Mecklenburg-Vorpommern Zentralabitur 2016 Mathematik mit CAS Prüfungsaufgaben

Abitur 2016 Mathematik mit CAS                                                                Seite 2 von 8 Hinweise für Schülerinnen und Schüler Aufgabenwahl:                Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen. Prüfungsteilnehmer,       die     die    Prüfung      auf    erhöhtem Anforderungsniveau ablegen, wählen zusätzlich eine der Aufgaben B1 oder B2 zur Bearbeitung aus. Bearbeitungszeit:            Allen Prüfungsteilnehmern steht eine Bearbeitungszeit von 195 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl zur Verfügung. Den     Prüfungsteilnehmern,     die die     Prüfung    auf erhöhtem Anforderungsniveau ablegen, stehen           zusätzlich 60 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Hilfsmittel:                 Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen: e    das aan der Schule eingeführte Tafelwerk, e    der an der Schule zugelassene Taschenrechner und das zugelassene CAS, e    Zeichengeräte, ein Wörterbuchder deutschen Rechtschreibung. e    Schülerinnen und Schüler, deren Muttersprache nicht die deutsche Spracheist, können als zusätzliches Hilfsmittel ein zweisprachiges Wörterbuch in gedruckter Form verwenden. Näheresregelt die Schule. Hinweis:                     Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Sonstiges:                   Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei e    guter Notation und Darstellung, e    eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen, «e   vollständiger Lösungeiner zusätzlichen Wahlaufgabe. Maximal zwei Bewertungseinheiten           können     bei  mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

Abitur 2016 Mathematik mit CAS Seite 3 von 8 A1           Analysis Gegeben sind die Funktionen f und g mit ihren Gleichungen f(x)=-x*‘+2x?+1 und 8      4     8 5 X)=-—— X +—X -. sowie xeR. IStz 11         Berechnen Sie für den Graphen von f die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie der Extrempunkte und bestimmen Sie die Art der Extrema. Zeichnen Sie diesen Graphen im Intervall -2<x<2 in ein geeignetes Koordinatensystem. 1.2        Die Gerade mit der Gleichung y=1,5 schließt mit dem Graphen von f mehrere Flächen vollständig ein. Bestimmen Sie den Gesamtinhalt dieser Flächen. 1.3        Weisen Sie nach, dass sich die Graphen von f und g nie unter einem rechten Winkel schneiden. 1.4         In der Praxis werden Flüssigkeiten in oben                a offenen Auffangbecken gespeichert, deren                       in Aue Boden gewölbt ist und deren ebene                                   anna “ Stirnflächen senkrecht nach unten verlaufen. Die mit A, B, C und D bezeichneten Eckpunkte u: des Beckensbilden ein Rechteck mit AB=5m.                                  Abbildung 1 Ein solches Becken hat überall denselben Querschnitt. Im Modell wird dieser Querschnitt unten durch eine Parabel und oben durch eine Gerade begrenzt (siehe Abbildung 1). Im Koordinatensystem liegen die Gerade auf der x-Achse und die Parabel symmetrisch zur y-Achse. Die Parabel wird durch den Graphen der Funktion g im Intervall -4<x<4 erfasst. Eine Längeneinheit entspricht dabei einem Meter. 1.4.1      Aus Sicherheitsgründen dürfen die Wände ungesicherter Auffangbecken nirgends steiler als 30° sein. Andernfalls müssen sie umzäunt werden. Überprüfen Sie, ob die Errichtung eines Zauns für dieses Auffangbecken auch entlang der Seiten AB und CD erforderlich ist. 1.4.2      Gegen Witterungseinflüsse wird dieses Becken mit      einer       an    den  Stirnseiten offenen Kunststoffhaube geschützt (siehe Abbildung 2). c Ihr Querschnitt wird durch den Graphen der Funktion           q(x)= - x? +2       im   Intervall -4<x<s4          modelliert (xeR). Bestimmen Sie     »                       h die Größe der Fläche der Abdeckung. Abbildung 2 1.4.3      Das Auffangbeckenist bis zu einem Drittel seiner Höhe gefüllt. Ermitteln Sie, wie viel Liter Flüssigkeit noch in dieses Beckenfließen können, sodass es randvoll gefüllt ist.

