 7 gezogen wird.

Abitur 2014 Mathematik ohne CAS                                                  Seite 6 B1       Analysis und Stochastik             (30 BE) 1-1      Gegeben ist eine Funktionenschar f, durch die Gleichung ,X)=x-(a-Inx)mit xeR,x>0,aeRa>0. Die zugehörige Kurvenschar ist G.. 1.lel     Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunktes von G, in Abhängigkeit von a und ermitteln Sie die Art des Extrempunktes. Geben Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von G, an und begründen Sie jeweils. 112 Zeigen Sie, dass 0) =-4% -(2-Inx-2-a-N)mitxeR,x>0,aeRa>0 eine Stammfunktion von f; ist. G,, die Gerade mit der Gleichung x = 1 und die x-Achse schließen eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von a. Der Punkt P(u | fı(u)) mit u > 1 liegt auf G.. Im Punkt P wird an G; eine Tangente t gelegt. Die Koordinatenachsen und t schließen ein Dreieck ein. Ermitteln Sie den Wert von u so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks extremal wird. Weisen Sie die Art des Extremums nach und ermitteln Sie den extremalen Flächeninhalt. 1.2      In einer Urne sind 9 schwarze und eine zunächst unbekannte Anzahl weißer Kugeln. Es wird zweimal eine Kugel ohne Zurücklegen gezogen und die Farbe notiert. Ermitteln Sie alle möglichen Anzahlen der weißen Kugeln, damit Folgendes gilt: P(zwei verschiedene Farben) = 2:

Abitur 2014 Mathematik ohne CAS                                                    Seite 7 B2       Analytische Geometrie und Stochastik                      (30 BE) 2.1      Die Eckpunkte eines ebenflächig begrenzten Körpers K haben in einem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten A(0 |0 | 0), B(6|0| 0), C(0|8| 0), D(0 | 0 | 16), E(6 | O | 12) und F(0 | 8 | 14). Stellen Sie K in einem geeigneten Koordinatensystem dar. 202 Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels im Körper zwischen der Deckfläche DEF und derSeitenfläche BCFE. BestimmenSie die Größe des Winkels zwischen der Kante AD und der Deckfläche DEF. 2.1.3 Der Körper K wird so abgeschliffen, dass als Werkstückein dreiseitiges Prisma mit der Grundfläche ABC und der Höhe 12 cm entsteht. Maßstab: 1 LE 21 cm. Berechnen Sie die Volumenabnahmedurch das Abschleifen. D’sei der durch das Abschleifen entstandene Eckpunkt des Prismas, der auf der z-Achseliegt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes G auf der Werkstückskante BC, der von D’minimale Entfernung hat. Geben Sie diese minimale Entfernung an. 2.2      Eine Firma produziert aufgrund von Kaufinteressen der Kunden einen großen Vorrat Werkstücke in den Farben rot, blau und grün. Die Anteile betragen 40 % für rot, 15 % für blau und 45 % für grün. 2.2.1    Es werden nacheinander fünf Werkstücke zufällig entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse. A: Mindestens vier Werkstücke sind blau. B: Unter den letzten drei Werkstücken ist keines grün. ZuunD Der Geschäftsführer der Firma vermutet, dass das Kaufinteresse von 40 % für rote Werkstücke nachgelassen hat. Zur Überprüfung dieser Vermutung stellt er fest, dass unter 150 verkauften Werkstücken 55 rot waren. Beurteilen Sie die Vermutung des Geschäftsführers unter Berücksichtigung einer Irrttumswahrscheinlichkeit von 8 %. Tabelle der Binomialverteilung (Summenfunktion) für n = 150 und p = 0,4 k          45         46      47         48        49          50     51     52 P(X=<k)       0,0071     0,0113  0,0176     0,0265   0,0389       0,0555 0,0773 0,1050 k          53         54      55         56        57          58     59     60 P(X<k)        0,1391     0,1799  0,2274     0,2811   0,3402       0,4034 0,4690 0,5354