Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 3 Seite 3 von 8 Teilaufgabe b) (1) Die Ebene E ist laut Aufgabenstellung senkrecht zur x1 - x2 -Ebene und enthält die Gerade AA  . Daher gilt:  2   2 0        E : x  0  r   2   s   0  , r , s  IR .     0 0 1         Aus 2  2r  x1 2r  x2  s  x3 2  x1  x2 2r  x2 ergibt sich als Koordinatengleichung von E: s  x3 x1  x2  2 . [Alternative: Die Gerade AA hat offensichtlich die Gleichung x1  x2  2 . Da E senk- recht zu dieser in der x1 - x2 -Ebene verlaufenden Geraden ist, hat E dieselbe Gleichung.] 1    (2) Es ist OD : x  r   1  , r  IR [s. o.]. Durch Einsetzen in die Koordinatengleichung von 0   1    1 1 E erhält man rS  rS  2  rS  2 und daraus x S  2   1  bzw. den gesuchten 0 2 2   1 1  2 | 0. 2| Schnittpunkt S  2 2  Teilaufgabe c) * (1) Die Ebene E ist laut Aufgabenstellung senkrecht zur x1 - x2 -Ebene und enthält die Gerade OD. Daher gilt: 1 0      * E : x  u   1   v   0  , u, v  IR . 0 1     Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 4 von 8 0 1 0       1   * (2) A liegt auf der Schnittgeraden h : x  xS  t   0   2  1   t   0  , t  IR , der Ebenen 1 2 0 1       * * E und E . Somit sind die erste und zweite Koordinate des Punktes A bekannt: 1 1 * * 2 | x3  . Für die dritte Koordinate von A gilt: 2| A  2 2  *  2 1  1     1 1 1 * *     x3  | A S |  | AS |  2 1  0  2 1   220 1.  0   0  2 0 2 2       Teilaufgabe d) (1) Für das in der x1 - x2 -Ebene liegende Viereck ABDS ist zu zeigen: | AS |  | AB |  | DS |  | DB | . Aus c) (2) ist bekannt: | AS |  1 [LE] . Da laut Aufgabenstellung auch | AB |  1 [LE] gilt, ergibt sich | AS |  | AB | .  2  1   | DB |  1   1   2  1 [LE] ,     0 0     2 1 1     1 1 1   | DS |  2 1   1  2 2  1  2 2  1  1  2  2  1 [LE] . 0 0 2 2 2       Somit gilt auch | DS |  | DB | . Das Viereck ABDS ist ein Drachenviereck. [Andere Lösungswege sind denkbar.] (2) Das Drachenviereck ABDS besteht aus den zwei kongruenten rechtwinkligen Drei- ecken ABD und ASD. 1 1 Sein Flächeninhalt beträgt daher 2  | AB |  | BD |  2   1  2 2 [Andere Lösungswege sind denkbar.] Nur für den Dienstgebrauch!   2  1  2  1 [FE] .

M GK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 5 von 8 7. Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) gibt die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke OD an. 3 2 (2) zeigt, dass die Gerade CM senkrecht zur Geraden OD ist. 5 3 (3) bestimmt den Abstand des Punktes C von der Geraden OD. 4 EK 2 ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (12) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 12 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) leitet je eine Gleichung der Ebene E in Parameterform und Koordinatenform her. 8 2 (2) bestimmt die Koordinaten des Schnittpunktes S der Ebene E mit der Geraden OD. 6 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (14) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 2 14 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 8 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Der Prüfling 1 2 * (1) leitet eine Gleichung der Ebene E in Parameterform her. * (2) ermittelt die Koordinaten des Punktes A . EK ZK DK 4 6 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (10) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 10 Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) begründet, dass das Viereck ABDS ein Drachenviereck ist. 8 2 (2) ermittelt den Flächeninhalt des Vierecks ABDS. 6 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (14) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe d) 14 Summe insgesamt 50 Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 8 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 100 EK ZK DK aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ___________ ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: _____________ Die Klausur wird abschließend mit der Note: ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 8 von 8 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus 15 100 – 95 sehr gut 14 94 – 90 sehr gut minus 13 89 – 85 gut plus 12 84 – 80 gut 11 79 – 75 gut minus 10 74 – 70 befriedigend plus 9 69 – 65 befriedigend 8 64 – 60 befriedigend minus 7 59 – 