Mecklenburg-Vorpommern Zentralabitur 2017 Mathematik mit CAS Prüfungsaufgaben

Seite 2 von 11 Abitur 2017 Mathematik mit CAS Hinweise für Schülerinnen und Schüler Aufgabenwahl:                Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen. Jede dieser Aufgaben wird mit 35 BE bewertet. Prüfungsteilnehmer, die die Prüfung auf erhöhtem Anforderungs- niveau ablegen, wählen zusätzlich eine der Aufgaben B1 oder B2 zur Bearbeitung aus. Jede dieser Aufgaben wird mit 30 BE bewertet. Bearbeitungszeit:            Allen      Prüfungsteilnehmern     steht    eine    Bearbeitungszeit         von 195 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl zur Verfügung. Den       Prüfungsteilnehmern,     die    die    Prüfung    auf    erhöhtem Anforderungsniveau        ablegen,     stehen    zusätzlich    60     Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Hilfsmittel:                  Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen: «    das an der Schule eingeführte Tafelwerk, «    der an der Schule zugelassene Taschenrechner und das zugelassene CAS, °     Zeichengeräte, «    ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung. Schülerinnen und Schüler, deren Muttersprache nicht die deutsche Spracheist, können als zusätzliches Hilfsmittel ein zweisprachiges Wörterbuch in gedruckter Form verwenden. Näheres regelt die Schule. Sonstiges:                    Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Maximal zwei      Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei «  guter Notation und Darstellung, «   eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen, «  vollständiger Lösung einer zusätzlichen Wahlaufgabe. Maximal     zwei   Bewertungseinheiten       können     bei    mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

Abitur 2017 Mathematik mit CAS Seite 3 von 11 A1           Analysis Die folgenden Daten zeigen den anfänglichen Verlauf der Grippewelle 2014/15 in Deutschland. w             1      3         5          ,        9        11        13 g            41     175       158       1157     4203     9652      14630 Die Variable w steht für die Woche seit Beginn der Grippewelle. Die Variable g gibt die in der entsprechenden Wochelabortechnisch nachgewiesenen Grippefälle an, das heißt die Anzahl der neu an Grippe erkrankten Personen. 24          Der Zusammenhang zwischen g und w kann durch Funktionen näherungsweise 9BE beschrieben werden. Bestimmen Sie Gleichungen geeigneter Funktionen, indem Sie folgende Regressionen durchführen. g=f(w) ... lineare Regression g = f,(w) ... exponentielle Regression g=f,(w) ... Potenz- bzw. Powerregression Beurteilen Sie die ermittelten Funktionen hinsichtlich ihrer Brauchbarkeit den Sachverhalt zu beschreiben. 1.2         Peter behauptet, dass der anfängliche Verlauf der Grippewelle auch durch die                     4 BE Funktion g= f(w) = Bu. näherungsweise beschrieben werden kann. 1+1800 . e”"” Ermitteln Sie mithilfe dieser Funktion für die Wochen mit den Nummern 7, 10 und 13 die Anzahl der Neuerkrankungen und nehmen Sie anhand dieser Ergebnisse zu Peters Behauptung Stellung. 1.3        Anhand der bis zur 13. Woche vorliegenden Daten wurde eine reelle Funktion h mit h(w) = e'?®W -008w“ ermittelt, mit deren Hilfe auch der weitere Verlauf der Grippewelle bis zu ihrem Abklingen modelliert wird. 1.3.1.     Zeichnen Sie den Graphen der Funktion h im Intervall O<w<30 in ein geeignetes                     3BE Koordinatensystem. 1.3.2      Treffen Sie rechnerisch mithilfe der Funktion h Voraussagen über                                 10 BE >     die Höchstzahl der Neuerkrankungen pro Woche, >”    die Wochedes stärksten Rückgangs der Neuerkrankungen. Bestimmen Sie grafisch die Woche, ab der die Anzahl der Neuerkrankungen unter 250liegt. Der Aufgabentext wird auf der folgenden Seite fortgesetzt.

Abitur 2017 Mathematik mit CAS                                                          Seite 4 von 11 1.3.3      Tatsächlich gab es im weiteren Verlauf der Grippewelle 2014/15 in Deutschland               9BE jedoch folgende Daten: Ww       ı   18   TE       19         21       23       25        at g        |  8618 4076     1235       671      187       58        35 Stellen Sie die Wertepaare aus beiden Tabellen in dem schon vorhandenen Koordinatensystem dar. Vergleichen Sie Modell und Wirklichkeit für den erfassten Zeitraum der Grippewelle anhand der graphischen Darstellung. Argumentieren Sie mithilfe zweier möglicher Sachverhalte, wie aus Ihrer Sicht die Unterschiede zwischen Modell und Wirklichkeit zu erklären sind.

