Mecklenburg-Vorpommern Zentralabitur 2017 Mathematik ohne CAS Prüfungsaufgaben

Abitur 2017 Mathematik ohne CAS                                                               Seite 2 von 7 Hinweise für Schülerinnen und Schüler Aufgabenwahl:                  Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen. Jede dieser Aufgaben wird mit 35 BE bewertet. Prüfungsteilnehmer, die die Prüfung auf erhöhtem Anforderungs- niveau ablegen, wählen zusätzlich eine der Aufgaben B1 oder B2 zur Bearbeitung aus. Jede dieser Aufgaben wird mit 30 BE bewertet. Bearbeitungszeit:              Allen Prüfungsteilnehmern steht eine Bearbeitungszeit von 195 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl zur Verfügung. Den Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung unter                erhöhten Anforderungen        ablegen,    stehen    zusätzicc     60    Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Hilfsmittel:                   Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen: .       das an der Schule eingeführte Tafelwerk, .       der an der Schule zugelassene, nicht programmierbare und nicht grafikfähige Taschenrechner ohne CAS, .       Zeichengeräte, .       ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung. Schülerinnen und Schüler, deren Muttersprache nicht die deutsche Sprache ist, können als zusätzliches Hilfsmittel ein zweisprachiges Wörterbuch in gedruckter Form verwenden. Näheresregelt die Schule. Sonstiges:                     Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Maximal zwei       Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werdenbei .       guter Notation und Darstellung, .       eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen, .       vollständiger Lösungeiner zusätzlichen Wahlaufgabe. Maximal     zwei     Bewertungseinheiten    können   bei    mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

Abitur 2017 Mathematik ohne CAS                                                           Seite 3 von 7 A1         Analysis Gegeben ist die ganzrationale Funktion f durch die                        y Gleichung f(x)=x° -8x? +16x mitxeR. Der Graph von f ist G. 1.4        Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr bzw.falsch sind.                         7BE BegründenSie Ihre Entscheidung. A:        Der Graph G ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. B:        Die Funktion f besitzt genau zwei ganzzahlige Nullstellen. C:        Der Graph G besitzt an den Stellen x, -2 und X, =4 zueinander parallele Tangenten. 1.2        Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes von G.                                        5 BE Ermitteln Sie eine Gleichung der Wendetangente. 1.3        Die Punkte A(0| 0), B, (s] 0) und C, (sl f(s)) mit 0<s<4 sind die Eckpunkte eines            7BE Dreiecks. Ermitteln Sie den Wert von s, sodassder Flächeninhalt des Dreiecks AB,C, maximal wird. Weisen Sie die Art des Extremums nach. Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt. 1.4        Der Graph G und die x-Achse schließen eine Fläche H vollständig ein. 1.4.1      Berechnen Sie denInhalt von H.                                                               3 BE GebenSie die Gleichung der verwendeten Stammfunktion an. 1.4.2      Durch die Punkte P. (r| 0) mit O<r<4 und a1 fh) verläuft eine Gerade.                        5 BE Diese Geradeteilt die Fläche H in zwei gleichgroße Teilflächen. Bestimmen Sie den Wert von r für diesen Fall. 1.5        Im Folgenden wird die Funktionenscharf, mit der Gleichung                                    8BE f.(x)=a?-x° -8a-x? +16x mit xeR,aeR,a>0 betrachtet. Der Graph von f, sei G.. Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte von G.. Weisen Sie die Art der Extrema nach.

