CAS-LA16-M-GK-B1-LOES-WTR-GTR-CAS

Abitur-Prüfung in Hessen aus 2016 in Mathematik

Nicht für den Prüfling bestimmt Hessisches Kultusministerium Landesabitur 2016
Mathematik Lösungs- und Bewertungshinweise
Grundkurs (WTR / GTR / CAS) Vorschlag B1
Seite 1 von 4 I. Erläuterungen
Voraussetzungen gemäß Lehrplan und Erlass Hinweise zur Vorbereitung auf die schriftlichen
Abiturprüfungen im Landesabitur 2016 vom 20. Juni 2014

Q2 Lineare Algebra / Analytische Geometrie
Flächenberechnungen, Schnittpunkt von Geraden, Ebenen in Parameter- und Koordinatenform,
Abstand Punkt - Ebene, Orthogonalität, Winkel zwischen Ebenen

II. Lösungshinweise und Bewertungsraster
In den nachfolgenden Lösungshinweisen sind alle wesentlichen Gesichtspunkte, die bei der Bearbei-
tung der einzelnen Aufgaben zu berücksichtigen sind, konkret genannt und diejenigen Lösungswege
aufgezeigt, welche die Prüflinge erfahrungsgemäß einschlagen werden. Selbstverständlich sind jedoch
Lösungswege, die von den vorgegebenen abweichen, aber als gleichwertig betrachtet werden können,
ebenso zu akzeptieren.
Bei den Ergebnissen numerischer Rechnungen ist zu berücksichtigen, dass die angegebenen
Ergebnisse gerundete Werte darstellen. Geringe Abweichungen von den in den Lösungshinweisen
angegebenen Werten sind daher zu akzeptieren. Zwischen- und Endergebnisse sind sinnvoll gerundet
angegeben. Für weitere Rechnungen mit diesen Zwischenergebnissen werden soweit möglich nicht
die gerundeten, sondern die im Taschenrechner gespeicherten Werte verwendet.

BE Aufg. erwartete Leistungen
I II IIIΣ
1.1 Da AD BC  
, liegt der Punkt A auf derselben Höhe wie der Punkt D(0|4|3).
Folglich muss die z-Koordinate von A gleich 3 sein. Da A in der x-z- und D
in der y-z-Ebene liegt, müssen aus Symmetriegründen die x- und y-Werte
der Punkte vertauscht sein. Somit ergibt sich der Punkt A zu A(4|0|3).
Alternative : Da  
AD BC und − 
 =   3BC 3
0, kann die Gerade g durch D und
A wie folgt aufgestellt werden: −    
   = +⋅         0 3g:x 4 r 3
3 0. A ist der Schnittpunkt
von g und der x-z-Ebene: +⋅=⇔=−44 3 r 0 r3; durch Einsetzen in g
ergibt sich A(4|0|3).

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Mathematik Lösungs- und Bewertungshinweise 
Grundkurs (WTR / GTR / CAS) Vorschlag B1 
Seite 2 von 4 BE Aufg. erwartete Leistungen 
I II IIIΣ 
1.2 
Die mögliche Parametergleichung 10 4 0
E : x 0 r 1 s 4
5 2,5 2     
     = +⋅+⋅          − −       führt 
mit dem Ansatz 4 0
n 1 0 und n 4 0
2,5 2   
   ⋅=⋅=      − −     z. B. zum Normalenvektor 
1
n 1
2 
 =   ; mit n OE 10⋅=  ergibt sich die Koordinatengleichung 
E1: x + y + 2z = 10.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
1.3 Der Neigungswinkel entspricht dem Winkel zwischen den 
Normalenvektoren der x-y-Ebene und der Dachebene. Mit 
xy 1
xy 1n n
cos( )
n n⋅
α=
⋅ 
   und xy0
n 0
1 
 =    sowie 11
n 1
2 
 =    folgt 
2arccos 35,26
6 α=≈°   . Folglich ist die geforderte Bedingung erfüllt.  
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
3   
 
