Mecklenburg-Vorpommern Zentralabitur 2015 Mathematik mit CAS Prüfungsaufgaben

Abitur 2015 Mathematik mit CAS                                                         Seite 2 von 8 Hinweise für Schülerinnen und Schüler Aufgabenwahl:                 Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen. Prüfungsteilnehmer, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, bearbeiten zusätzlich den Prüfungsteil B. Von den Aufgaben B1 und B2ist eine auszuwählen. Bearbeitungszeit:            Allen Prüfungsteilnehmern steht eine Bearbeitungszeit von 195 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl zur Verfügung. Den Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, stehen zusätzlich 60 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Hilfsmittel:                 Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen: °   das an der Schule eingeführte Tafelwerk, «   deran der Schule zugelassene Taschenrechner und das zugelassene CAS, «   Zeichengeräte, «   ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung. Schülerinnen und Schüler, deren Muttersprachenicht die deutsche Spracheist, können als zusätzliches Hilfsmittel ein zweisprachiges Wörterbuch in gedruckter Form verwenden. Näheres regelt die Schule. Hinweis:                     Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängendkonzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfangesbeinhaltet. Sonstiges:                   Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei °    guter Notation und Darstellung, «    eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen, «    vollständiger Lösungeiner zusätzlichen Wahlaufgabe. Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

Abitur 2015 Mathematik mit CAS                                                   Seite 3 von 8 Ai         Analysis 1          DerVerlauf einer Küstenlinie soll in einem geeigneten kartesischen Koordinatensystem durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion 4. Grades beschrieben werden. Dazu wurdendie Koordinaten einiger Punkte ermittelt: A(0 ]5), B(5| 2), C(7 | 1,4), D(10 | 3) und E(13 | 1,8). Die Ordinatenachse des Koordinatensystemszeigt nach Norden. Eine Einheit entspricht einem Kilometer. 8          BestimmenSie eine Gleichung einer solchen Funktion. 12        VerwendenSie für alle folgenden Aufgaben die Funktion f mit der Gleichung f(x) = - 0,004 x* +0,1x° -0,72x’+x+5 mit xe R. Der Graph von f heißt K. en         Berechnen Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte, die Lage der Wendepunkte von K sowie die Nullstellen vonf. Zeichnen Sie K im Intervall -2<x<14. 1.22 Genau aus Nordost wehtein heftiger Wind. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte, in denen der Wind senkrecht auf die Küstetrifft. Im Punkt T(10 | 6) befindet sich Treibgut. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem es die Küsteerreicht, wenn nur der konstant wehende Wind die Bewegung beeinflusst. 123 Die Gerade durch die Punkte P(2 | f(2)) und D sowie die Küstenlinie begrenzen ein Gebiet, welches für Motorboote gesperrt ist. Berechnen Sie die Fläche des gesperrten Gebietes. Bestimmen Sie die Länge der Küste von Pbis D. Eine Gemeindewill für einen vier Kilometer langen Abschnitt der Küstenlinie PD von P aus gemessendie Verantwortung für Ordnung und Sicherheit übernehmen. Ermitteln Sie, gegebenenfalls durch systematisches Probieren, die Koordinaten des zweiten Begrenzungspunktes auf der Küstenlinie.

Abitur 2015 Mathematik mit CAS                                                    Seite 4 von 8 A2 Analytische Geometrie Ein Magier möchte für seine Show einen neuen Zaubertrick entwickeln. Dazu wird ein Kasten in Form eines quadratischen Pyramidenstumpfes benötigt. In einem kartesischen Koordinatensystem habendie Eckpunkte des Pyramidenstumpfes folgende Koordinaten A(0/0|0), B(80|0|0), C(80|80|0), D(0|80|0), E(10 | 10 | 140), F(70 |10 |140), G(70 | 70 |140) und H(10 | 70 | 140).            (1 LE=1cm) 2.1        Stellen Sie den Pyramidenstumpf in einem geeigneten Koordinatensystem grafisch dar. RR         Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, welche die Punkte C, D und G enthält. Zeigen Sie, dass der Punkt H in dieser Ebene liegt. Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen der Grundfläche ABCD und der Seitenfläche CDHG. 283        Prüfen Sie, ob die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte von Grund- und Deckfläche als Höhe des Pyramidenstumpfes angesehen werden kann. 2.4        Eine Seitenfläche des Pyramidenstumpfes soll mit Blattsilber belegt werden. Blattsilber wird in Packungen zuje 25 Blatt der Größe 95 mm x 95 mm angeboten. Berechnen Sie die Kosten, wenn eine Packung 20,15 € kostet, nur ganze Packungen verkauft werden und kein Verschnitt entsteht. 2.5        Während der Show platziert der Magier eine Person so im Kasten, dass der Kopf aus einer kreisrunden Öffnung der Deckfläche herausschaut. Dann sticht der Magier mehrere Degen durch vorbereitete Öffnungen in den Seitenflächen des Kastens. Einer dieser Degen durchsticht die Seitenfläche ABFE im & Punkt R(30 | 5 | 70), verläuft geradlinig in Richtung des Vektors v=| 17 z undtrifft die Seitenfläche CDHG im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S sowie die Größe des Winkels zwischen Degen undSeitenfläche CDHG. Der Magier möchte einen Sportdegen mit einer Klingenlänge von 90 cm verwenden. Prüfen Sie rechnerisch, ob nach dem Durchstoßen des Kastens von Rzu S noch mindestens 10 cm der Klinge von außen zu sehensind.

