M GK HT 2 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 2 von 7 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) (1) Gemeinsamkeiten: Die Ozonkonzentration steigt in beiden Fällen vom Morgen an und erreicht am Nach- mittag ihren höchsten Stand. Danach flacht sie zum Abend hin ab. Unterschiede: Die Ozonkonzentration auf dem Land liegt ständig über dem städtischen Niveau, der höchste Wert wird mehr als eine Stunde später erreicht und die Zunahme bzw. die Ab- nahme ist geringer als in der „Stadtkurve“. (2) Ozonkonzentration um 7 Uhr: f (0)  55 μg/m 3 Ozonkonzentration um 21 Uhr: f (14)  76,16... μg/m 3 (3) Ableitungen von f: f ' (t )  0,06  (t  31,8 t  202,4 t ) 3 2 f ' ' (t )  0,06  (3 t  63,6 t  202,4) 2 Extremstellen von f: Ein hinreichendes Kriterium für eine relative Extremstelle einer mehrfach differenzier- baren Funktion f lautet f ' (t )  0  f ' ' (t )  0 . f ' (t )  0  0,06  (t  31,8 t  202,4 t )  0  t (t  31,8 t  202,4)  0 3 2 2  t  0  t  31,8 t  202,4  0  t  0  t  8,8  t  23 2 0 und 23 liegen nicht im Inneren des Definitionsbereiches. Deswegen kommt höchs- tens 8,8 als relative Extremstelle infrage. f ' ' (8,8)  0,06  ( 124,96)  0 – Relatives Maximum an der Stelle 8,8. Als einzige relative Extremstelle ist das relative Maximum zugleich absolutes Maximum. 8,8 entspricht dem Zeitpunkt 15.48 Uhr. [Alternative Lösungswege sind denkbar.] f (8,8)  181,75... . Die höchste Ozonkonzentration beträgt ungefähr 181,75 μg/m . 3 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 2 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 7 Modelllösung b) (1) Die Zeitpunkte, an denen die Ozonkonzentrationen am stärksten zu- bzw. abnehmen, werden über die Wende- bzw. Randstellen des Graphen von f ermittelt. f ''' (t )  0, 06  (6 t  63, 6) Wendestellen von f: Ein hinreichendes Kriterium für eine Wendestelle einer dreimal differenzierbaren Funktion f lautet f ' ' (t )  0  f ' ' ' (t )  0 . 202,4 f ' ' (t )  0  0,06  (3 t  63,6 t  202,4)  0  t  21,2 t  0 3 2 2  t  10,6  44,89...  t  3,89...  t  17,30... . t  17,30... >14  Die Stelle 17,30… liegt nicht im Definitionsbereich von f und spielt deswegen bei den Überlegungen keine Rolle.  Die einzig mögliche Wendestelle liegt bei t1  3,89... . f '''(t1 )  0  Wendestelle bei t1  3,89... Vergleich der Steigungen an der Wendestelle und den Randstellen: f ' (0)  0 f '(t1 )  21,9...  3,89... Stelle der größten Zunahme f ' (14)  39,3...  14 Stelle der größten Abnahme Um 10.53 Uhr (3,89… entspricht 3:53 h) nimmt die Ozonkonzentration am stärksten zu und um 21 Uhr am stärksten ab. 1 (2) 8 a8 f ( t ) d t gibt die durchschnittliche Ozonkonzentration für einen 8-Stunden-Zeitraum  a zwischen 7 und 21 Uhr in der Stadt an. (3) Es gilt: 8 1 m   f (t ) dt 80 1 101, 2 3 5 4 8   [0, 06  (0, 05 t  2, 65 t  t )  55 t ] 0 8 3  115, 416 3 ≈ 115 [μg/m ]. (4) Es gilt z. B. f (24)  262,95... . Da keine negativen Ozonwerte existieren, ist eine Erweiterung des Definitionsbereiches auf das Intervall [0; 24] nicht sinnvoll. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 2 Seite 4 von 7 Modelllösung c) (1) Mit den angegebenen Werten folgt: 180  0,25  Oh  5,5  28  40  Oh  264 . 3 Nach dem Modell müsste heute eine höchste Ozonkonzentration von 264 μg/m vorliegen. (2) Analog folgt: 265 240  0,25  60  5,5  Tm  40  Tm   48,18... . 5,5 Damit am nächsten Tag nach dem Schweizer Prognosemodell die „Alarmschwelle“ der 3 Ozonkonzentration von 240 μg/m erreicht wird, müsste die prognostizierte Tageshöchst- temperatur über 48 °C [im Schatten] liegen. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 2 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 5 von 7 6.2 Teilleistungen – Kriterien Teilaufgabe a) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) vergleicht die Graphen von f und g im Sachzusammenhang. 5 2 (2) gibt die Ozonkonzentrationen um 7 und um 21 Uhr nach dem Prognosemodell an. 2 3 (3) bestimmt den Zeitpunkt, an dem die höchste Ozonkonzentration prognostiziert wird. 9 4 (3) berechnet die höchste Ozonkonzentration. 2 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe b) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) bestimmt die Wendestelle von f. 7 2 (1) ermittelt die Zeitpunkte, an denen die Ozonkonzentration am stärksten zu- bzw. abnimmt. 