M LK HT B1 CAS (GG) Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2019 Mathematik, Leistungskurs Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabenstellung: Die Zahl der Haushalte in Deutschland, die über einen Glasfaseranschluss erreichbar sind, wächst ständig. Aber nicht alle erreichbaren Haushalte nutzen auch ihre Anschlüsse. Die Abbildung zeigt die Anzahl der Haushalte mit genutztem Glasfaseranschluss (im Folgenden Glasfaserhaushalte genannt) für die Jahre 2011 bis 2017. Dabei wird auf der t-Achse die Zeit in Jahren seit dem 01.01.2011 und auf der y-Achse die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend angegeben. Abbildung Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT B1 CAS (GG) Seite 2 von 3 Name: _______________________ a) Die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend wird durch eine Exponentialfunktion f der Form f ( t ) = a ⋅ e b ⋅t modelliert, deren Graph durch die Punkte P1 ( 0 | 296 ) und P2 ( 4 | 590 ) verläuft. Diese Funktion soll für Prognosen bis zum Jahr 2026 ( t = 15 ) genutzt werden. (1) Geben Sie den Parameter a an und bestimmen Sie b auf drei Nachkommastellen genau. Im Folgenden soll mit f ( t ) = 296 ⋅ e 0 ,17⋅ t weitergearbeitet werden. (2) Im Jahr 2017 wurden in einer Erhebung ca. 880.000 Glasfaserhaushalte gezählt. Bestimmen Sie die sinnvoll gerundete Anzahl der Glasfaserhaushalte, die sich bei der Modellierung mit der Funktion f für den 01.01.2017 ergibt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung zu dem Wert aus der Erhebung. (3) Bestimmen Sie im Modell für 0 ≤ t ≤ 15 den Zeitpunkt, zu dem die Anzahl der Glas- faserhaushalte am schnellsten wächst. Bestimmen Sie die zugehörige Wachstumsgeschwindigkeit und geben Sie die Einheit an. (4 + 4 + 5 Punkte) Es wird prognostiziert, dass der Markt für Glasfaseranschlüsse im weiteren Verlauf in eine Sättigungsphase eintritt, da eine zunehmende Zahl von Haushalten bereits über einen Glas- faseranschluss verfügt. Im Folgenden wird die Funktion f nur zur Prognose der Anzahl von Glasfaserhaushalten in Tausend bis zum 01.01.2026 ( t ≤ 15 ) genutzt. Der momentane Zu- wachs der Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend pro Jahr ab dem 01.01.2026 ( t ≥ 15 ) wird durch die Änderungsrate z mit der Funktionsgleichung z ( t ) = 50,32 ⋅ e 6,99−0,296⋅t modelliert. b) (1) Für große Werte von t nähert sich der Graph von z einem Wert an. Geben Sie diesen Wert begründet an. (2) Bestimmen Sie die Anzahl der Glasfaserhaushalte, die gemäß der Modellierung vom 01.01.2026 bis zum 01.01.2036 hinzukommen. Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT B1 CAS (GG) Seite 3 von 3 Name: _______________________ (3) Geben Sie einen Ansatz für einen Funktionsterm einer Funktion h an, der für t ≥ 15 die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend modelliert. Eine Vereinfachung oder Berechnung ist nicht erforderlich. (4) Es gilt: z ( t ) > 0 und z ' ( t ) < 0 für alle t ∈ IR . [Ein Nachweis ist nicht erforderlich.] Interpretieren Sie diese Aussage für t ≥ 15 im Sachzusammenhang. (3 + 4 + 4 + 4 Punkte) Bei vielen Technologien nimmt die Anzahl der Nutzer aufgrund des technischen Fortschritts mit der Zeit wieder ab. Um auch diesen Aspekt zu erfassen, wird für t ≥ 15 eine alternative Modellierung genutzt. Die Funktion k a mit der Funktionsgleichung ka ( t ) = 296 ⋅ e 2 ,55 + 50, 32 ( t − 15 ) ⋅ e 2 ,55 − a⋅( t − 15 ) , t ≥ 15 , a > 0 modelliert im Folgenden die Anzahl der Glasfaserhaushalte in Tausend für t ≥ 15 . c) (1) Weisen Sie nach, dass