Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 4 Seite 1 von 8 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2014 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Lineare Algebra/Analytische Geometrie Matrizenrechnung 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2014 1. Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Algebra/Analytische Geometrie  Lineare Gleichungssysteme für n > 2, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Matrizenrechnung  Übergangsmatrizen  Matrizenmultiplikation als Verkettung von Übergängen 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 4 Seite 2 von 8 6. Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Teilaufgabe a) 0 0,5   2000   7500   0 (1)  0,6 0 0    4000    1200  ,  0 0,6 0,8   15000   14400        0 0,5   7500   7200   0  0,6 0 0    1200    4500  .  0 0,6 0,8   14400   12240        0,5w3 w1  6666 0 0,5   w1   2000   2000  0 0    w2    4000   0,6w1  4000  w2  19666 . (2)  0,6 0  0 0,6 0,8   w   15000  0,6w2  0,8w3  15000 w3  4000    3   2 3 2 3 Aus dem Modell ergäben sich für das Vorjahr 6667 Jungvögel, 19667 Vögel im zweiten Lebensjahr und 4000 Altvögel. [Sinnvoll gerundete Ergebnisse werden akzeptiert.] (3) l11  0 : Jungvögel wechseln nach einem Jahr in die nächste Altersgruppe und bekommen noch keinen Nachwuchs. l22  0 : Vögel im zweiten Lebensjahr wechseln nach einem Jahr in die nächste Altersgruppe. l12  0 : Vögel im zweiten Lebensjahr bekommen noch keinen Nachwuchs [und können nicht in die Altersgruppe 1 zurückwechseln]. l23  0 : Altvögel der Altersgruppe 3 können nicht in die Altersgruppe 2 zurückwechseln. l31  0 : Die Altersgruppe 2 kann nicht übersprungen werden. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 4 Seite 3 von 8 Teilaufgabe b) 0 0,5   s1   s1   0 (1) Aus  0,6 0 0    s2    s2  ergibt sich  0 0,6 0,8   s   s     3  3  s1  0,5s3  0  s1  0,5s3  0  s1  0,5s3  0 s1  0 0,6 s1  s2  0   s2  0,3s3  0   s2  0,3s3  0  s2  0 . 0,6 s2  0,2s3  0 s3  0 0,6 s2  0,2s3  0 0,02s3  0 0 Es gibt somit keine von  0  verschiedene stationäre Verteilung. 0   15422  1  0,98538  0,01462 (2) p  1  q  1  10 17870 Ein Näherungswert ist p  1, 462 % . (3) Sei k die Anzahl der Jahre, in denen sich die Population jeweils halbiert. Dann gilt: 1  p  k 1  ln 2 1   k  ln 1  p   ln    k  . 2 ln 1  p  2 Für p  1, 462 % ergibt sich k  47,1 . In ca. 47 Jahren halbiert sich die Population. 0 5 / 9  0 0  . Für jede positive ganze Zahl n gilt: (4) Die Übergangsmatrix lautet nun  0,6 0  0 0,6 0,8    0 5 / 9  5  0 0 5 / 95n 5n  0 5  0,6 0 0    n   3     0,6 0 0 3n  3n  n3 .  0 0,6 0,8    9    0 0,6 0,8   9  n   9  n  9             Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 4 Seite 4 von 8 5 (5) Wählt man z. B. n  1 , so erhält man die stationäre Verteilung  3  . 9   Die Anteile betragen 5 5 3 9 p1    29, 4 % , p2   17,6 % , p3   52,9 % . 5  3  9 17 17 17 Die Gesamtzahl der Vögel setzt sich aus ca. 29 % Jungvögeln, ca. 18 % Vögeln der Altersgruppe 2 und ca. 53 % Altvögeln zusammen.  5n  Die entsprechende Berechnung für  3n  , wobei n eine positive ganze Zahl ist, ergibt die  9n    5n 5 3n 3 9n 9 von n unabhängigen Anteile  ,  und  . 5n  3n  9n 17 5n  3n  9n 17 5n  3n  9n 17 Teilaufgabe c)  0 0,8  (1) M   .  0,5 0,6  (2) Bei dieser Vogelart werden nur zwei Altersgruppen unterschieden. Die erste Brut findet schon im 2. Lebensjahr statt. Die Überlebensrate beträgt im 1. Lebensjahr 0,5 und in den folgenden Lebensjahren jeweils 0,6. Auf einen Elternvogel kommen pro Jahr 0,8 Jungvögel. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 5 von 8 7. Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) berechnet die Verteilung nach einem Jahr und nach 2 Jahren. 5 2 (2) bestimmt die Verteilung des Vorjahres. 5 3 (3) erklärt für jedes der genannten 5 Elemente der Matrix L aus dem Sachzusammenhang heraus, warum es den Wert Null hat. 5 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (15) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 2 15 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK 2 ZK DK