Abitur 2017 Mathematik ohne CAS                                                          Seite 4 von 7 A2         Analytische Geometrie und Stochastik Das Modell eines Carports wird in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte A, B,C, D, E, F, G und H bestimmt. Zur Unterbringung von Gartengerätenist ein zum Carport hin offener Abstellraum aus Blech angebaut. Im Modell wird er durch die Eckpunkte D, C, I, K, H und G festgelegt. Die Koordinaten lauten: A(9lojo), B(e]5lo), C(o]5jo), D(olojo), E(olola), F(a]s]-), G(0]5|3), H(0jo[3), ı(-4|5|0) und K(-40|0). Die Ebene & enthält die Punkte E, F, G und H. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. 2.1         Stellen Sie das Modell in einem kartesischen Koordinatensystem dar.                          3BE 2.2         Ermitteln Sie eine Koordinatengleichungfür die Ebene e.                                      6BE Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene & bezüglich der Grundfläche ABCD. 2.3          Zeigen Sie, dass folgende Aussagen wahr sind.                                               4 BE A:        Das Viereck BCGF ist ein Trapez. B:        DasDreieck CIG ist rechtwinklig. 2.4         BerechnenSie das Verhältnis der Volumina Vcarport : VAbsteiiraum-                            6 BE BestimmenSie, wie viele Quadratmeter Blech für die Herstellung derdrei Seitenflächen des Abstellraumes mindestens benötigt werden. 2.5         Ein nasserBall rollt von der Mitte der Strecke HG zur Mitte der Strecke IK und              10 BE hinterlässt dabei eine geradlinige Spur. Diese Spur kann mit Hilfe einer Geraden g beschrieben werden. GebenSie eine Gleichungfür g an. Prüfen Sie, ob der Punkt (- 3 | auf der Geradeng liegt. Weisen Sie nach, dass P innerhalb des Vierecks GIKHliegt. Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene eg. 2.6         Eine Firma fertigt Blechteile für den Abstellraum als Massenware. Die Fehlerquote beträgt dabei 13 %. Der laufenden Produktion werden nacheinander 50 Blechteile zufällig entnommen unduntersucht, ob sie einwandfrei oder defekt sind. 2.6.1      Begründen Sie, dass mandieses Experiment als Bernoulli-Kette beschreiben kann.                2BE 2.6.2      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.                                    4 BE A: Alle Blechteile sind einwandfrei. B: Höchstens ein Blechteil ist defekt.

Abitur 2017 Mathematik ohne CAS                                                        Seite 5 von 7 A3         Analysis Gegebenist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = " 4) .e*           mitxeR. Der Graph vonf ist K, der Graph der1. Ableitungsfunktion von f ist L. 3.1        BerechnenSie die Nullstelle von f.                                                         2BE 3.2        Zeigen Sie, dass                                                                          12 BE ©) 3 3) Ai f'X)=|<--<x e” die 1. Ableitungsfunktion vonf ist. Bestimmen Sie die Koordinaten des Extrempunktes von K und ermitteln Sie die Art des Extremums. Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes Wwx| EX) vonK. BegründenSie, dass für K bei W ein Wechselvon linksgekrümmt nach rechtsgekrümmterfolgt. Skizzieren Sie K im Intervall -A<x<2,1. 33         Zeigen Sie rechnerisch, dass K und L keine gemeinsamen Punkte haben.                       4BE Skizzieren Sie L im Intervall -4 < x < 2,1 im vorhandenen Koordinatensystem. 3.4        Im Punkt (0] f(0)) wird an K die Tangente gelegt.                                          3BE BestimmenSie eine Gleichung dieser Tangente. 3.5        Die Koordinatenachsen und L begrenzen eine Fläche vollständig.                             3BE BerechnenSie denInhalt dieser Fläche. 3.6        Die Geradex = umit ueR schneidet K im Punkt P und L im Punkt Q.                            4BE Ermitteln Sie den Wert von u, sodassdie Strecke PQ eine Länge von 1 hat. 7BE 3.7         Die Gerade s schneidet K in den Punkten A 2e| und (2| 0) Die Gerade g verläuft parallel zu s und durch den Punkt 4 Ze) Sowohl s und die Koordinatenachsenals auch g und die Koordinatenachsen schließen je eine Dreiecksflächeein. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser Dreiecke.

