Ministerium für Schule und Bildung NRW M LK HT B2 GTR (GG) Seite 1 von 7 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2019 Mathematik, Leistungskurs Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln 1. Aufgabenart / Inhaltsbereich Innermathematische Argumentationsaufgabe / Analysis 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2019 Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu den Kompetenzerwartungen und Inhaltsfeldern des Kernlehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgenden wird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen. 1. Inhaltsfelder und inhaltliche Schwerpunkte Funktionen und Analysis • Funktionen als mathematische Modelle • Fortführung der Differentialrechnung – Behandlung von ganzrationalen Funktionen, natürlicher Exponential- und Loga- rithmusfunktion und deren Verknüpfungen bzw. Verkettungen mit Untersuchung von Eigenschaften in Abhängigkeit von Parametern – notwendige Ableitungsregeln (Produkt-, Kettenregel) • Grundverständnis des Integralbegriffs • Integralrechnung 2. Medien/Materialien • entfällt 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Bildung NRW M LK HT B2 GTR (GG) Seite 2 von 7 5. Zugelassene Hilfsmittel • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 6. Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Prüflinge muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Teilaufgabe a) (1) k = 0 → III ; k = 0,75 → II ; k = 1 → I . (2) fk ' ( x ) = 3 ⋅ x − 3⋅ k , fk '' ( x ) = 6⋅ x . 2 2 Aus der notwendigen Bedingung fk ' ( x ) = 0 für lokale Extremstellen ergeben sich aus 2 2 2 2 3 ⋅ x − 3⋅ k = 0 ⇔ x = k die beiden Lösungen x = − k und x = k . Wegen fk '' ( − k ) = − 6 ⋅ k und fk '' ( k ) = 6 ⋅ k gilt mit fk ( − k ) = ( − k ) − 3 ⋅ k ⋅ ( − k ) = 2 ⋅ k 3 2 und fk ( k ) = k − 3 ⋅ k ⋅ k = − 2 ⋅ k : 3 2 3 Für k > 0 ist H k ( − k | 2 ⋅ k 3 ) ein lokaler Hochpunkt und T ( k | − 2 ⋅ k ) eine lokaler 3 k Tiefpunkt des Graphen von fk . Für k = 0 gilt f0 ( x ) = x . Diese Funktion besitzt keine lokalen Extremstellen. 3 Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch! 3

M LK HT B2 GTR (GG) Ministerium für Schule und Bildung NRW Seite 3 von 7 Teilaufgabe b) (1) f1 ( x ) = x − 3 ⋅ x . 3 GTR f1 ( x ) = 0 [⇔ x − 3 ⋅ x = 0] ⇔ x = − 3 ∨ x = 0 ∨ x = 3 . 3 1 4 3 2 Eine Stammfunktion von f1 ist die Funktion F1 mit F1 ( x ) = ⋅ x − ⋅ x . 4 2 0  ( − 3 f1 ( x ) dx =  F1 ( x )  − ) 9 = F1 ( 0 ) − F1 − 3 = = 2,25 . 4 0 3 Der Inhalt der Fläche, die für x ≤ 0 vom Graphen von f1 und der x-Achse eingeschlossen wird, beträgt 2,25 FE. 0 (2) I a = f x − a ⋅ x d x ( ) ( )  1 − a+3 0 = x (  3 − a+3 0 = x (  − a+3 3 − 3 ⋅ x − a ⋅ x ) dx − ( 3 + a ) ⋅ x ) dx 0 1 4 3 + a 2 =  ⋅x − ⋅x  2 4 − 1 = − ⋅ − a + 3 4 ( 1 (3) −  ⋅ − a + 3 4 ( ) 4 ) 4 a+3 2 3+a − ⋅ − a+3 . 2  ( ) GTR 2 3+a − ⋅ − a + 3  = 2,25 : 2  a ≈ − 0,88 . 2  ( ) 3⋅ 2 [genauer Wert: a = − 3 ]. 