 
 
 
 
 
3 
2 Der gesuchte Abstand ist gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes der 
Dachfläche ABCDE zur Ebene E 2, weil 1 2E E. 
Aufstellen der Lotgeraden h (senkrecht zu E 2) z. B. durch E(0|0|5) und 
Bestimmung des Ortsvektors des Lotfußpunkts L: 
0 1
h : x 0 r 1
5 2   
   = +⋅         .  
Durch Einsetzen in E 2: x + y + 2z = 10,2 erhält man 1r30=und somit 
1
300 1
1 1OL 0 130 305 276
15 
 
     
     = +⋅=                
. 
Der Abstand des Dreieckssegels von der Dachfläche ergibt sich aus dem 
Betrag des Vektors 1
30
1LE30
1
15 − 
 
 =− 
 
 −   
. Dieser beträgt 6m 0,08230≈m ≈ 8 cm.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1  
 
 
 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1 Aufstellen der Geraden durch die Streben AD  und EM : 
AD0 4
g : x 4 r 4
3 0−    
   = +⋅          bzw. EM0 2,5
g : x 0 s 2,5
5 2,5   
   = +⋅      −    . Punktprobe für 
Z(2|2|3) liefert 1r2=− und 4s5=. Folglich ist Z der Schnittpunkt der 
beiden Streben. 
 
Zeichnung: 
  
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1  
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2 1. Die Vektoren EM
und AD
werden angegeben; diese Vektoren weisen
in die Richtungen der beiden Streben.
2. Das Skalarprodukt aus den Vektoren ergibt null, folglich stehen die
beiden Streben senkrecht aufeinander.
3. Der Vektor ZE 
wird bestimmt.
4. Der Flächeninhalt des dreieckigen Dachteils ADE wird berechnet mit
AD als Grundseite und ZE als Höhe. Der Inhalt beträgt ca. 9,8 m².

Bestimmung des Inhalts der restlichen Dachfläche: Es liegt ein Trapez mit
den beiden parallelen Seiten BC und AD sowie der Höhe h = ZM vor.
Mit BC 
=3
3 18
0− 
 =    und AD
=4
4 32
0− 
 =    sowie
ZM
=0,5
0,5 0,75
0,5 
 =  −  folgt:
ATrapez = 18 320,75 4,292+⋅ ≈m²
Der insgesamt benötigte Materialverbrauch beträgt ca.
2 2 29,8 m 4,29 m 14,09 m .+ =

8
Summe 9 15 6 30

III. Bewertung und Beurteilung
Die Bewertung und Beurteilung erfolgt gemäß den Bestimmungen in der OAVO in der jeweils gelten-
den Fassung, insbesondere §33 OAVO in Verbindung mit den Anlagen 9a und ggf. 9b bis 9f, sowie in
den Einheitlichen Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung (EPA). Für die Umrechnung von Pro-
zentanteilen der erbrachten Leistungen in Notenpunkte nach §9 Abs. 12 der OAVO gelten die Werte
in der Anlage 9a der OAVO. Darüber hinaus sind die Vorgaben des Erlasses Hinweise zur Vorberei-
tung auf die schriftlichen Abiturprüfungen im Landesabitur 2016 vom 20. Juni 2014 zu beachten.

Im Fach Mathematik besteht die Prüfungsleistung aus der Bearbeitung je eines Vorschlags aus den
Aufgabengruppen A und B sowie des Pflichtvorschlags C, wofür insgesamt maximal 100 BE vergeben
werden können. Ein Prüfungsergebnis von 5 Punkten (ausreichend) setzt voraus, dass insgesamt
46% der zu vergebenden BE erreicht werden. Ein Prüfungsergebnis von 11 Punkten (gut) setzt
voraus, dass insgesamt 76% der zu vergebenden BE erreicht werden.