Ministerium für Schule und Bildung NRW M LK HT B4 GTR (GG) Seite 6 von 7 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) begründet, dass am Ende des Spiels genau vier Vor- wärtsschritte mehr als Rückwärtsschritte aufgetreten sind. 3 2 (2) bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass Katja am Ende eines Spiels höchstens 10 Gummibärchen erhalten hat. 5 EK ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (8) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 8 Summe insgesamt 40 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus Prüfungsteil A 24 Übertrag der Punktsumme aus Prüfungsteil B: erste Aufgabe 40 Übertrag der Punktsumme aus Prüfungsteil B: zweite Aufgabe 40 Übertrag der Punktsumme aus Prüfungsteil B: dritte Aufgabe 40 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 144 EK ZK DK aus der Punktsumme resultierende Note gemäß nachfolgender Tabelle Note ggf. unter Absenkung um bis zu zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe Berechnung der Endnote nach Anlage 4 der Abiturverfügung auf der Grundlage von § 34 APO-GOSt Die Klausur wird abschließend mit der Note ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum: Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT B4 GTR (GG) Ministerium für Schule und Bildung NRW Seite 7 von 7 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus 15 144 – 137 sehr gut 14 136 – 130 sehr gut minus 13 129 – 123 gut plus 12 122 – 116 gut 11 115 – 108 gut minus 10 107 – 101 befriedigend plus 9 100 – 94 befriedigend 8 93 – 87 befriedigend minus 7 86 – 80 ausreichend plus 6 79 – 72 ausreichend 5 71 – 65 ausreichend minus 4 64 – 58 mangelhaft plus 3 57 – 48 mangelhaft 2 47 – 39 mangelhaft minus 1 38 – 29 ungenügend 0 28 – 0 Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT B5 GTR (GG) Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2019 Mathematik, Leistungskurs Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabenstellung: Für ein Schwimmbad besitzen 2000 Personen eine Jahreskarte. Für einen bestimmten Tag beschreibt die Zufallsgröße X die Anzahl der Jahreskartenbesitzer, die das Schwimmbad besuchen. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass X binomialverteilt ist. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Jahreskartenbesitzer an diesem Tag das Schwimmbad besucht, 10 %. a) (1) Es gilt P( X = 210) ≈ 2,2 % . Interpretieren Sie diese Aussage im Sachzusammenhang. (2) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 210 Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad besuchen. (3) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von X höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht. (4) Bestimmen Sie die größte natürliche Zahl k, für die die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als k Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad besuchen, kleiner als 10 % ist. (5) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zu- fallsexperiment, das durch das abgebildete Baumdiagramm dargestellt wird. Geben Sie ein Ereignis an, dessen Wahrschein- lichkeit 1 − (r + s) beträgt. Abbildung 1 (2 + 3 + 6 + 4 + 4 Punkte) Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT B5 GTR (GG) Seite 2 von 3 Name: _______________________ b) Auf dem Gelände des Schwimmbades wird ein Kiosk betrieben. Der Besitzer nimmt vereinfachend an, dass jeder Gast 4 €, 12 € oder gar kein Geld an seinem Kiosk ausgibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast 4 € ausgibt, betrage 50 %, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast 12 € ausgibt, betrage 30 %. (1) An dem betrachteten Tag besuchen 660 Personen das Bad. Bestimmen Sie die Höhe der Einnahmen, mit denen der Besitzer des Kiosks rechnen kann. (2) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Besitzer des Kiosks an dem betrachteten Tag erwartete Einnahmen