WTR-LA16-M-LK-C-AUFG-WTR-GTR-CAS
Abitur-Prüfung in Hessen aus 2016 in Mathematik
Hessisches Kultusministerium Landesabitur 2016 Mathematik Thema und Aufgabenstellung Leistungskurs (WTR / GTR / CAS) Vorschlag C Seite 1 von 5 Hinweise für den Prüfling Auswahlzeit: 45 Minuten Bearbeitungszeit (insgesamt): 240 Minuten Auswahlverfahren Wählen Sie aus den Aufgabengruppen A und B jeweils einen Vorschlag zur Bearbeitung aus. Der vorliegende Aufgabenvorschlag C ist ein Pflichtvorschlag. Die nicht ausgewählten Vorschläge müssen am Ende der Auswahlzeit der Aufsicht führenden Lehrkraft zurückgegeben werden. Erlaubte Hilfsmittel 1. ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung 2. ein wissenschaftlich-technischer Taschenrechner (WTR) ohne Grafik, ohne CAS oder ein grafikfähiger Taschenrechner (GTR) ohne CAS oder ein computeralgebrafähiger Taschencomputer / Computeralgebrasystem auf einem PC (CAS) 3. eine gedruckte Formelsammlung der Schulbuchverlage 4. die beigefügten Tabellen zur Stochastik 5. eine Liste der fachspezifischen Operatoren Sonstige Hinweise Die Tabelle zur Binomialsummenfunktion für n = 100 (Seite 5) kann verwendet werden. In jedem Fall vom Prüfling auszufüllen Name: Vorname: Prüferin/Prüfer: Datum:
Hessisches Kultusministerium Landesabitur 2016 Mathematik Thema und Aufgabenstellung Leistungskurs (WTR / GTR / CAS) Vorschlag C Seite 2 von 5 Stochastik Aufgaben In der sogenannten PINTA-Studie zur Internetabhängigkeit aus dem Jahr 2011 wurden bundesweit 15023 Personen im Alter von 14 64 Jahren befragt, die als repräsentativ für die Gesamtbevölkerung in dieser Altersklasse angesehen werden können. In der folgenden Tabelle sind einige Ergebnisse der Studie dargestellt. 1 % aller Befragten wird demnach als internetabhängig eingestuft; bei 4,6 % aller Befragten und 17,2 % der weiblichen Befragten der Altersgruppe 14 16 Jahren wird die Internetnutzung als problematisch eingestuft. Die Internetnutzung einer Person kann nicht gleichzeitig als problematisch und als Internetabhängigkeit eingestuft werden. Internetabhängigkeit (in %) problematische Internetnutzung (in %) Altersgruppe gesamt weiblich männlich gesamt weiblich männlich 14 64 1,0 0,8 1,2 4,6 4,4 4,9 14 24 2,4 2,4 2,4 13,6 14,8 12,4 14 16 4,0 4,9 3,1 15,4 17,2 13,7 http://www.drogenbeauftragte.de/fileadmin/dateien-dba/Presse/Pressemitteilungen/Pressemitteilungen_2011/ Handout_PK_PINTAStudie.pdf (abgerufen am 24.6.2014). Im Folgenden werden die in der PINTA-Studie ermittelten relativen Häufigkeiten bundesweit für alle Personen im Alter von 14 64 Jahren als Wahrscheinlichkeiten angesehen. 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Eine zufällig ausgewählte männliche Person aus der Altersgruppe 14 24 wird als internetabhängig eingestuft. B: Unter 50 zufällig ausgewählten 14 16-jährigen Mädchen sind genau 10, deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird. C: Unter 100 zufällig ausgewählten 14 16-jährigen Mädchen sind mehr als 20, aber weniger als 30, deren Internetnutzung als problematisch oder gar als Internetabhängigkeit eingestuft wird. (7 BE) 2. Im Internet finden sich zahlreiche Online-Tests, bei denen ein ähnlicher Fragenkatalog wie bei der Durchführung der PINTA-Studie zum Einsatz kommt. Hier können sich die Nutzer selbst bezüglich Internetabhängigkeit testen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Online-Test einen tatsächlich internetabhängigen Nutzer auch als internetabhängig einstuft (Sensitivität), liegt bei 86 %. Für die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Online-Test einen nicht internetabhängigen Nutzer auch als nicht internetabhängig einstuft (Spezifität), wird ein Wert von 75 % angegeben. Eine zufällig ausgewählte Person aus der Altersgruppe 14 24 Jahre macht diesen Online-Test. 2.1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis R: Wenn der Test die Person als internetabhängig einstuft, ist die Person auch tatsächlich internetabhängig. (6 BE)
