sh-m2012
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Mathe-Abiturprüfung (BG)“
Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung
Schleswig-Holstein 2012
Kernfach Mathematik
Tabelle zur Normalverteilung, Werte der Gaußschen Integralfunktion Φ
z Φ(−z) Φ(z) z Φ(−z) Φ(z) z Φ(−z) Φ(z)
0,01 0,4960 0,5040 0,51 0,3050 0,6950 1,01 0,1562 0,8438
0,02 0,4920 0,5080 0,52 0,3015 0,6985 1,02 0,1539 0,8461
0,03 0,4880 0,5120 0,53 0,2981 0,7019 1,03 0,1515 0,8485
0,04 0,4840 0,5160 0,54 0,2946 0,7054 1,04 0,1492 0,8508
0,05 0,4801 0,5199 0,55 0,2912 0,7088 1,05 0,1469 0,8531
0,06 0,4761 0,5239 0,56 0,2877 0,7123 1,06 0,1446 0,8554
0,07 0,4721 0,5279 0,57 0,2843 0,7157 1,07 0,1423 0,8577
0,08 0,4681 0,5319 0,58 0,2810 0,7190 1,08 0,1401 0,8599
0,09 0,4641 0,5359 0,59 0,2776 0,7224 1,09 0,1379 0,8621
0,10 0,4602 0,5398 0,60 0,2743 0,7257 1,10 0,1357 0,8643
0,11 0,4562 0,5438 0,61 0,2709 0,7291 1,11 0,1335 0,8665
0,12 0,4522 0,5478 0,62 0,2676 0,7324 1,12 0,1314 0,8686
0,13 0,4483 0,5517 0,63 0,2643 0,7357 1,13 0,1292 0,8708
0,14 0,4443 0,5557 0,64 0,2611 0,7389 1,14 0,1271 0,8729
0,15 0,4404 0,5596 0,65 0,2578 0,7422 1,15 0,1251 0,8749
0,16 0,4364 0,5636 0,66 0,2546 0,7454 1,16 0,1230 0,8770
0,17 0,4325 0,5675 0,67 0,2514 0,7486 1,17 0,1210 0,8790
0,18 0,4286 0,5714 0,68 0,2483 0,7517 1,18 0,1190 0,8810
0,19 0,4247 0,5753 0,69 0,2451 0,7549 1,19 0,1170 0,8830
0,20 0,4207 0,5793 0,70 0,2420 0,7580 1,20 0,1151 0,8849
0,21 0,4168 0,5832 0,71 0,2389 0,7611 1,21 0,1131 0,8869
0,22 0,4129 0,5871 0,72 0,2358 0,7642 1,22 0,1112 0,8888
0,23 0,4090 0,5910 0,73 0,2327 0,7673 1,23 0,1093 0,8907
0,24 0,4052 0,5948 0,74 0,2296 0,7704 1,24 0,1075 0,8925
0,25 0,4013 0,5987 0,75 0,2266 0,7734 1,25 0,1056 0,8944
0,26 0,3974 0,6026 0,76 0,2236 0,7764 1,26 0,1038 0,8962
0,27 0,3936 0,6064 0,77 0,2206 0,7794 1,27 0,1020 0,8980
0,28 0,3897 0,6103 0,78 0,2177 0,7823 1,28 0,1003 0,8997
0,29 0,3859 0,6141 0,79 0,2148 0,7852 1,29 0,0985 0,9015
0,30 0,3821 0,6179 0,80 0,2119 0,7881 1,30 0,0968 0,9032
0,31 0,3783 0,6217 0,81 0,2090 0,7910 1,31 0,0951 0,9049
0,32 0,3745 0,6255 0,82 0,2061 0,7939 1,32 0,0934 0,9066
0,33 0,3707 0,6293 0,83 0,2033 0,7967 1,33 0,0918 0,9082
0,34 0,3669 0,6331 0,84 0,2005 0,7995 1,34 0,0901 0,9099
