M LK HT 4 Seite 3 von 4 Name: _______________________ d) Während des Faltvorgangs kommt das beim Falten bewegte Papier-Viereck auch in die Position des Vierecks OABD , dessen Punkt A in der Ebene x2  1 liegt . (1) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes A . [Zur Kontrolle: A   2 1 |1 | 2 2 2 ] (2) Zeigen Sie, dass das Dreieck OCA gleichschenklig rechtwinklig ist. (7 + 6 Punkte) 1 O C 1 A S D B Abbildung 4 Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 4 Seite 4 von 4 Name: _______________________ Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 1 von 9 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2014 Mathematik, Leistungskurs 1. Aufgabenart Lineare Algebra/Analytische Geometrie Vektorielle Geometrie 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2014 1. Inhaltliche Schwerpunkte Vektorielle Geometrie  Lineare Gleichungssysteme für n > 2, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme  Lineare Abhängigkeit von Vektoren, Parameterformen von Geraden- und Ebenen- gleichungen  Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Orthogonalität, Winkel und Länge von Vektoren  Normalenformen von Ebenengleichungen  Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen  Abstandsprobleme 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 4 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 2 von 9 6. Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Elementargeometrische Lösungswege sind möglich. Dabei ist auf Vollständigkeit der Argumentation zu achten. Teilaufgabe a) Das Lot wird vom Punkt B auf die Gerade OD gefällt.  2 1 1          OD : x  r  1 , r  IR ; Lotgerade l : x  1  s   1  , s  IR .     0 0 0       1  2   1  1 2 r   s     r  Wegen r  1  1  s   1    0   0  0 2 r 1s       1 im Punkt P  2    1 2 1 | 2   2  1 trifft das Lot die Gerade OD   2 1 | 0.  Der gesuchte Abstand des Punktes B von der Geraden OD beträgt:  2  1  2  1  2  1    1  1 | BP |   2  1   1   2  1   2 2  0   0  2  0  2       1 1 2  0,2929 [LE]. 2  2 1  2 Nur für den Dienstgebrauch! 1  2 2  2 1 

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 3 von 9 Teilaufgabe b) (1) Die Ebene E ist senkrecht zur x1 - x2 -Ebene und enthält die Gerade AA . Daher gilt:  2   2 0        E : x  0  r   2   s   0  , r , s  IR .     0 0 1         1    Der Vektor n   1  ist offenbar orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren in der 0   Parametergleichung von E. Eine Normalengleichung der Ebene E ist daher gegeben 1  1  2        durch: E : 1  x  1  0  2 . 0  0   0        1   (2) Es ist OD : x  r   1  , r  IR [s. o.]. Durch Einsetzen z. B. in die gegebene Koordinaten- 0   1   1  1 2   1  bzw. 2 und daraus xS  gleichung von E erhält man rS  rS  2  rS  0 2 2   1 1  2| 2 | 0. den gesuchten Schnittpunkt S  2 2  Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 4 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 4 von 9 Teilaufgabe c) 1   (1) OD : x  r   1  , r  IR ; Ek : x1  x2  k  x3  0, k  IR . 0   Einsetzen in die Gleichung von Ek ergibt: r  r  k  0  0 . Da dies eine für alle r  IR und alle k  IR wahre Aussage ist, liegt die Gerade OD in jeder Ebene Ek . 1 1 (2) Ein Normalenvektor der Ebene E ist  1  , ein Normalenvektor der Ebene Ek ist  1  . 0 k      1  1  Für alle k  IR gilt:  1    1   0 . Daher sind die beiden Normalenvektoren orthogonal 0  k      und mit ihnen die Ebenen E und Ek . 0  1  (3) Wegen  0    1   0  k  0 ist die einzige zur x1 - x2 -Ebene senkrechte Ebene Ek der 1  k      Ebenenschar die Ebene E0 : x1  x2  0 . Der gesuchte Wert des Parameters ist k  0 . 0 1 1 0      * 2  1   t   0  , t  IR , der Ebenen (4) A liegt auf der Schnittgeraden h : x  xS  t   0   1 2 0 1       * * E und E . Somit sind die erste und zweite Koordinate des Punktes A bekannt: 1 1 * * A  2| 2 | x3  . Für die dritte Koordinate von A gilt: 2 2  *  2 1  1     1 1 1 * *     x3  | A S |  | AS |  2 1  0  2 1   220 1.  0   0  2 0 2 2       Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 4 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 5 von 9 Teilaufgabe d) (1) Der Punkt A   a1 | a2 | a3  , dessen Koordinaten sämtlich positiv sind, liegt auf der Schnittgeraden der Ebene E mit der Ebene x2  1 : a1  a2  2  a2  1  a1  2  1 . Das bedeutet: A   2  1 | 1 | a3 . Weiterhin hat A vom Ursprung den Abstand | OA |  | OA |  2 [LE]:  2  1  1  2   a  3  Es ergibt sich A    2 2  1  1  a  2  a3  1  2 3 2 1 |1 | 2 2 2   2 1  2  a3  2 2  2 . [ A  0, 414 | 1 | 0,910 ] . (2) Da A und C in der zur x2 -Achse senkrechten Ebene x2  1 liegen, sind die Seiten OC und CA  des Dreiecks OCA  orthogonal. Die Kathete OC des rechtwinkligen Dreiecks OCA  hat die Länge 1 [LE], die Hypotenuse OA  die Länge | OA |  | OA |  2 [LE]. Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich für die Länge der anderen Kathete CA  : | CA |  2 2  1  1 [LE]. 2 Somit ist das Dreieck OCA  gleichschenklig rechtwinklig. [Andere Lösungswege sind denkbar.] Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 4 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 9 7. Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen 1 Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl bestimmt den Abstand des Punktes B von der Geraden OD. 8 EK 2 ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (8) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 8 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) leitet je eine Gleichung der Ebene E in Parameterform und Normalenform her. 7 2 (2) bestimmt die Koordinaten des Schnittpunktes S der Ebene E mit der Geraden OD. 4 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (11) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 2 11 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M LK HT 4 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 9 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Der Prüfling 1 (1) weist rechnerisch nach, dass die Gerade OD in jeder Ebene Ek der Ebenenschar liegt. 4 2 (2) begründet, dass die Ebene E senkrecht zu jeder Ebene Ek ist. 5 3 (3) gibt den Wert des Parameters k an, für den Ek  E ist. 3 4 * * (4) ermittelt die Koordinaten des Punktes A . EK ZK DK 6 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (18) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 18 Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt die Koordinaten des Punktes A . 7 2 (2) zeigt, dass das Dreieck OCA  gleichschenklig recht- winklig ist. 6 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (13) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe d) 13 Summe insgesamt 50 Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M LK HT 4 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 8 von 9 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der dritten bearbeiteten Aufgabe 50 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 150 EK ZK DK aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ___________ ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: _____________ Die Klausur wird abschließend mit der Note: ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum Nur für den Dienstgebrauch!