Abitur 2015 Mathematik mit CAS                                                     Seite 5 von 8 A3         Stochastik 3.1        In Deutschland wurden 2012 ca. 2,4 Mio. Verkehrsunfälle von der Polizei aufgenommen, etwabei 1,8 % der Unfälle stand mindestens ein Unfallbeteiligter unter dem Einfluss berauschenderMittel. 3.1.1 BerechnenSie, bei wie vielen Unfällen mindestensein Unfallbeteiligter unter dem Einfluss berauschenderMittel stand. 3.1.2 Betrachtet werdenjetzt 500 zufällig ausgewählte Verkehrsunfälle. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Unfälle, bei denen mindestensein Unfallbeteiligter unter dem Einfluss berauschender Mittel stand. BegründenSie, dass X als binomialverteilt angesehen werden kann und berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Zufallsgröße. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse. A: Genau bei 10 Unfällen gab es unter Rauschmitteleinfluss stehende Beteiligte. B: Bei mehr als 10 Unfällen gab es unter Rauschmitteleinfluss stehende Beteiligte. C: Kein Unfallbeteiligter stand unter dem Einfluss berauschender Mittel. Di          In Mecklenburg-Vorpommern wurden im Jahr 2012 bei Verkehrskontrollen 4361 Drogentests durchgeführt und dabei 845 Verstößefestgestellt. Geben Sie den prozentualen Anteil unter den getesteten Fahrzeugführeran, die unter Drogeneinfluss standen. DRUID, eine Studie der europäischen Union, kam zu dem Ergebnis, dass 2 % der europäischen Autofahrer unter Drogeneinfluss unterwegs sind. Argumentieren Sie mithilfe zweier möglicher Sachverhalte, wie aus Ihrer Sicht die unterschiedlichen Ergebnisse zu erklären sind. 3.3        Erfahrungsgemäß stehen 2 % aller Personen unter Drogeneinfluss. Ein Drogenschnelltest zeigt bei einer unter Drogeneinfluss stehenden Person in 97 % der Fälle den Drogenkonsum korrekt an, während er einer nicht unter Drogeneinfluss stehenden Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % fehlerhaft einen Drogenkonsum unterstellt. Fertigen Sie zu diesem Sachverhalt ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel an. Der Aufgabentext wird auf der folgenden Seite fortgesetzt.

Abitur 2015 Mathematik mit CAS                                                     Seite 6 von 8 BerechnenSie, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Drogentest bei einer zufällig ausgewählten Personein falsches Ergebnis anzeigt. Ermitteln Sie, mit wie vielen fehlerhaften Tests bei 500-facher Durchführung des Schnelltests zu rechnen ist. BestimmenSie, wie viele Drogenschnelltests mindestens durchgeführt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens ein fehlerhaftes Ergebnis angezeigt wird, größer als 95 % ist. 3.4        Zukünftig soll ein anderer, teurerer Schnelltest verwendet werden. Dessen Hersteller behauptet, dass höchstens 3 % der Tests fehlerhaft sind. Um diese Behauptung zu überprüfen, wird der Drogentest 250-mal durchgeführt. Untersuchen Sie, ob man der Aussage desHerstellers mit einem Signifikanzniveau von 5 % vertrauen kann, wenn 10 fehlerhafte Drogentests auftreten.

