Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung
Schleswig-Holstein 2011

Kernfach Mathematik

Tabelle zur Normalverteilung, Werte der Gaußschen Integralfunktion ®

gen = 2) | ©@) a

 

 

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Erwartete Schülerleistung Zuordnung

 

 

Teilaufgabe a)

Bei der Auswahl der 20 Personen liegt ein „Ziehen ohne Zurücklegen“ vor,
daher verändert sich bei jedem Zug die Wahrscheinlichkeit, einen „Treffer“

zu erzielen. Es liegt hier also eine hypergeometrische Verteilung vor. 1

Wenn die Grundgesamtheit aber groß ist, so ändert sich die „ Trefferwahr-
scheinlichkeit“ kaum, so dass die Binomialverteilung eine sehr gute Nähe-
rung ist. Da hier von einem bevölkerungsreichen Land gesprochen wurde,
kann von einer großen Grundgesamtheit ausgegangen werden. 1

X beschreibt die Anzahl der Internetnutzer, die das Internet hauptsächlich
für Reiseinformationen und zu Urlaubsbuchungen nutzen. Mit n = 20, p =
0,23 folgt

20

Pa) = PX =1)=(°

) . 0,23! .0,7719 = 0,032 = 3,2%. 2

X beschreibt nun die Anzahl der Internetnutzer, die das Internet
hauptsächlich zur persönlichen Weiterbildung nutzen. Mit n = 10, p = 0,29

folgt
P(B)=P(X >22) = 1-P(X=0)-P(X=])

L= (%) 0,29 :0,71° - es . 0,29! . 0,71?

0 1
0,834 = 83,4%. 3

Q

X beschreibt nun die Anzahl der Internet-Nutzer. Mit n = 400, p = 0,6 ist
u = n-p = 400-0,6 = 240. Wegen 0? = n-p-q = 400-0,6-0,4 = 96 > 9 ist
die Laplace-Bedingung für die Näherung durch die Normalverteilung erfüllt.

-

P(250 < X < 260)

P(X < 260) — P(X < 249)
R (® +05 - 2) (® +52 2)

v6 96
&(2,09) — ®(0,97)

0,9817 — 0,8340 = 0,1477 = 14,77% 3

Q

Q

 

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Teilaufgabe b)

X beschreibt die Anzahl der Internetnutzer, die ihren Internet-Zugang
hauptsächlich zum Einkaufen nutzen. Sei n die Mindestanzahl der zu be-
fragenden Internetnutzer. X ist binomialverteilt mit den Parametern n und
p= 0,33.

P(X >1) > 0,99
1-P(X=0) > 0,99
0,01 > P(X=0)

0
0,67” < 0,01
n:1n(0,67) < 1n(0,01)

n > 115

0,01 > 6) . 0,330 . 0,67"

Also müssen mindestens 12 Internetnutzer befragt werden.

Die Zufallsgröße Y beschreibe die Anzahl der Internetnutzer unter den 5
auszuwählenden Hausbewohnern. Da es sich um eine Realisierung des Mo-
dells „Ziehen ohne Zurücklegen“ handelt, ist Y hypergeometrisch verteilt
mit den Parametern N =25,n=5 und M=10.

P(Y >3) P(Y=4)+P(Y =5)
10\ (15 10\ /15
6), 6
a tr
6)
0,0593 + 0,0047
0,0640 = 6,4%

 

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Teilaufgabe c)
Die erwartete Anzahl der am ersten Tag zu erwartenden Verkäufe beträgt
np = 1500 - 0,09 = 135.

X beschreibt die Anzahl der Käufer eines Laptops. X ist binomialverteilt
mit n = 1500, p = 0,09. k ist die Anzahl der bereitzustellenden Laptops.
Es soll gelten P(X < k) > 0,98.

Wegen 0? =n-p-q = 1500 - 0,09 - 0,91 = 122,85 > 9 ist die Laplace-
Bedingung für die Näherung durch die Normalverteilung erfüllt.

o[k+05-135\ , ho
122,85
k+0,5-135

122,85

also k > 134,5 + 2,06 - 122,85 = 157,33. Es müssen also mindestens 158
Laptops bereit gestellt werden.

2,06,

Teilaufgabe d)
Es ist p der Prozentsatz der anzuschreibenden Bevölkerung. A steht für
Angeschriebene, N für nicht Angeschriebene und Z für Kunde bei Z-Tel.
Baumdiagramm:

Der Anteil p der Menschen in der Bevölkerung, die Kunde von Z-Tel werden,
soll 4,5 % betragen, also muss p-0,2+ (1— p) - 0,03 = 0,045 gelten. Damit
ist p - 0,17 = 0,015, also p = 0,088.

Es müssen also ca. 8,8% der Bevölkerung angeschrieben werden.

 

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