M GK HT 4 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 8 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling 1 0 (1) untersucht, ob es eine von  0  verschiedene Vertei- 0   maximal erreichbare Punktzahl EK ZK DK 6 lung gibt, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert. 2 (2) berechnet einen Näherungswert für den Prozentsatz p. 5 3 (3) ermittelt näherungsweise, in wie viel Jahren sich die Population jeweils halbiert. 5 4 5 (4) zeigt, dass die Verteilung n   3  für jede positive 9   4 ganze Zahl n eine stationäre Verteilung ist. 5 (5) berechnet für eine konkrete stationäre Verteilung aus (4) die prozentualen Anteile jeder der 3 Altersgruppen an der Gesamtzahl der Vögel und zeigt, dass sich für jede stationäre Verteilung aus (4) unabhängig von n dieselben Anteile ergeben. 6 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (26) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 26 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) gibt eine Übergangsmatrix M an. 4 2 (2) beschreibt anhand des Übergangsgraphen, nach wel- chen Modellannahmen die Entwicklung der Population dieser anderen Vogelart im Vergleich zur bisher betrach- teten Seevogelart abläuft. 5 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (9) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 9 Summe insgesamt 50 Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 4 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 8 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 100 EK ZK DK aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ___________ ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: _____________ Die Klausur wird abschließend mit der Note: ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 8 von 8 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus 15 100 – 95 sehr gut 14 94 – 90 sehr gut minus 13 89 – 85 gut plus 12 84 – 80 gut 11 79 – 75 gut minus 10 74 – 70 befriedigend plus 9 69 – 65 befriedigend 8 64 – 60 befriedigend minus 7 59 – 55 ausreichend plus 6 54 – 50 ausreichend 5 49 – 45 ausreichend minus 4 44 – 39 mangelhaft plus 3 38 – 33 mangelhaft 2 32 – 27 mangelhaft minus 1 26 – 20 ungenügend 0 19 – 0 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 5 Seite 1 von 9 Name: _______________________ Abiturprüfung 2014 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: Das Produkt „Fußball-Bundesliga“ ist ein Erfolgsmodell. Die Zuschauerzahlen erreichten in der Saison 2011/12 einen Rekord von durchschnittlich mehr als 40 000 pro Spiel. Dabei ist das Publikum mittlerweile zu 25 % weiblich. Dieser Prozentsatz soll im Folgenden als Wahrscheinlichkeit verwendet werden. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 200 bei einem Bundesliga-Spiel 1 zufällig ausgewählten Zuschauern (1) genau 48 weibliche Zuschauer befinden, (2) mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer befinden, (3) eine Anzahl von weiblichen Zuschauern befindet, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht. (2 + 3 + 5 Punkte) b) Beschreiben Sie im vorliegenden Sachzusammenhang ein Ereignis E, dessen Wahr- scheinlichkeit mit dem Term 300 1000   1000  k k P( E)  1      0,25  0,75 k 0  k  berechnet werden kann. [Hinweis: Der Wert dieses Terms muss nicht berechnet werden.] (4 Punkte) 1 Der Begriff „Zuschauer“ soll stets männliche und weibliche Zuschauer umfassen. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 5 Seite 2 von 9 Name: _______________________ c) Bei einem Bundesliga-Spiel strömen 20 000 Zuschauer ins Stadion. An weibliche Zu- schauer soll ein Flyer verteilt werden, der auf ein spezielles Getränkeangebot hinweist. (1) Ermitteln Sie auf der Grundlage der 20 000 Zuschauer das zum Erwartungswert symmetrische Intervall kleinster Länge, in dem die Anzahl der weiblichen Zuschauer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 liegt. (2) Vor dem Spiel bildet sich an einem Kassenhäuschen eine Schlange von 50 Zuschauern. Nennen Sie eine Voraussetzung, unter der die Wahrscheinlichkeit P, dass sich in der Schlange 12 weibliche Zuschauer befinden, folgendermaßen berechnet werden kann:  50  12 38 P     0,25  0,75 .  12  Entscheiden Sie, ob diese Berechnung in der vorliegenden Situation zulässig ist. (6 + 5 Punkte) 2 d) Im Deutschen Fußballbund (DFB) sind 1 077 215 weibliche Mitglieder gemeldet , was einem Anteil von (ungefähr) 15,84 % entspricht. Von diesen gehören 31,78 % zur Alters- klasse „Mädchen“, der Rest zur Altersklasse „Frauen“. Bei den männlichen Mitgliedern unterscheidet man die Altersklassen „Junioren“ und „Senioren“. Insgesamt beträgt der Anteil der Jugendlichen („Mädchen“ und „Junioren“) im DFB 33,09 %. (1) Stellen Sie die gegebenen Daten in dem folgenden Baumdiagramm dar und notieren Sie alle fehlenden relativen Häufigkeiten. weiblich H1= Mädchen Junioren 2 Gehen Sie davon aus, dass es sich um aktuelle Daten handelt. Nur für den Dienstgebrauch! H2=