Abitur 2016 Mathematik mit CAS                                                          Seite 4 von 8 A2           Analytische Geometrie Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte A(5|-2|-2), B(3]4 | -1) und C(-3|1|1). 2.1           Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Punkte A, Bund C liegen. Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes der z-Achse durch E. Weisen Sie nach, dass der Punkt D mit den Koordinaten D(2 | -3,5 | -1) in liegt. 2.2           Die Punkte A, B, C und D bilden die Grundfläche einer Pyramide ABCDS mit der Spitze S(3|-6| 7). 221           Untersuchen Sie, ob ABCD ein Parallelogramm ist. PAR          Stellen Sie die Pyramide grafisch dar. 2.2.3        Bestimmen Sie rechnerisch die Höhe h der Pyramide und die Größe des Winkels, der von den Seitenkanten AS und BS eingeschlossen wird. 2.2.4        Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. 2.3          Gegebensind jetzt weiterhin die Punkte P,(-3|1|k)      mit  keR. 2.3.1        Bestimmen Sie den Wert von k so, dass die Vektoren AB und AP, orthogonal sind. Bu           Berechnen Sie für jedes der Dreiecke ABP, den Flächeninhalt in Abhängigkeit von k. Für einen Wert von k ist dieser Flächeninhalt minimal. BerechnenSie für diesen Wert den Flächeninhalt. re           Bestimmen Sie alle Werte von k, für die folgende Aussage gilt: Der Punkt H(1| 4 | 5) liegt in der jeweiligen Ebene ABP..

Abitur 2016 Mathematik mit CAS                                                           Seite 5 von 8 A3           Stochastik Die Verwaltung einer Stadt in Mecklenburg-Vorpommern gab als Veranstalter eines Volksfestes 2008 eine repräsentative Umfrage in Auftrag, die über Wirtschaftswert des Volksfestes, Besucherstruktur, Image und Unterhaltungswert Auskunft gebensollte. Die überwiegende Mehrheit der Festbesucher kam mit 72% aus M-V (M), 9% der Gäste reisten aus den übrigen deutschen Bundesländern (D) an. Die restlichen 19% der Festgäste kamen aus dem Ausland(A). 3.1           Bei der Umfrage wurden zwei Besucher nach ihrem Herkunftsort mit den Antwortmöglichkeiten M, D, A befragt. Stellen Sie für dieses Zufallsexperiment ein vollständiges Baumdiagramm auf und geben Sie eine Ergebnismenge Q an. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: E1: Beide Besucher stammen aus Mecklenburg-Vorpommern. E2: Mindestens ein Besucher kommt aus dem Ausland. 3.2          Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der ausländischen Besucher bei einer Befragung von 5 Personen. BegründenSie, dass X als binomialverteilt angesehen werden kann. Berechnen Sie für jeden Wert von X die Wahrscheinlichkeit und stellen Sie diese Wahrscheinlichkeitsverteilung grafisch dar. 3.3          Vier Besucher wurden bezüglich ihrer Anfahrt befragt. Ein Großteil der Besucher benutzte öffentliche Verkehrsmittel (O), die anderen private Fahrzeuge(P). GebenSie die folgenden Ereignisse als Teilmengen der Ergebnismenge an. E3: Genau drei Personenfahren mit einem privaten Fahrzeug. EA: Die dritte Person fährt mit öffentlichen Verkehrsmitteln. Formulieren Sie das Gegenereignis von E4 in Worten. Der Aufgabentext wird auf der folgenden Seite fortgesetzt.

Abitur 2016 Mathematik mit CAS                                                          Seite 6 von 8 3.4          Das Volksfest war ein Fest für alle Generationen, Jung und Alt feierten gemeinsam. So hatte die Altersgruppe „30 Jahre und älter“ einen Anteil von 53%. Weibliche Besucher waren mit 49% vertreten. Rund 6% aller Festbesucher waren Kinder (unter 14 Jahre). 3.4.1        Man geht bei der Befragung davon aus, dass die Eigenschaften „Geschlecht“ und „Alter“ voneinander unabhängig sind. BerechnenSie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Befragung die Person »    männlich und „unter 30%ist. >»   weiblich und nicht „unter 30“ist. Am Eingang einer bei allen Festbesuchern besonders beliebten Attraktion wird geprüft, wie viele der Besucher Kindersind. 3.4.2        Es werden 120 Besucher dieser Attraktion befragt. Die Befragung kann als Bernoulli-Kette aufgefasst werden. Mit wie vielen Kindern muss bei der Prüfung gerechnet werden? BerechnenSie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 120 Befragten >»   genau 10 Kinder sind. >    mindestens 2, aber weniger als 8 Kinder gefunden werden. 3.4.3        Berechnen Sie, wie viele Personen befragt werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 80% mindestens zwei Kinder unter den Besuchern zu finden.