Abitur 2017 Mathematik mit CAS Seite 5 von 11 A2         Analytische Geometrie Von einem Prisma ABCDEF mit der Grundfläche ABC und der Kante AD sind die Punk te A(10 | 10 | 0), B(90 |70| 0), C(-50 | 90 | 0) und D(10 | 10 | 70) bekannt. Ein Aquarium hat die Form dieses Prismas. Die Dicke der Glasscheiben wird vernachlässigt. Eine Längeneinheit entspricht einem Zentimeter. 2.1         Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte E und F. 13 BE Stellen Sie das Prisma grafisch dar. Zeigen Sie, dass die Grundfläche ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieckist. Überprüfen Sie, ob es sich bei dem Prisma um ein gerades Prisma handelt. a2          Es gibt eine Faustregel, die besagt, dass einem Fisch im Aquarium pro Zentimeter 5 BE Körperlänge etwa 3 Liter Wasser zur Verfügung stehen sollen. Im Aquarium sollen Guppys gehalten werden. Diese Fische können bis zu 6 cm lang werden. Bestimmen Sie, wie viele Guppys man in diesem Aquarium unter der Beachtung der Faustregel höchstens halten könnte, wenn das Wasser bis 5 cm unter der Aquariumoberkante steht. 23         Auf den Boden des Aquariums wird Sand mit einer Dichte von 16 eingebracht.                    TBE Die Oberfläche des Sandes ist eben aber zur Grundfläche ABC geneigt. Der Aquariensand steht an den Kanten BE und CF jeweils 5 cm, an der Kante AD 10 cm hoch. Ermitteln Sie, wie viel Kilogramm Sand benötigt werden. 2.4        Ein gerader Stab berührt den Boden im Punkt P, ragt im Punkt Q(-10 | 70 | 6) aus             10 BE dem Sand und lehnt im Punkt R(-35 | 70 | 60) an der Wand ACFD des Aquariums. Erstellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene ACFD. Bestimmen Sie die Gesamtlänge des Stabes und unter welchem Winkel er gegen die Wand gelehnt ist.

Abitur 2017 Mathematik mit CAS                                                                    Seite 6 von 11 A3         Stochastik und Analysis Seilparks sind sehr beliebt, da sie Bewegung und Nervenkitzel bieten. An Masten oder Bäumen sind Plattformeninstalliert, zwischen denen sich die Benutzer an Seilen gesichert bewegen. In Deutschland gibt es 480 Seilparks, in der Schweiz 60. 3.1         Langfristige Untersuchungen haben ergeben, dass Mängel in den Seilparks                               7TBE entsprechend folgender Tabelle auftreten. f }                                                                                “        . |        getesteter        Anlegen und Benutzen    Zustand darselle    korrekte Einweisung Sicherheitsbereich     der Kletterausrüstung                      und Beaufsichtigung Anteil geprüfter Parks mit Mängeln                 60 % 0, 20 % [e) 70% 0, Ist ein Seilpark in allen drei Bereichen mängelfrei, kann er zertifiziert werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: (A) Ein Seilpark zeigt Mängel in allen Bereichen. (B) Ein Seilpark weist genau in einem Bereich Mängel auf. Ermitteln Sie die Anzahl an zertifizierbaren Parks, die in Deutschland zu erwarten wären. 32           Der Seilpark „Luftige Höhe“ bietet Parcours in drei Schwierigkeitsstufen!:                         12BE leicht (L), mittel (M) und schwer (S). Man weiß, dass etwa 22 % der Besucher S-Parcoursklettern. In einer bestimmten Woche hatdieser Park 550 Besucher. BegründenSie, dass die Anzahl der S-Kletterer als binomialverteilt angenommen werden kann. Berechnen Sie für folgende Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten: (C) Genau 137 Besucherklettern S-Parcours. (D) Höchstens ein Viertel der Besucher absolvieren S-Parcours. Ermitteln Sie, wie viele Personen mindestens zu einem Kletterteam gehören müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 95 % mindestens einer aus diesem Team einen S-Parcoursklettert. In der Hauptsaison rechnetder Seilparkbetreiber wöchentlich mit 750 Besuchern. Wenn insgesamt 1000 Kletterer einen der S-Parcours genutzt haben, sollen die S-Parcourseine sicherheitstechnischeIntensivprüfung erhalten. BestimmenSie ein sinnvolles Zeitintervall für diese Prüfung. Der Aufgabentext wird auf der folgendenSeite fortgesetzt.