0,35 0,3632 0,6368 0,85 0,1977 0,8023 1,35 0,0885 0,9115
0,36 0,3594 0,6406 0,86 0,1949 0,8051 1,36 0,0869 0,9131
0,37 0,3557 0,6443 0,87 0,1922 0,8078 1,37 0,0853 0,9147
0,38 0,3520 0,6480 0,88 0,1894 0,8106 1,38 0,0838 0,9162
0,39 0,3483 0,6517 0,89 0,1867 0,8133 1,39 0,0823 0,9177
0,40 0,3446 0,6554 0,90 0,1841 0,8159 1,40 0,0808 0,9192
0,41 0,3409 0,6591 0,91 0,1814 0,8186 1,41 0,0793 0,9207
0,42 0,3372 0,6628 0,92 0,1788 0,8212 1,42 0,0778 0,9222
0,43 0,3336 0,6664 0,93 0,1762 0,8238 1,43 0,0764 0,9236
0,44 0,3300 0,6700 0,94 0,1736 0,8264 1,44 0,0749 0,9251
0,45 0,3264 0,6736 0,95 0,1711 0,8289 1,45 0,0735 0,9265
0,46 0,3228 0,6772 0,96 0,1685 0,8315 1,46 0,0721 0,9279
0,47 0,3192 0,6808 0,97 0,1660 0,8340 1,47 0,0708 0,9292
0,48 0,3156 0,6844 0,98 0,1635 0,8365 1,48 0,0694 0,9306
0,49 0,3121 0,6879 0,99 0,1611 0,8389 1,49 0,0681 0,9319
0,50 0,3085 0,6915 1,00 0,1587 0,8413 1,50 0,0668 0,9332
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Tabelle zur Normalverteilung, Werte der Gaußschen Integralfunktion Φ
z Φ(−z) Φ(z) z Φ(−z) Φ(z) z Φ(−z) Φ(z)
1,51 0,0655 0,9345 2,01 0,0222 0,9778 2,51 0,0060 0,9940
1,52 0,0643 0,9357 2,02 0,0217 0,9783 2,52 0,0059 0,9941
1,53 0,0630 0,9370 2,03 0,0212 0,9788 2,53 0,0057 0,9943
1,54 0,0618 0,9382 2,04 0,0207 0,9793 2,54 0,0055 0,9945
1,55 0,0606 0,9394 2,05 0,0202 0,9798 2,55 0,0054 0,9946
1,56 0,0594 0,9406 2,06 0,0197 0,9803 2,56 0,0052 0,9948
1,57 0,0582 0,9418 2,07 0,0192 0,9808 2,57 0,0051 0,9949
1,58 0,0571 0,9429 2,08 0,0188 0,9812 2,58 0,0049 0,9951
1,59 0,0559 0,9441 2,09 0,0183 0,9817 2,59 0,0048 0,9952
1,60 0,0548 0,9452 2,10 0,0179 0,9821 2,60 0,0047 0,9953
1,61 0,0537 0,9463 2,11 0,0174 0,9826 2,61 0,0045 0,9955
1,62 0,0526 0,9474 2,12 0,0170 0,9830 2,62 0,0044 0,9956
1,63 0,0516 0,9484 2,13 0,0166 0,9834 2,63 0,0043 0,9957
1,64 0,0505 0,9495 2,14 0,0162 0,9838 2,64 0,0041 0,9959
1,65 0,0495 0,9505 2,15 0,0158 0,9842 2,65 0,0040 0,9960
1,66 0,0485 0,9515 2,16 0,0154 0,9846 2,66 0,0039 0,9961
1,67 0,0475 0,9525 2,17 0,0150 0,9850 2,67 0,0038 0,9962
1,68 0,0465 0,9535 2,18 0,0146 0,9854 2,68 0,0037 0,9963
1,69 0,0455 0,9545 2,19 0,0143 0,9857 2,69 0,0036 0,9964
1,70 0,0446 0,9554 2,20 0,0139 0,9861 2,70 0,0035 0,9965
1,71 0,0436 0,9564 2,21 0,0136 0,9864 2,71 0,0034 0,9966
