M GK HT B3 GTR (GG) Seite 2 von 2 Name: _______________________ d) Stellen Sie die Raumdiagonale AG in Parameterform dar. Berechnen Sie den Schnittpunkt U von AG und der Ebene Q. (7 Punkte) e) Zeigen Sie, dass das Viereck IJKL ein Trapez ist, in dem zwei Seiten gleich lang sind. Weisen Sie nach, dass die Seite I L des Trapezes doppelt so lang ist wie die Seite JK . (6 Punkte) f) Berechnen Sie die Größe eines Innenwinkels des Trapezes IJKL. (4 Punkte) g) Der Punkt P(4 | 0 | 2) liegt auf der Strecke I L .   Zeigen Sie, dass JP auf I L senkrecht steht. (3 Punkte) h) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes IJKL. (5 Punkte)  −1   −5       i) Gegeben ist die Ebene S: x = v ⋅  −5  + w ⋅  5  mit v , w ∈ IR . 5  1      Der Punkt K liegt in einer Ebene T, die parallel zu S ist. Untersuchen Sie, ob auch der Punkt L in T liegt. (5 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Bildung NRW M GK HT B3 GTR (GG) Seite 1 von 9 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2019 Mathematik, Grundkurs Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln 1. Aufgabenart / Inhaltsbereich Innermathematische Argumentationsaufgabe / Vektorielle Geometrie 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2019 Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu den Kompetenzerwartungen und Inhaltsfeldern des Kernlehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgenden wird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen. 1. Inhaltsfelder und inhaltliche Schwerpunkte Analytische Geometrie und Lineare Algebra • Lineare Gleichungssysteme • Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte • Lagebeziehungen • Skalarprodukt 2. Medien/Materialien • entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Bildung NRW M GK HT B3 GTR (GG) Seite 2 von 9 6. Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Prüflinge muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Teilaufgabe a) Es gilt D (0 | 5 | 0) und F (5 | 0 | 5) . Teilaufgabe b) Teilaufgabe c)  −3   −4  5   −3   −4               Mit IJ =  5  und I L =  0  ist Q : x =  0  + k ⋅  5  + l ⋅  0  mit k , l ∈ IR eine 1   −1  4   −1   4            Parametergleichung der Ebene. Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Bildung NRW M GK HT B3 GTR (GG) Seite 3 von 9 Teilaufgabe d) 1     , t ∈ [0;5] , ist eine Parameterform der Raumdiagonalen AG . x = t ⋅ 1  1    −t − 5 ⋅ k − 6 ⋅ l = 2  1   −2   −5   −6          Aus t ⋅  1  =  5  + k ⋅  5  + l ⋅  5  ergibt sich das Gleichungssystem −t + 5 ⋅ k + 5 ⋅ l = −5 . 1   4  1  2  −t + k + 2 ⋅ l = −4         15 5 9 t = , k = und l = − lösen das Gleichungssystem. 7 7 7  15 15 15  15 Mit t = ∈ [0;5] ergibt sich U  | |  . 7 7 7 7  Teilaufgabe e)  −2      Aus JK =  0  = 0,5 ⋅ IL folgt, dass die Seiten IL und JK parallel zueinander sind und 2    damit ist das Viereck IJKL ein Trapez.  −3  1         2 2 2 Es gilt IJ =  5  = 3 + 5 + 1 =  −5  = KL und damit sind zwei Seiten des Trapezes  −1  3      gleich lang.  −2      Aus JK =  0  = 0,5 ⋅ IL folgt auch, dass die Seite IL doppelt so lang ist wie die Seite JK . 2    Teilaufgabe f) Für den Innenwinkel α mit dem Scheitelpunkt I gilt:  −3   −4      5 ⋅ 0      −1   4  12 − 4 8     ° cos α = = = ≈ 0,239 . Daraus folgt α ≈ 76 .  −3   −4  35 ⋅ 32 1120     5 ⋅ 0      −1   4      Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Bildung NRW M GK HT B3 GTR (GG) Seite 4 von 9 Teilaufgabe g)  −4   2          Aus IL ⋅ JP =  0  ⋅  −5  = −8 + 8 = 0 folgt, dass IL auf JP senkrecht steht.  4  2      Teilaufgabe h) Aus g) folgt, dass der Abstand der Punkte J und P die Höhe h des Trapezes angibt, d. h.  h = JP = 4 + 25 + 4 = 33 [LE]. Damit gilt für den Flächeninhalt:   0,5 ⋅ ( IL + JK ) ⋅ 33 = 0,5 ⋅ 3 ⋅ 8 ⋅ 33 = 3 ⋅ 66 [FE]. [Auch ein trigonometrischer Ansatz über den Innenwinkel aus f) ist vorstellbar.] Teilaufgabe i) 0  −1   −5         T: x =  5  + i ⋅  −5  + j ⋅  5  mit i , j ∈ IR ist eine Parameterdarstellung von T. 2 5  1        −i − 5 ⋅ j = 1 1   0   −1   −5          Aus  0  =  5  + i ⋅  −5  + j ⋅  5  ergibt sich das Gleichungssystem −5i + 5 j = −5 . 5  2  5  1  5i + j = 3         2 1 i = und j = − lösen das Gleichungssystem. Daraus folgt, dass L in T liegt. 3 3 Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Bildung NRW M GK HT B3 GTR (GG) Seite 5 von 9 7. Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling 1 gibt die Koordinaten der Eckpunkte D und F an. maximal erreichbare Punktzahl EK 2 ZK DK 2 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (2) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 2 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling 1 zeichnet das Viereck IJKL in die Abbildung ein. maximal erreichbare Punktzahl EK ZK DK 4 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 4 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling 1 stellt eine Parametergleichung der Ebene Q auf. maximal erreichbare Punktzahl 4 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 2 4 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