Abitur 2017 Mathematik mit CAS                                                            Seite 7 von 11 2.3        Dasletzte Element im schwersten Parcours des Seilparks „Luftige Höhe“ist eine                 16 BE Seilrutsche. Der Verlauf des Seils über dem Erdboden kann in einem Koordinatensystem näherungsweise beschrieben werden durch die Funktion h mit der Gleichung h(x) = - 0,0000149x° + 0,00334x? -0,07991x+6 und xeR, O<x<90. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. DasStahlseil ist in den Punkten S(90 | 15) und Z(0 | 6) an zwei Mastenbefestigt, die senkrecht auf dem Erdboden stehen. Weil das Seil durchhängt, ist es 0,3 % längerals die Strecke SZ. Berechnen Sie die Länge des Seils. Aus Sicherheitsgründen darf das Seil vom Startpunkt S aus nicht zu steil nach unten verlaufen. Deshalb muss der Winkel zwischen Seil und Mast dort mindestens 67° betragen. Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist. Der zeitliche Ablauf der Abfahrt vom Startpunkt S bis zum tiefsten Seilpunkt kann durch die Funktion s=0,6t? beschrieben werden, dabei ist s die Maßzahl der horizontalen Entfernung vom Start und t die Maßzahl der Zeit (Entfernung in Metern und Zeit in Sekunden). An der tiefsten Seilstelle wird die größte lokale Änderungsrate von s (Momentangeschwindigkeit) erreicht, danach wird die Fahrt durch ein Bremssystem automatisch verlangsamt. DerSeilparkbetreiber behauptet, dass auf der Seilrutsche maximal eine Geschwindigkeit von 15 erreicht wird. Untersuchen Sie, ob dies zutrifft.

Abitur 2017 Mathematik mit CAS                                                          Seite 10 von 11 B2         Analytische Geometrie und Stochastik Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier 4,50m langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide. Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden. In einem kartesischen Koordinatensystem könnendie Enden der Pfosten für einen Wert vonzmitzeR modellhaft durch die Punkte A(2|-3|z), B, C und D(-3|-2|z) sowie E(2|-3]|4), F(3]2]4), G(-2|3]4) und H dargestellt werden, die Spitze des Daches durch den Punkt S(0|0|5). Dabei beschreibt die xy-Ebene den Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Wirklichkeit. ve            Geben Sie an, wie tief die Pfosten in den Untergrund hineinreichen.                       1BE 2.2           GebenSie die Koordinaten des Punktes H an.                                                5BE Weisen Sie nach, dass das Viereck EFGH ein Quadratist. 2.3           Begründen Sie, dass die Pyramide EFGHS symmetrisch zur z-Achseist.                        3BE 2.4           Die Punkte E, F und S liegen in einer Ebene L.                                            3 BE Bestimmen Sie eine Gleichung von L in Koordinatenform. 2:5          An der Spitze des Dachesist eine gerade Stange befestigt, deren oberer Endpunkt            4BE im Modell durch einen Punkt T dargestellt wird. Auf den Turm treffendes Sonnenlicht lässt sich       im Modell  durch  parallele Geraden  mit dem    Richtungsvektor       v beschreiben. Der Schatten der Stange liegt vollständig auf der Dachfläche, die durch das Dreieck EFS beschrieben wird. Beschreiben Sie, wie man die Länge dieses Schattens berechnen kann, wenn die Koordinaten von T und v bekannt sind. 2.6          Zur Stabilisierung des Turms wurden zusätzliche Balken mit einer Länge von 210m            4ABE verwendet. Ein solcher Balken ist mit einem Ende in einer Höhe von 3,50 m über dem Untergrund an einem der vertikal stehenden Pfosten befestigt, mit dem anderen Ende an einem der beiden darauf liegenden horizontalen Balken. Der obere Befestigungspunkt teilt den horizontalen Balken in zwei Abschnitte. Bestimmen Sie das Verhältnis der Längen der beiden Abschnitte. Die Aufgabenstellung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

Abitur 2017 Mathematik mit CAS                                                          Seite 11 von 11 27         Um die Nutzung des Spielplatzes mit dem Turm auch für die Zukunft zu belegen, soll festgestellt werden, wie viele Kinder den Spielplatz zukünftig nutzen werden. Die Tabelle zeigt prozentuale Anteile von Haushalten unterschiedlicher Größe an der Gesamtzahl der Haushalte im Jahr 2013 in Deutschland, die für diese Untersuchung zugrundegelegt werden. 1-Personen-Haushalte                                              40,5 % 2-Personen-Haushalte                                              34,5% 3-Personen-Haushalte                                              12,5% 4-Personen-Haushalte                                               92% Haushalte mit mindestens 5 Personen                                3,3% PR         Ermitteln Sie, wie viele Haushalte man im Jahr 2013 mindestens hätte zufällig aus-           4 BE wählen müssen, damit darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mehr als zwanzig 2-Personen-Haushalte sind. 24.2        Im Jahr 2014 wurde vermutet, dass der tatsächliche Anteil der 1-Personen-Haushalte          6 BE größer als im Jahr 2013 ist. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob diese Vermutung zutrifft, sollte auf der Grundlage einer Stichprobe von 500 Haushalten und einem Signifikanzniveau von 5% ein Test durchgeführt werden. Dabei sollte möglichst vermieden werden, irrtümlich davon auszugehen, dass die Vermutung zutrifft. Geben Sie die passende Nullhypothese an und bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.