1,72 0,0427 0,9573 2,22 0,0132 0,9868 2,72 0,0033 0,9967
1,73 0,0418 0,9582 2,23 0,0129 0,9871 2,73 0,0032 0,9968
1,74 0,0409 0,9591 2,24 0,0125 0,9875 2,74 0,0031 0,9969
1,75 0,0401 0,9599 2,25 0,0122 0,9878 2,75 0,0030 0,9970
1,76 0,0392 0,9608 2,26 0,0119 0,9881 2,76 0,0029 0,9971
1,77 0,0384 0,9616 2,27 0,0116 0,9884 2,77 0,0028 0,9972
1,78 0,0375 0,9625 2,28 0,0113 0,9887 2,78 0,0027 0,9973
1,79 0,0367 0,9633 2,29 0,0110 0,9890 2,79 0,0026 0,9974
1,80 0,0359 0,9641 2,30 0,0107 0,9893 2,80 0,0026 0,9974
1,81 0,0351 0,9649 2,31 0,0104 0,9896 2,81 0,0025 0,9975
1,82 0,0344 0,9656 2,32 0,0102 0,9898 2,82 0,0024 0,9976
1,83 0,0336 0,9664 2,33 0,0099 0,9901 2,83 0,0023 0,9977
1,84 0,0329 0,9671 2,34 0,0096 0,9904 2,84 0,0023 0,9977
1,85 0,0322 0,9678 2,35 0,0094 0,9906 2,85 0,0022 0,9978
1,86 0,0314 0,9686 2,36 0,0091 0,9909 2,86 0,0021 0,9979
1,87 0,0307 0,9693 2,37 0,0089 0,9911 2,87 0,0021 0,9979
1,88 0,0301 0,9699 2,38 0,0087 0,9913 2,88 0,0020 0,9980
1,89 0,0294 0,9706 2,39 0,0084 0,9916 2,89 0,0019 0,9981
1,90 0,0287 0,9713 2,40 0,0082 0,9918 2,90 0,0019 0,9981
1,91 0,0281 0,9719 2,41 0,0080 0,9920 2,91 0,0018 0,9982
1,92 0,0274 0,9726 2,42 0,0078 0,9922 2,92 0,0018 0,9982
1,93 0,0268 0,9732 2,43 0,0075 0,9925 2,93 0,0017 0,9983
1,94 0,0262 0,9738 2,44 0,0073 0,9927 2,94 0,0016 0,9984
1,95 0,0256 0,9744 2,45 0,0071 0,9929 2,95 0,0016 0,9984
1,96 0,0250 0,9750 2,46 0,0069 0,9931 2,96 0,0015 0,9985
1,97 0,0244 0,9756 2,47 0,0068 0,9932 2,97 0,0015 0,9985
1,98 0,0239 0,9761 2,48 0,0066 0,9934 2,98 0,0014 0,9986
1,99 0,0233 0,9767 2,49 0,0064 0,9936 2,99 0,0014 0,9986
2,00 0,0228 0,9772 2,50 0,0062 0,9938 3,00 0,0013 0,9987
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Erwartete Schülerleistung Zuordnung
I II III
Teilaufgabe a)
Um in den Behälter A zu fallen, muss die Kugel viermal nach links abgelenkt
werden. 1
4
Es ist pA = 12 = 16 1
. 1
Um in den Behälter B zu fallen, muss die Kugel genau einmal nach rechts
und dreimal nach links abgelenkt werden. Dies ist auf vier verschiedene
Arten möglich. 1
3
Es ist pB = 4 · 21 · 12 = 41 . 1
1
Nun ist pA = 32 . Ist pL die Wahrscheinlichkeit, mit der der defekte Stift
nach links ablenkt, so gilt
3
1 1 1
pA = = · pL ⇔ pL = .