Ministerium für Schule und Bildung NRW M GK HT B3 GTR (GG) Seite 6 von 9 Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 stellt die Raumdiagonale AG in Parameterform dar. 3 2 berechnet den Schnittpunkt U von AG und der Ebene Q. 4 EK ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (7) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe d) 7 Teilaufgabe e) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 zeigt, dass das Viereck IJKL ein Trapez ist, in dem zwei Seiten gleich lang sind. 4 2 weist nach, dass die Seite IL des Trapezes doppelt so lang ist wie die Seite JK . 2 EK ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (6) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe e) 6 Teilaufgabe f) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling 1 berechnet die Größe eines Innenwinkels des Trapezes IJKL. maximal erreichbare Punktzahl 4 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe f) 4 Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

Ministerium für Schule und Bildung NRW M GK HT B3 GTR (GG) Seite 7 von 9 Teilaufgabe g) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling 1   zeigt, dass JP auf IL senkrecht steht. maximal erreichbare Punktzahl EK ZK DK 3 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (3) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe g) 3 Teilaufgabe h) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling 1 berechnet den Flächeninhalt des Trapezes IJKL. maximal erreichbare Punktzahl EK ZK DK 5 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (5) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe h) 5 Teilaufgabe i) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling 1 untersucht, ob L in T liegt. maximal erreichbare Punktzahl 5 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (5) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe i) 5 Summe insgesamt 40 Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

Ministerium für Schule und Bildung NRW M GK HT B3 GTR (GG) Seite 8 von 9 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus Prüfungsteil A 24 Übertrag der Punktsumme aus Prüfungsteil B: erste Aufgabe 40 Übertrag der Punktsumme aus Prüfungsteil B: zweite Aufgabe 40 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 104 EK ZK DK aus der Punktsumme resultierende Note gemäß nachfolgender Tabelle Note ggf. unter Absenkung um bis zu zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe Berechnung der Endnote nach Anlage 4 der Abiturverfügung auf der Grundlage von § 34 APO-GOSt Die Klausur wird abschließend mit der Note ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum: Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT B3 GTR (GG) Ministerium für Schule und Bildung NRW Seite 9 von 9 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus 15 104 – 99 sehr gut 14 98 – 94 sehr gut minus 13 93 – 89 gut plus 12 88 – 84 gut 11 83 – 78 gut minus 10 77 – 73 befriedigend plus 9 72 – 68 befriedigend 8 67 – 63 befriedigend minus 7 62 – 58 ausreichend plus 6 57 – 52 ausreichend 5 51 – 47 ausreichend minus 4 46 – 42 mangelhaft plus 3 41 – 35 mangelhaft 2 34 – 29 mangelhaft minus 1 28 – 21 ungenügend 0 20 – 0 Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!