2 Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT B2 GTR (GG) Ministerium für Schule und Bildung NRW Seite 4 von 7 Teilaufgabe c) (1) t1 : y = − 2,25 ⋅ x + 0,25 . I II x III (2) Differenzfunktion: 2 3 2 3 ( ) dk x = t k ( x ) − fk ( x ) = ( 0,75 − 3 ⋅ k ) ⋅ x + 0,25 − ( x − 3 ⋅ k ⋅ x ) = − x + 0,75 ⋅ x + 0,25 . Damit hängt dk nicht vom Parameter k ab. Stellen, an denen die Tangente t k und der Graph von fk gemeinsame Punkte besitzen: GTR dk ( x ) = 0 [⇔ − x + 0,75 ⋅ x + 0,25 = 0] ⇔ x = − 0,5 ∨ x = 1 . 3 1 27 ( ) d x x = ≈ d 0, 42 . k  64 − 0,5 GTR Der Inhalt der Fläche, die von der Tangente t k und dem Graphen von fk eingeschlossen 27 wird, beträgt FE. 64 Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT B2 GTR (GG) Ministerium für Schule und Bildung NRW Seite 5 von 7 (3) Für die Steigung mr ; k einer Geraden durch die Punkte Ar ;k und Br ; k gilt: mr ; k fk ( 2 ⋅ r ) − fk ( − r ) = 3⋅r = (2 ⋅ r ) 3 ( − 3⋅k ⋅2⋅r − (−r) − 3 ⋅k ⋅(−r) 2 3 2 3⋅r 3 2 3 2 3 ) 2 8 ⋅r − 6 ⋅k ⋅r + r − 3⋅k ⋅r = 3⋅r 9⋅r − 9⋅k ⋅r 2 2 = = 3⋅r − 3⋅k . 3⋅r ( ) Für die Steigung des Graphen von fk im Punkt Ar ; k − r fk ( − r ) gilt: fk ' ( − r ) = 3 ⋅ ( − r ) − 3 ⋅ k = 3 ⋅ r − 3 ⋅ k . 2 2 2 2 Da die Steigung mr ; k der Geraden durch die Punkte Ar ;k und Br ; k mit der Steigung des ( ) Graphen von fk im Punkt Ar ; k − r fk ( − r ) übereinstimmt, und da der Punkt Ar ;k ein gemeinsamer Punkt des Graphen von fk und der Geraden durch Ar ;k und Br ; k ist, handelt es sich bei dieser Geraden um eine Tangente an den Graphen von fk im Punkt Ar ;k . Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT B2 GTR (GG) Ministerium für Schule und Bildung NRW Seite 6 von 7 7. Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität 2 maximal EK ZK erreichbare Der Prüfling DK Punktzahl 1 2 (1) entscheidet, welcher Wert zu welchem Graphen gehört. (2) ermittelt mit einer notwendigen Bedingung die mög- lichen lokalen Extremstellen von fk . 3 4 3 (2) ermittelt mit einer hinreichenden Bedingung rechnerisch in Abhängigkeit von k > 0 die lokalen Extrempunkte des Graphen von fk und die Art der Extrempunkte. 5 (2) gibt begründet an, dass der Graph von fk für k = 0 keine lokalen Extremstellen besitzt. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (13) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 1 4 Summe Teilaufgabe a) 13 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität maximal EK ZK erreichbare Der Prüfling Punktzahl 1 (1) bestimmt rechnerisch die erforderlichen Nullstellen der Funktion f1 . 2 2 (1) bestimmt rechnerisch den Inhalt A der Fläche, die für x ≤ 0 vom Graphen von f1 und der x-Achse eingeschlossen wird. 5 3 (2) weist nach, dass für den Inhalt I a der Fläche F gilt: 4 4 2 3+a 1 Ia = −  ⋅ − a + 3 − ⋅ − a+3 . 2 4  4 (3) bestimmt den Wert von a, für den die zugehörige Gerade ga die Fläche halbiert, die für x ≤ 0 vom Graphen von f1 und der x-Achse eingeschlossen wird, auf zwei Nachkommastellen genau. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (14) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) ( 2 ) ( ) 3 14 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch! DK