Abitur 2016 Mathematik mit CAS                                                           Seite 7 von 8 B1           Analysis und Stochastik 'y            er Rand In einem kartesischen Koordinatensystem wird                               a eine Fläche durch die Graphen der Funktionen f                    R Be ee und a, die x-Achse sowie die Geraden X%,=-1                soden      er / und x, =k(k>0) begrenzt.                                         1 {                            une, Es gilt f(x) =1,3./x und a(x) =-0,001x° - 0,002 x? +0,35x+2 mitk,xeR. Diese Fläche erzeugt bei der Rotation um die x-Achse einen Körper. Hierbei stellen im Achsenschnitt (siehe Zeichnung) der Graph von f die Innenwand und der Graph von a die Außenwand eines Glases dar. Die Geraden bilden den Boden bzw. den oberen Rand des Glases. Die Dicke der Glaswand wird für x>0 zwischen Außen- und Innenwand parallel zum Boden gemessen; die Höhe vom Bodenaus. Dabei entspricht eine Einheit einem Zentimeter. Um Isoliergläser herzustellen, wird der Raum, den die rotierende Fläche erzeugt, evakuiert. I            Ermitteln Sie den Innendurchmesser des Glasesin einer Höhe von 6 cm. Berechnen Sie die Höhe des Glases unter der Voraussetzung, dass der Rand etwa 2 mm starkist. Weisen Sie nach, dass die Dicke der Glaswand von unten nach oben betrachtet ständig geringer wird. 1.2         Dieses etwa 11 cm hohe Glassoll zu zweiDritteln des möglichen Gesamtvolumens mit Flüssigkeit gefüllt werden. Ermitteln Sie, wie weit die Flüssigkeit unterhalb des Randessteht. Berechnen Sie die Größe des evakuierten Raumes. 13           In der Höhe von 8,5 cm wird zur Verzierung ein Schliff parallel zum Boden rund um das Glas ausgeführt. Drei weitere Schliffe führen von diesem ersten aus senkrecht bis zum Boden. Berechnen Sie die Zeit zum Anbringen aller dieser Verzierungen, wenn für 1 cm etwa 6 Sekunden benötigt werden. 1.4          Man weiß aus Erfahrung, dass bei der Produktion dieser Isoliergläser fehlerhafte Produkte mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 1,5 % auftreten. Eine Tagesproduktion umfasst 2000 Gläser. 1.4.1        Geben Sie den Erwartungswert an und berechnen Sie die Standardabweichungfür die zufällige Anzahl fehlerhafter Gläser in einer Tagesproduktion. 1.4.2        Ermitteln Sie die Höchstzahl fehlerhafter Gläser in der Tagesproduktion, bis zu der man mit einer Irrttumswahrscheinlichkeit von 5 % noch davon ausgehen kann, dass sich die Fehlerquote nicht erhöht hat.

Abitur 2016 Mathematik mit CAS                                                         Seite 8 von 8 B2           Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem kann die Lage der Startbahn eines Flughafens folgendermaßen beschrieben werden: Die x-Achse verläuft von Westen nach Osten und die y-Achse von Süden nach Norden. Die z-Koordinate entspricht der Höhe (alle Einheiten in km). Die 3,5 km lange Startbahn beginnt im Koordinatenursprung und verläuft in Nord-Ost-Richtung, die Spitze eines Sendemastesbefindet sich im Punkt S(-1|-1| 0, 02). Die bei den nachfolgenden Flugzeugen betrachteten Abschnitte von Flugbahnen werden als Geraden modelliert. Ein Flugzeug1 fliegt in der Startphase von A(6|6| 1) nach B(18|18| 2) ‚ ein Flugzeug 2 befindet sich im Landeanflug von Punkt C(-20|-22]6) in Richtung zum Punkt D(-8|-10|5). 2.1          Berechnen Sie den Steigungswinkel von Flugzeug 1 auf dem Weg von A nach B. 2.2          Zum selben Zeitpunkt, in dem sich das Flugzeug 1 im Punkt A befindet, passiert Flugzeug 2 den Punkt C. Untersuchen Sie, nach welcher Zeit beide Flugzeuge die gleiche Flughöhe haben, wenn man voraussetzt, dass sich beide mit einer konstanten Geschwindigkeit von 250 km/h bewegen. 2.3          Bestimmen Sie die kürzeste Entfernung des zweiten Flugzeuges zur Spitze des Sendemastes. 2.4          BegründenSie, dass der Punkt E(2|2]0) auf der Startbahnliegt. Gäste auf der Besucherterrasse des Flughafengebäudes haben den Start von Flugzeug 1 beobachtet. Es war deutlich zu erkennen, dass das Flugzeug vom Abheben von der Startbahn bis zum Punkt A deutlich steiler aufgestiegen ist als später von A nach B. Ein Gast behauptet: „Das war'n ja mindestens 30 Grad“. Überprüfen Sie diese Behauptung. Später hat sich ein drittes Flugzeug von dieser Startbahn vom Startpunkt E aus mit einem konstanten Steigungswinkel von 10,5° zum Punkt A bewegt. Bestimmen Sie die Koordinaten von E. 2,5          Die Besucherterrasse wird von einem Sonnensegel in Dreiecksform beschattet. Bei leerer Terrasse fällt der Schatten des Segels vollständig auf den Terrassenboden. Der Boden liegt in der Ebene T mit der Gleichung: z — 0,01 = 0. Die Eckpunkte des Sonnensegels befinden sich in den Punkten U(0,5/0,005| 0,015), v(0,49|0| 0,012), W(0,51j0| 0,012). 3 Die Sonnenstrahlen verlaufen in Richtung   -2 |. —1 Berechnen Sie die Größe der Fläche des Sonnensegels in m?. Vergleichen Sie diese Größe mit der Größe des Schattens des Sonnensegels.