von den Jahreskartenbesitzern hat, die min- destens 1000 € betragen. (3 + 4 Punkte) c) An einem bestimmten Tag ist das Schwimmbad zwischen 07:00 Uhr und 21:00 Uhr geöffnet. Es soll davon ausgegangen werden, dass der Zeitpunkt, zu dem ein zufällig ausgewählter Badegast das Schwimmbad betritt, mithilfe einer normalverteilten Zufalls- größe mit dem Erwartungswert 14,5 und der Standardabweichung 2 beschrieben werden kann. Die zugehörige Dichtefunktion ist in der Abbildung 2 dargestellt; dabei ist t die seit 00:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden. Abbildung 2 (1) Geben Sie den Zeitraum mit einer Länge von einer Stunde an, für den mit der größten Anzahl eintreffender Badegäste zu rechnen ist. (2) Ermitteln Sie grafisch, ob die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Badegast das Schwimmbad zwischen 12:00 Uhr und 16:00 Uhr betritt, größer als 50 % ist. Erläutern Sie Ihr Vorgehen. Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT B5 GTR (GG) Seite 3 von 3 Name: _______________________ (3) Am betrachteten Tag wird das Schwimmbad von 2500 Badegästen besucht. Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt mit dem Eintreffen des eintausendfünfhundertsten Badegasts zu rechnen ist. (4) Beurteilen Sie mithilfe einer Rechnung die folgende Argumentation: „Das Schwimmbad ist nur zwischen 07:00 Uhr und 21:00 Uhr geöffnet. Deshalb ist es nicht sinnvoll, das Eintreffen der Badegäste mithilfe einer normalverteilten Zufalls- größe zu beschreiben, die für alle reellen Zahlen definiert ist.“ (2 + 4 + 4 + 4 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Bildung NRW M LK HT B5 GTR (GG) Seite 1 von 6 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2019 Mathematik, Leistungskurs Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln 1. Aufgabenart / Inhaltsbereich Aufgabe mit realitätsnahem Kontext / Stochastik 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2019 Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu den Kompetenzerwartungen und Inhaltsfeldern des Kernlehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgenden wird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen. 1. Inhaltsfelder und inhaltliche Schwerpunkte Stochastik • Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen • Binomialverteilung und Normalverteilung • Testen von Hypothesen 2. Medien/Materialien • entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Bildung NRW M LK HT B5 GTR (GG) Seite 2 von 6 6. Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Prüflinge muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Teilaufgabe a) (1) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an dem bestimmten Tag genau 210 Jahreskarten- besitzer das Schwimmbad besuchen, beträgt etwa 2,2 %. (2) P2000; 0,1 ( X > 210) ≈ 21,6 % . (3) E( X ) = 0,1 ⋅ 2000 = 200 , σ ( X ) = 2000 ⋅ 0,1 ⋅ 0,9 = 180 ≈ 13, 4 . P2000; 0,1 (200 − 6 ≤ X ≤ 200 + 6) ≈ 37,2 % . (4) P2000; 0,1 ( X < 183) ≈ 0,09, P2000; 0,1 ( X < 184) ≈ 0,11. Also ist k = 183. (5) Zufallsexperiment: Zwei Jahreskartenbesitzer unter den 2000 werden zufällig ausgewählt, und es wird geschaut, ob sie an dem betrachteten Tag das Schwimmbad besuchen. Ereignis: „An dem betrachteten Tag wird das Schwimmbad entweder von beiden oder von keinem von beiden besucht.“ [Nicht erwartet: p ist nahezu konstant, da die Anzahl der Personen (2000) sehr groß ist im Vergleich zu den beiden ausgewählten.] [Auch Lösungen in neuen Kontexten sind zulässig.] Teilaufgabe b) (1) Der Besitzer des Kiosks kann mit Einnahmen in einer Höhe von 0,5 ⋅ 660 ⋅ 4 € + 0,3 ⋅ 660 ⋅ 12 € = 3696 € rechnen. (2) Sei n die Anzahl der benötigten Jahreskartenbesitzer: 1000 1000 = ≈ 178,6 . Aus 0,5 ⋅ n ⋅ 4 + 0,3 ⋅ n ⋅12 = 1000 folgt n ≈ 0,5 ⋅ 4 + 0,3 ⋅ 12 5,6 Der TR liefert P2000; 0,1 ( X ≥ 179) ≈ 0,947 . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt daher ca. 95 %. Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Bildung NRW M LK HT B5 GTR (GG) Seite 3 von 6 Teilaufgabe c) (1) Zeitraum: 14:00 Uhr bis 15:00 Uhr (2) Der Inhalt der grau markierten Fläche entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Badegast das Schwimmbad zwischen 12:00 Uhr und 16:00 Uhr betritt. Es handelt sich um deutlich mehr als 12 Kästchen. Die nicht grau markierte Fläche hat dagegen nur eine Größe von ca. 7 – 8 Kästchen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt damit mehr als 50 %. [Alternativ: Die Wahrscheinlichkeit ist größer als 12 ⋅ 1 ⋅ 0,05 = 0,6 > 0,5 = 50 %. ] (3) 1500 Badegäste machen 60 % der Gesamtzahl an Badegästen für diesen Tag aus. Gesucht ist die Uhrzeit, bis zu der 60 % der Gesamtzahl an Badegästen das Bad betreten haben. Bezogen auf einen einzelnen Badegast ist zu berechnen, bis zu welcher Uhrzeit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % das Bad betreten hat. Y bezeichne die in der Aufgabe genutzte normalverteilte Zufallsgröße. Sei f (k ) := P(7 ≤ Y ≤ k ) . Die Gleichung f (k ) = 0,6 kann als Schnittpunktbestimmung im Graphikbereich des TR gelöst werden. Man erhält k ≈ 15 , d. h. mit dem Eintreffen des eintausendfünfhundertsten Besuchers ist etwa um 15:00 Uhr zu rechnen. (4) Die Argumentation wird der Modellierung und der Sachsituation nicht gerecht. Begründung: Der TR liefert: 1 − P(7 ≤ Y ≤ 21) ≈ 1 − 0,999334 = 0,000666 . Dem Betreten des Bades außerhalb der Öffnungszeiten wird durch die Zufallsgröße also eine vernachlässigbar kleine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Bildung NRW M LK HT B5 GTR (GG) Seite 4 von 6 7. Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) interpretiert die Aussage im Sachzusammenhang. 2 2 (2) bestimmt die gesuchte Wahrscheinlichkeit. 3 3 (3) bestimmt den Erwartungswert und die Standardab- weichung. 3 4 (3) bestimmt die gesuchte Wahrscheinlichkeit. 3 5 (4) bestimmt die gesuchte natürliche Zahl k. 4 6 (5) beschreibt ein Zufallsexperiment im Sachzusammen- hang. 2 7 (5) gibt ein Ereignis an. 2 EK 2 ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (19) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 19 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt die Höhe der Einnahmen, mit denen der Kioskbesitzer rechnen kann. 3 2 (2) ermittelt die benötigte Anzahl an Personen. 2 3 (2) ermittelt die gesuchte Wahrscheinlichkeit. 2 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (7) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 2 7 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

Ministerium für Schule und Bildung NRW M LK HT B5 GTR (GG) Seite 5 von 6 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) gibt den gesuchten Zeitraum an. 2 2 (2) ermittelt grafisch, ob die betrachtete Wahrscheinlichkeit größer als 50 % ist. 2 3 (2) erläutert sein Vorgehen. 2 4 (3) ermittelt den gesuchten Zeitpunkt. 4 5 (4) beurteilt mithilfe einer Rechnung die Argumentation. 4 EK ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (14) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 14 Summe insgesamt 40 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus Prüfungsteil A 24 Übertrag der Punktsumme aus Prüfungsteil B: erste Aufgabe 40 Übertrag der Punktsumme aus Prüfungsteil B: zweite Aufgabe 40 Übertrag der Punktsumme aus Prüfungsteil B: dritte Aufgabe 40 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 144 EK ZK DK aus der Punktsumme resultierende Note gemäß nachfolgender Tabelle Note ggf. unter Absenkung um bis zu zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe Berechnung der Endnote nach Anlage 4 der Abiturverfügung auf der Grundlage von § 34 APO-GOSt Die Klausur wird abschließend mit der Note ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum: Abiturprüfung 2019 – Nur für den Dienstgebrauch!