Hessisches Kultusministerium Landesabitur 2016 Mathematik Thema und Aufgabenstellung Leistungskurs (WTR / GTR / CAS) Vorschlag C Seite 3 von 5 2.2 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person aus der Altersgruppe 14 24 Jahre tatsächlich nicht internetabhängig ist, wenn der Test sie als nicht internetabhängig einstuft, beträgt ca. 99,5 %. Beurteilen Sie die Qualität des Online-Tests anhand dieser und der in Aufgabe 2.1 berechneten Wahrscheinlichkeit. (2 BE) 3. Aus dem Abschlussbericht zur PINTA-Studie geht hervor, dass von den 15023 befragten Personen 45,9 % das Internet weniger als eine Stunde täglich privat nutzen. Dieser Personenkreis wird im Folgenden als Wenignutzer bezeichnet. Ein Mathematik-Leistungskurs an einer sehr großen Schule hat die Vermutung, dass der Anteil der Wenignutzer unter den Schülerinnen und Schülern der Schule niedriger ist als der in der PINTA-Studie ermittelte Wert. Der bevorstehende Tag der offenen Tür soll dazu genutzt werden, die Vermutung mit Hilfe eines Hypothesentests zu überprüfen. Hierzu sollen 100 zufällig ausgewählte Schülerinnen und Schüler der Schule befragt werden. 3.1 Entwickeln Sie zu der oben genannten Vermutung einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von 2,5 % und geben Sie die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang an. (6 BE) 3.2 Beschreiben Sie die Fehler 1. und 2. Art im Sachzusammenhang und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn der Anteil der Wenignutzer unter den Schülerinnen und Schülern der Schule tatsächlich 40 % beträgt. (6 BE) 3.3 Die Graphen im Material zeigen für unterschiedliche Werte von n, wie sich bei einem gleich bleibenden Signifikanzniveau von 2,5 % die Fehlerwahrscheinlichkeit β für den Fehler 2. Art in Abhängigkeit vom tatsächlichen Anteil p der Wenignutzer verhält. Beurteilen Sie anhand geeigneter Beispielwerte, ob sich eine Erhöhung des Stichprobenumfangs n auf die Güte des Tests auswirkt. (3 BE)
Hessisches Kultusministerium Landesabitur 2016 Mathematik Thema und Aufgabenstellung Leistungskurs (WTR / GTR / CAS) Vorschlag C Seite 4 von 5 Material 00,10,20,30,40,50,60,70,80,91 0,2 0,3 0,4 0,5 β(p) p n = 1000n = 350n = 100 p
Hessisches Kultusministerium Landesabitur 2016 Mathematik Thema und Aufgabenstellung Leistungskurs (WTR / GTR / CAS) Vorschlag C Seite 5 von 5 Binomialsummenfunktion k i n i n;p i 0nF (k) p (1 p)i− = =⋅ ⋅− für n = 100 p= 0,211 0,221 0,311 0,400 0,421 0,459 0,480 k= 8 0,0004 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 9 0,0010 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 10 0,0027 0,0013 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 11 0,0063 0,0032 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 12 0,0135 0,0073 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 13 0,0265 0,0151 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 14 0,0480 0,0289 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 15 0,0811 0,0513 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 16 0,1281 0,0851 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 17 0,1902 0,1324 0,0010 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 18 0,2667 0,1943 0,0023 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 19 0,3551 0,2701 0,0047 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 20 0,4508 0,3572 0,0090 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 21 0,5483 0,4513 0,0166 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 22 0,6420 0,5472 0,0288 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 23 0,7269 0,6395 0,0475 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 24 0,7998 0,7234 0,0746 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 25 0,8590 0,7959 0,1118 0,0012 0,0003 0,0000 0,0000 26 0,9047 0,8551 0,1602 0,0024 0,0006 0,0000 0,0000 27 0,9382 0,9012 0,2200 0,0046 0,0013 0,0001 0,0000 28 0,9615 0,9353 0,2905 0,0084 0,0025 0,0002 0,0000 29 0,9770 0,9593 0,3695 0,0148 0,0047 0,0004 0,0001 30 0,9868 0,9754 0,4538 0,0248 0,0086 0,0008 0,0002 31 0,9928 0,9857 0,5398 0,0398 0,0149 0,0017 0,0004 32 0,9962 0,9921 0,6235 0,0615 0,0247 0,0032 0,0009 33 0,9981 0,9958 0,7013 0,0913 0,0395 0,0060 0,0017 34 0,9991 0,9978 0,7705 0,1303 0,0607 0,0105 0,0032 35 0,9996 0,9989 0,8295 0,1795 0,0898 0,0178 0,0059 36 0,9998 0,9995 0,8775 0,2386 0,1280 0,0289 0,0103 37 0,9999 0,9998 0,9150 0,3068 0,1760 0,0452 0,0173 38 1,0000 0,9999 0,9430 0,3822 0,2338 0,0681 0,0281 39 1,0000 1,0000 0,9632 0,4621 0,3007 0,0991 0,0439 40 1,0000 1,0000 0,9770 0,5433 0,3749 0,1391 0,0662 41 1,0000 1,0000 0,9862 0,6225 0,4538 0,1888 0,0963 42 1,0000 1,0000 0,9920 0,6967 0,5344 0,2481 0,1354 43 1,0000 1,0000 0,9955 0,7635 0,6134 0,3159 0,1840 44 1,0000 1,0000 0,9976 0,8211 0,6879 0,3904 0,2421 45 1,0000 1,0000 0,9987 0,8689 0,7553 0,4691 0,3089 46 1,0000 1,0000 0,9994 0,9070 0,8138 0,5490 0,3826 47 1,0000 1,0000 0,9997 0,9362 0,8628 0,6268 0,4607 48 1,0000 1,0000 0,9999 0,9577 0,9021 0,6997 0,5404 49 1,0000 1,0000 0,9999 0,9729 0,9324 0,7653 0,6184 50 1,0000 1,0000 1,0000 0,9832 0,9549 0,8221 0,6918 Die Werte 1,0000 und 0,0000 bedeuten: Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind auf vier Stellen gerundet 1,0000 bzw. 0,0000.