Abitur 2017 Mathematik ohne CAS                                                      Seite 6 von 7 B1         Analysis Gegeben ist die Funktionenschar f, mit der Gleichung (=(a-x)-x=a-x!-x! mitxeD,, aceR,a>0. Die Kurvenschar von f;ist K.. Ton        GebenSie den größtmöglichen Definitionsbereich von f, an.                               3BE Ermitteln Sie die Schnittpunkte von K, mit den Koordinatenachsen. 12         Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit vona.                    8 BE Bestimmen Sie die Art der Extrema. Prüfen Sie, ob K, Wendepunktebesitzt. 183        Skizzieren Sie K, für a=9 in einem geeigneten Koordinatensystem mindestens im           3BE Intervall O<x<10. 1.4        Für jeden Wert von a begrenzen der Graph K, und die x-Achse eine Fläche vollständig. 1.4.1      Bestimmen Sie den Wert von a, für den der Flächeninhalt den Wert —A6 annimmt.           5 BE 1.4.2      Berechnen Sie das Volumen des Körpers in Abhängigkeit von a, der bei der Rotation       4 BE dieser Fläche um die x-Achseentsteht. 1.9        Betrachtet werden Dreiecke mit den Eckpunkten (00), (u|O) und (u|f,(u)) mit             ’BE O<u<a. Ermitteln Sie den Wert von u in Abhängigkeit von a für das Dreieck mit maximalem Flächeninhalt. Auf den Nachweis des Maximums wird verzichtet. Geben Sie den maximalen Flächeninhalt für a=9 an.

Abitur 2017 Mathematik ohne CAS                             .                       Seite 7 von 7 B2          Analytische Geometrie Das Modell eines Hauses mit Walmdach (siehe Abbildung) wird in einem kartesischen                              |            K Koordinatensystem durch folgende Punkte                                                           G dargestellt:                                                           FHUOD393— | 7 A(4|-6|0), B(4|6|0), c(-4|6|0), D(-4|-6]0),                      we                    az „“D             F         © E(4|-6|4), F(4|6|4), 6(-4]6| 4), H(-4|-6] 4),                        2 ı(0|-4]8) und K(0|4|8).                                           A                    B Das von den Punkten E, F, G und H gebildete Viereck beschreibt die Dachbodenfläche. Die südliche Dachfläche wird im Modell durch die Punkte F, G und K bestimmt, eine Gleichung der Ebene, in der diese drei Punkte liegen, ist 2y+z=16. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. 2-1        Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen der südlichen Dachfläche und der            2BE Dachbodenfläche. 2.2        Stellen Sie das Modell in einem geeigneten Koordinatensystem dar.                        5BE Das Modell besitzt zwei Symmetrieebenen. Geben Sie für jede dieser Ebeneneine Gleichung an. 2.3        In den Dachboden wird in einer Höhe von 2 m gegenüber der Dachbodenfläche eine           8BE dazu parallele Decke eingezogen. Stellen Sie diesen Sachverhalt im vorhandenen Koordinatensystem dar. Bestimmen Sie das Volumendes oberhalb der Decke entstandenen Raumes. 2.4        Auf der Dachbodenfläche wird ein 3 m langes Rohr so montiert, das es die südliche Dachfläche durchstößt. Der Montagepunkt ist im Modell L(1|5]4). Die Dicke des Rohres soll vernachlässigt werden. 2.4.1       Bestimmen Sie, wie weit das Rohr aus dem Dachragt.                                      4BE 2.4.2       Das obere Ende des Rohres soll einen Mindestabstand von 40 cm zur Dachfläche            3BE besitzen. Prüfen Sie, ob diese Bedingung eingehalten wird. 2.5         Der Hauseingangsoll durch eine farbige Fläche gestaltet werden.                         8BE Diese Fläche wird durch einen Kreisbogen begrenzt, der durch folgende Punkte verläuft:            P,(4|3|0), P,(4|-3|0) und P,(4|-2]2). Berechnen Sie die maximale Höhe derfarbigen Fläche.