32 2 4
Die Ablenkwahrscheinlichkeit nach links ist 25 %. 2
pC sei die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel in Auffangbehälter C fällt,
EC der Erwartungswert der Anzahl der in diesen Behälter fallenden Kugeln
bei 256 Einwürfen.
4 1 1 3 3 9
EC = pC · 256 = · · · · · 256 = 6 · · 256 = 54 3
2 4 4 4 4 256
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Teilaufgabe b)
Die Zufallsvariable X beschreibt die Höhe des Gewinns des Spielers bei
einem Spiel.
Behälter A B C D E
Gewinn 2 e 0,2 e -1 e 0,2 e 2 e
1 1 3 1 1
Wahrscheinlichkeit 16 4 8 4 16
2
Berechnung des Erwartungswertes:
1 1 3 1 1 1
E(X) = · 2 + · 0,2 + · (−1) + · 0,2 + · 2 = − = −0,025
16 4 8 4 16 40
Es ergibt sich ein mittlerer Verlust von 2,5 ct pro Spiel. 2
Alternativ könnte man natürlich auch statt mit den Gewinnen gleich mit
den Auszahlungsbeträgen rechnen.
Sei G der bei den Ergebnissen Kugel fällt in Behälter A“ oder Kugel fällt
” ”
in Behälter E“ erzielte Gewinn. Dann gilt für ein faires Spiel
1 1 3 1 1
· G + · 0,2 − · 1 + · 0,2 + ·G=0 ⇒ G = 2,20. 2
16 4 8 4 16
Weil der Einsatz von 1 e berücksichtigt werden muss, müssen die Auszah-
lungsbeträge für die Behälter A und E nun jeweils 3,20 e betragen. 1
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I II III
Teilaufgabe c)
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Kugeln im Behälter C bei
einem Einwurf von 50 Kugeln. X ist binomialverteilt mit n = 50 und p = 38 . 1
P (X = 16) + P (X = 17)
16 34 17 33
50 3 5 50 3 5
= · · + · ·
16 8 8 17 8 8
≈ 0,0864 + 0,1037 = 0,1901 = 19,01 % 2
Wegen σ 2 = n · p · (1 − p) = 50 · 0,375 · 0,625 ≈ 11,72 > 9 ist die Laplace-
Bedingung erfüllt und die Normalverteilung kann als Näherung verwendet
werden. 1
P (16 ≤ X ≤ 17) = P (X ≤ 17) − P (X ≤ 15)
17 + 0,5 − 50 · 0,375 15 + 0,5 − 50 · 0,375
≈ Φ √ −Φ √
11,72 11,72
≈ Φ(−0,37) − Φ(−0,95) ≈ 0,3557 − 0,1711 = 0,1846 = 18,46 % 2
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Kugeln im Behälter A bei
einem Einwurf von n Kugeln. Es soll P (X = 0) < 0,07 gelten. 1
P (X = 0) < 0,07
0 n
n 1 15
· · < 0,07
0 16 16
n
15
< 0,07
16
15
n · ln( ) < ln(0,07)
16
ln(0,07)
n > ≈ 41,2 3
ln( 15
16
)
Es müssen also mindestens 42 Kugeln eingeworfen werden. 1
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Erwartete Schülerleistung Zuordnung
I II III
Teilaufgabe d)
Bei einem Galton-Brett mit n Stiftreihen und einer Ablenkwahrscheinlichkeit
pL nach links gilt für pA und pB
pA = pnL
pB = n · pn−1
L · (1 − pL ).
Wegen pB = 3 · n · pA gilt für pL > 0
n · pn−1
L · (1 − pL ) = 3 · n · pnL
pn−1
L − pnL = 3 · pnL
pn−1
L = 4 · pnL
1 = 4 · pL
1
pL = .
4
1
Daher ist die Ablenkwahrscheinlichkeit pL = . 3
4
Punktsummen 12 15 3
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