Abitur 2015 Mathematik mit CAS                                                      Seite 7 von 8 sl                            2 B1         Analysis und Stochastik                              20                    a7 Ms 1.1.       Gegebenist der Querschnitt eines auf der Seite        ,„               j liegenden, zur Abszissenachse                         0.             |                 x rotationssymmetrischen Glühlampenrohlings.           errern Die Querschnittsfläche des Glühlampenrohlings       ul _ wird unter anderem durch die Graphen mehrerer       _,,, in R definierter Funktionen begrenzt.               en                     N (1 LE = 1 mm)                                       el                             " Graph        Funktionsgleichung      Definitionsbereich Reflektor, außen           A           a(x) = 5./x-20            2H5EXS48 Reflektor, innen           R            rx)= 5.,/x -             24 <x<45 Sockel                     S           s(x)                        (SX&25 Der Graph S derlinearen Funktion s verläuft durch die Punkte P(0 | 10) und Q(25 | a(25)). 1.1.1      Berechnen Sie den Durchmesser des Sockels an der Stelle x = 10. 1.1.2 Dieser Glühlampenrohling wird aus Glas mit einer Dichte von 2,2 m?       g hergestellt. Berechnen Sie die Masse der Rohlings. 1.1.3 Die innere Fläche des Reflektors wird mit einersilberfarbigen Schicht versehen. Berechnen Sie denInhalt dieser Fläche. 1.1.4 Eine zur Abszissenachse parallele Gerade g mit dem Abstand 20 schneidet den Graphen R im Punkt D. Auf der Geraden g liegt der Punkt E(50 | 20). Der Strahl DE wird an der Normalen zum Graphen R im Punkt D gespiegelt. Der gespiegelte Strahl schneidet die Abszissenachse im Punkt F. Berechnen Sie mithilfe der Beschreibung die Koordinaten der Punkte D und F. 1.2        Bei der Produktion des Rohlings treten Fehler bei Herstellung des Glaskörpers mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 % und Fehlerin der Beschichtung auf. Weitere Fehlergibt es nicht. Der Rohling ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 93,1 % fehlerfrei und weist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 % beide Fehler auf. Überprüfen Sie, ob die Fehler unabhängig voneinanderauftreten.

Abitur 2015 Mathematik mit CAS                                                     Seite 8 von 8 B2 Analytische Geometrie Ein Körper Q besitzt die Grundfläche ABCD und die Deckfläche EFGH. Die Punkte haben in einen kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten A(1|1| 0), 8(7|7|0), C(3|9|0) und D(-3|3| 0). Die Punkte der Deckfläche ergeben sich durch eine Verschiebung der Punkte A, B, C und D um fünf Längeneinheiten in Richtung der z-Achse, wobei E über A und F über B liegt. Auf den Körper Q wird eine Pyramide P mit der Grundfläche EFGH und der Spitze S(2 | 5 | 10) gesetzt. Der Körper K wird aus Q und P zusammengesetzt. (1LE=1m) 2.1        Stellen Sie K grafisch dar. Zeigen Sie, dass ABCD ein Parallelogramm aber kein Rechteckist. Berechnen Sie die Größe der Fläche EFS und deren Neigungswinkel zur Deckfläche EFGH. 2.2        Das Dreieck EFS wird durch eine Gerade h, die parallel zur Kante EF verläuft, in zwei gleich große Teilflächen geteilt. Die Gerade h schneidet die Kante ES im Punkt E' und die Kante FS im Punkt F'. Bestimmen Sie die Höhe des dabei entstehenden Dreiecks E’F'S. 2.3        Mit K wird in einem Architektenbüro ein Ausstelluingsgebäude modelliert, wobei der Mantel von P das Dach des Gebäudesdarstellt. 2.3.1 In der Dachfläche EFS soll ein rechteckiges Fenster mit dem Flächeninhalt = 58 geplant werden. Die oberen Eckpunkte des Fensters haben die Koordinaten M(4 | 5,5 | 7,5) und N(2 | 3,5 | 7,5). Prüfen Sie, ob ein solches Fenster eingebaut werden kann. 2.3.2 Die Neigung der Dachfläche EFS soll auf 30° verändert werden, in dem S in Richtung der z-Achse verschoben wird. Beurteilen Sie aufgrund Ihrer Ergebnisse, ob der Bau des Gebäudesmit der veränderten Dachneigung einen Dachraum zulässt, der als Atelier genutzt werden kann.