für t = 15 die Änderungsrate der Funktion k a unabhängig vom Parameter a mit der Änderungsrate der Funktion f übereinstimmt. (2) Weisen Sie nach, dass die Funktion k a ein lokales Maximum H a in Abhängigkeit von a besitzt und geben Sie dieses an.  1  1  Alle Hochpunkte H a  15 + ka  15 +   der Funktionenschar k a liegen auf dem Graphen a  a   der Funktion g mit g ( t ) ≈ 237, 08t + 234 , 69 . [Ein Nachweis ist nicht erforderlich.] (3) Um den Sachverhalt angemessen zu modellieren, soll der Wertebereich für den Parameter a weiter eingegrenzt werden. Bestimmen Sie den Wertebereich für den Parameter a so, dass die maximale Anzahl der Glasfaserhaushalte zwischen fünf und sechs Millionen liegt. (3 + 5 + 4 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: • CAS (Computer-Algebra-System) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Bildung NRW M LK HT B1 CAS (GG) Seite 1 von 6 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2019 Mathematik, Leistungskurs Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln 1. Aufgabenart / Inhaltsbereich Aufgabe mit realitätsnahem Kontext / Analysis 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2019 Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu den Kompetenzerwartungen und Inhaltsfeldern des Kernlehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgenden wird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen. 1. Inhaltsfelder und inhaltliche Schwerpunkte Funktionen und Analysis • Funktionen als mathematische Modelle • Fortführung der Differentialrechnung – Behandlung von ganzrationalen Funktionen, natürlicher Exponential- und Loga- rithmusfunktion und deren Verknüpfungen bzw. Verkettungen mit Untersuchung von Eigenschaften in Abhängigkeit von Parametern – notwendige Ableitungsregeln (Produkt-, Kettenregel) • Grundverständnis des Integralbegriffs • Integralrechnung 2. Medien/Materialien • entfällt 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Bildung NRW M LK HT B1 CAS (GG) Seite 2 von 6 5. Zugelassene Hilfsmittel • CAS (Computer-Algebra-System) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 6. Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Prüflinge muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Teilaufgabe a) (1) a = 296 . f ( 4 ) = 590  296e b ⋅4 = 590  b ≈ 0,172 . (2) f ( 6 ) ≈ 820,866 . Die Anzahl der Glasfaserhaushalte beträgt ungefähr 820 000 . f (6 ) 880 ≈ 0, 933 . Die Abweichung beträgt ungefähr 6,7 % . (3) Gesucht ist das Maximum der Ableitungsfunktion f ' für 0 ≤ t ≤ 15 . Der Taschenrechner liefert t = 15 . f ' (15 ) ≈ 644, 45 . Die Anzahl der Glasfaserhaushalte wächst im Modell für t = 15 am schnellsten, also am Ende der ersten fünfzehn Jahre mit einer Geschwindigkeit von ca. 640 000 Haus- halten pro Jahr. Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT B1 CAS (GG) Ministerium für Schule und Bildung NRW Seite 3 von 6 Teilaufgabe b) (1) Für große Werte von t nähert sich der Graph von z Null an, da der Exponent mit größer werdendem t betragsmäßig größer wird und gleichzeitig negativ ist, also e 6,99 − 0,296 t → 0 für große Werte von t . 25 (2) z t dt ≈ 2064,39 . ( )  15 Im Zeitraum vom 01.01.2026 bis zum 01.01.2036 nimmt die Anzahl der Glasfaser- haushalte voraussichtlich um ca. 2060 000 zu. t (3) Ein möglicher Ansatz lautet: h ( t ) = f (15 ) +  z ( x ) dx . 15 (4) z ( t ) > 0 und z ' ( t ) < 0 : Die Anzahl der Glasfaserhaushalte wächst im Modell ab t = 15 über den gesamten Zeitraum. Allerdings wächst die Anzahl der Glasfaserhaushalte immer langsamer. Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT B1 CAS (GG) Ministerium für Schule und Bildung NRW Seite 4 von 6 Teilaufgabe c) (1) ka ' (15 ) = f ' (15 ) = 50,32e 2,55 ist unabhängig von a. (2) Notwendige Bedingung: ka ' ( t E ) = 0 1 ⇔ t E = 15 + . a Hinreichende Bedingung: ka ' ( t E ) = 0 ∧ ka '' ( t E ) = −50,32 ⋅ a ⋅ e 1,55 < 0 [wegen a > 0]. 1 50,32 1,55 2,55 ka (15 + ) = 296 ⋅ e + ⋅e . a a  1 50,32 1,55  2,55 ⋅e . Das lokale Maximum liegt bei H a  15 + 296 ⋅ e + a a   (3) Alle Hochpunkte der Funktionenschar ka liegen auf dem Graphen der [streng monoton steigenden] linearen Funktion g. Die Grenzen des gesuchten Wertebereichs können durch 1 1   g  15 +  = 5000 und g  15 +  = 6000 bestimmt werden. a a   1  Der TR liefert für g  15 +  = 5000 eine Lösung a1 mit a1 ≈ 0,196 und a  1  für g  15 +  = 6000 eine Lösung a2 mit a2 ≈ 0,107 . a  Es folgt a2 ≤ a ≤ a1 . Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Bildung NRW M LK HT B1 CAS (GG) Seite 5 von 6 7. Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) gibt den Parameter a an und bestimmt b auf drei Nach- kommastellen genau. 4 2 (2) bestimmt die sinnvoll gerundete Anzahl der Glasfaser- haushalte. 2 3 (2) ermittelt die prozentuale Abweichung. 2 4 (3) bestimmt den Zeitpunkt mit der höchsten Wachstums- geschwindigkeit und die Wachstumsgeschwindigkeit. 4 5 (3) gibt die Einheit an. 1 EK 2 ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (13) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 13 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) gibt den Wert begründet an. 3 2 (2) bestimmt die Anzahl der Glasfaserhaushalte, die im angegebenen Zeitraum hinzukommen. 4 3 (3) gibt einen Ansatz für den gesuchten Funktionsterm an. 4 4 (4) interpretiert die Aussage im Sachzusammenhang. 4 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (15) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 2 15 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

Ministerium für Schule und Bildung NRW M LK HT B1 CAS (GG) Seite 6 von 6 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) weist nach, dass f ' (15 ) = ka ' (15 ) unabhängig von a ist. 3 2 (2) weist nach, dass die Funktion ka ein lokales Maximum Ha in Abhängigkeit von a besitzt und gibt dieses an. 5 3 (3) bestimmt den gesuchten Wertebereich für den Para- meter a. 4 EK ZK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (12) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 12 Summe insgesamt 40 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer weiteren Aufgabe aus dem Prüfungsteil B. Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch! DK

M LK HT B2 CAS (GG) Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2019 Mathematik, Leistungskurs Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabenstellung: Für jede reelle Zahl k ≥ 0 ist durch die Gleichung fk ( x ) = x − 3 ⋅ k ⋅ x, x ∈ IR , 3 2 eine Funktion fk gegeben. a) (1) Die in der nebenstehenden Ab- bildung 1 dargestellten Graphen I, II und III gehören jeweils zu einem der Werte k = 0 , I k = 0,75 und k = 1 . Entscheiden Sie, welcher Wert II zu welchem Graphen gehört. (2) Ermitteln Sie rechnerisch in Ab- hängigkeit von k ≥ 0 die lokalen x III Extrempunkte des Graphen von fk und die Art der Extrempunkte (falls vorhanden). (3) Ermitteln Sie die Wendestelle von fk und bestimmen Sie denjenigen Wert von k, für den die Steigung Abbildung 1 der Tangente an den Graphen von fk im Wendepunkt − 3 beträgt. (3 + 8 + 6 Punkte) Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!