55 ausreichend plus 6 54 – 50 ausreichend 5 49 – 45 ausreichend minus 4 44 – 39 mangelhaft plus 3 38 – 33 mangelhaft 2 32 – 27 mangelhaft minus 1 26 – 20 ungenügend 0 19 – 0 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2014 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: Die Entwicklung der Population einer bestimmten Seevogelart in einem festgelegten Beob- achtungsgebiet wird durch folgende Modellannahmen beschrieben: Die Überlebensrate der Vögel in den ersten beiden Lebensjahren wird jeweils mit 0,6 ange- nommen, in den späteren Lebensjahren mit 0,8. Die erste Brut findet im 3. Lebensjahr statt, der Bruterfolg wird mit 0,5 Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr angenommen. Die Vögel werden in drei Altersgruppen eingeteilt, deren Anzahlen x1 : Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1) x2 : Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2) x3 : Anzahl der Altvögel, die älter als 2 Jahre sind (Altersgruppe 3) x1   1  durch jährliche Zählungen ermittelt und jeweils zu einer Verteilung x   x2  zusammen- x   3 0 0,5   0 gefasst werden. Die Matrix L   0,6 0 0  beschreibt dieses Modell.  0 0,6 0,8    a) Die aktuelle Zählung ergibt x1  2000 , x2  4000 und x3  15000 . (1) Berechnen Sie, ausgehend von diesen Zahlen, die Verteilung der Vögel nach einem Jahr und nach 2 Jahren. (2) Bestimmen Sie die Verteilung der Vögel, die sich aus dem Modell für das Vorjahr ergäbe. (3) Fünf Elemente der Matrix L haben den Wert Null. Erklären Sie für jedes dieser Elemente aus dem Sachzusammenhang heraus, warum es den Wert Null hat. (5 + 5 + 5 Punkte) 1 Verteilungsvektoren werden der Einfachheit halber im Folgenden kurz „Verteilung“ genannt. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 Seite 2 von 3 Name: _______________________ 0 b) (1) Untersuchen Sie, ob es eine von  0  verschiedene stationäre Verteilung gibt, d. h. 0   eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert. (2) Wenn sich die Population sehr lange nach dem durch die Matrix L beschriebenen Modell entwickelt, wird sie sich pro Jahr näherungsweise um einen festen Prozent- satz p verkleinern. Nach 20 Jahren wird sie noch aus insgesamt 17870 Vögeln, nach weiteren 10 Jahren aus 15422 Vögeln bestehen. Berechnen Sie anhand dieser Angaben einen Näherungswert für den Prozentsatz p. (3) Langfristig gilt p  1, 462 % . Ermitteln Sie näherungsweise, in wie viel Jahren sich unter dieser Voraussetzung die Population jeweils halbiert. Durch Schutzmaßnahmen wird – bei sonst gleichbleibenden Modellannahmen – der 5 Bruterfolg auf die Quote von Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr erhöht. 9 5 (4) Zeigen Sie, dass die Verteilung n   3  für jede positive ganze Zahl n eine stationäre 9   Verteilung ist. (5) Berechnen Sie für eine konkrete stationäre Verteilung aus (4) die prozentualen An- teile jeder der 3 Altersgruppen an der Gesamtzahl der Vögel und zeigen Sie, dass sich für jede stationäre Verteilung aus (4) unabhängig von n dieselben Anteile ergeben. (6 + 5 + 5 + 4 + 6 Punkte) c) Die Entwicklung einer Population einer anderen Vogelart ist durch den nebenstehenden Übergangsgraphen gegeben, wobei sich die Übergangsquoten wieder auf ein Jahr beziehen. (1) Geben Sie dazu eine Übergangsmatrix M an. 0,8 1 0,5 2 0,6 (2) Beschreiben Sie anhand des Übergangsgraphen, nach welchen Modellannahmen die Entwicklung der Population dieser anderen Vogelart im Vergleich zur bisher betrachteten Seevogelart abläuft. (4 + 5 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 Seite 3 von 3 Name: _______________________ Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 4 Seite 1 von 8 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2014 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Lineare Algebra/Analytische Geometrie Matrizenrechnung 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2014 1. Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Algebra/Analytische Geometrie  Lineare Gleichungssysteme für n > 2, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Matrizenrechnung  Übergangsmatrizen  Matrizenmultiplikation als Verkettung von Übergängen 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!