M LK HT B2 GTR (GG) Ministerium für Schule und Bildung NRW Seite 7 von 7 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Der Prüfling 1 (1) zeichnet die Tangente t1 in die Abbildung 2 ein. 2 2 (2) weist nach, dass die Differenzfunktion dk nicht vom Parameter k abhängt. 2 3 (2) bestimmt die Stellen, an denen der Graph von fk und die Tangente t k gemeinsame Punkte besitzen. 2 4 (2) bestimmt den Inhalt der Fläche, die von der Tangente t k und dem Graphen von fk eingeschlossen wird. 2 5 (3) zeigt: Für jede reelle Zahl r > 0 ist die Gerade durch 5 ( ) ( ) EK ZK die Punkte Ar ; k − r fk ( − r ) und Br ; k 2 ⋅ r fk ( 2 ⋅ r ) eine Tangente an den Graphen von fk an der Stelle x = − r . Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (13) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 13 Summe insgesamt 40 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer weiteren Aufgabe aus dem Prüfungsteil B. Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch! DK

M LK HT B3 GTR (GG) Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2019 Mathematik, Leistungskurs Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabenstellung: Die Abbildung zeigt den Würfel ABCDEFGH mit A(0 | 0 | 0) und G(5| 5| 5) in einem kartesi- schen Koordinatensystem. Die Ebene T schnei- det die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten I (5 | 0 |1) , J(2| 5 | 0) , K (0 | 5 | 2) und L(1| 0 | 5) . Abbildung a) Zeichnen Sie das Viereck IJKL in die Abbildung ein. (4 Punkte) b) Zeigen Sie, dass das Viereck IJKL ein Trapez ist, in dem zwei Seiten gleich lang sind. (4 Punkte) Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT B3 GTR (GG) Seite 2 von 3 Name: _______________________ c) Der Punkt Q (2| 0 | 4) liegt auf der Strecke I L . 2     Zeigen Sie, dass KQ =  −5  auf I L senkrecht steht. 2   Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Trapezes IJKL. [Zur Kontrolle: Der Flächeninhalt beträgt 3 ⋅ 66 FE ≈ 24,37 FE .] (7 Punkte) d) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene T in Koordinatenform. [Zur Kontrolle: T: 5 x1 + 4 x2 + 5 x3 = 30 .] (5 Punkte) Der Abstand d eines Punktes P( z1 | z2 | z3 ) von der Ebene T ist gegeben durch d(T, P) = 5 ⋅ z1 + 4 ⋅ z2 + 5 ⋅ z3 − 30 66 . [Nachweis nicht erforderlich!] e) Bestimmen Sie das Volumen einer Pyramide mit der Grundfläche IJKL und der Spitze F. (4 Punkte) f) Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche IJKL liegt auf der Strecke FG . Untersuchen Sie, ob die Höhe dieser Pyramide 18 66 betragen kann. (5 Punkte) Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT B3 GTR (GG) Seite 3 von 3 Name: _______________________ Spiegelt man T an der Ebene mit der Gleichung x1 = 2,5 , so erhält man die Ebene T ' mit der Gleichung T ' : −5 ⋅ x1 + 4 ⋅ x2 + 5 x3 − 5 = 0 . g) Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem sich T und T ' schneiden. (3 Punkte)   0   2,5       Betrachtet wird die Schar der Geraden ga : x =  0  + r ⋅  −10a  mit a > 0 und r ∈ IR .  3,5  2      a  h) Begründen Sie, dass keine Gerade der Schar in der Ebene mit der Gleichung x3 = 3,5 liegt. (2 Punkte) i) Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Geraden g, die zur Schar ga gehört und in der Ebene T liegt. Zeigen Sie, dass die Gerade g auch in T ' liegt. (6 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!