5 3 (2) erklärt die Bedeutung des Ausdrucks 1 8 a8   f (t ) dt , 0  a  6 , im Sachzusammen- 4 a hang. 4 5 (3) ermittelt eine Gleichung einer Stammfunktion von f und berechnet 1 8 8   f (t )dt . 5 0 (4) begründet, dass die Fortsetzung der Funktion f auf das Intervall [0; 24] zur Prog- nose der Ozonkonzentration nicht geeignet ist. 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe c) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt, für welche heutige Ozonkonzentration nach dem Schweizer Modell 3 am nächsten Tag eine Ozonkonzentration von 180 μg/m vorausgesagt wird. 4 2 (2) untersucht, welche Tageshöchsttemperatur für den nächsten Tag prognostiziert werden müsste, damit nach dem Schweizer Prognosemodell morgen ein Erreichen der „Alarmschwelle“ möglich wäre. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 2 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 7 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) vergleicht die Graphen … 5 2 (2) gibt die Ozonkonzentrationen … 2 3 (3) bestimmt den Zeitpunkt … 9 4 (3) berechnet die höchste … 2 EK 2 ZK DK sachlich richtige Alternativen: (18) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe a) 18 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt die Wendestelle … 7 2 (1) ermittelt die Zeitpunkte … 5 3 (2) erklärt die Bedeutung … 4 4 (3) ermittelt eine Gleichung … 5 5 (4) begründet, dass die … 3 sachlich richtige Alternativen: (24) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe b) 2 24 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 2 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 7 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt, für welche … 4 2 (2) untersucht, welche Tageshöchsttemperatur … 4 EK ZK sachlich richtige Alternativen: (8) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe c) 8 Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe 2. Nur für den Dienstgebrauch! DK

M GK HT 3 Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2012 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f  x   3 x  e x 2 , x  IR . Der Graph von f ist in der Abbildung auf Seite 3 dargestellt. a) (1) Weisen Sie nach, dass der Graph von f symmetrisch zum Ursprung O ist. (2) Ermitteln Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte der Funktion f. [Zur Kontrolle: f   x   1  2 x   3e 2  x2 ] (9 Punkte) 3  x2 b) (1) Zeigen Sie, dass die Funktion F mit der Gleichung F  x    e , x  IR , eine 2 Stammfunktion der Funktion f ist.  0,5  (2) In a) (2) ergibt sich, dass der Punkt H 0,5 2 | 1,5 2 e ein Hochpunkt der Funktion f ist. Es kann vorausgesetzt werden, dass die Ursprungsgerade OH den Graphen der Funktion f im I. Quadranten nur in den Punkten O und H schneidet. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen von f und der Ursprungs- geraden OH im I. Quadranten eingeschlossen wird. (9 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 Seite 2 von 3 Name: _______________________ c) Im Punkt A 1 | f 1   bzw. im Punkt B  1 | f  1   wird jeweils die Tangente t A bzw. die Tangente t B an den Graphen von f gelegt. (1) Bestimmen Sie eine Gleichung der beiden Tangenten t A und t B . (2) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Tangenten t A und t B mit den Koordinatenachsen. [Zur Kontrolle: Die Tangente t A schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten  6 Ax  2 | 0  und Ay  0 |  .]  e Die Schnittpunkte aus c) (2) ergeben ein Viereck. (3) Erstellen Sie eine geeignete Skizze. (4) Begründen Sie, dass das genannte Viereck eine Raute ist. (5) Berechnen Sie den Flächeninhalt des genannten Vierecks. (17 Punkte) d) Es sei h : x  h  x  , x  IR , eine zweimal differenzierbare Funktion mit h  x   0 für alle x  0 und h  0   0 . Man wählt für u  0 den Punkt Pu  u | h  u   auf dem Graphen der Funktion h. Der Punkt Qu hat die Koordinaten  u | 0  , und man betrachtet das Dreieck OQu Pu , wobei O der Ursprung ist. (1) Erstellen Sie eine geeignete Skizze. 1 (2) Begründen Sie, dass das Dreieck OQu Pu den Flächeninhalt A  u   u  h  u  , u  0 , 2 besitzt. (3) Zeigen Sie: 1 Wenn uE eine Extremstelle der Funktion A mit der Gleichung A  u   u  h  u  , u  0 , 2 h  uE  ist, so gilt h  uE    . uE Zeigen sie weiter: 1 Gilt zusätzlich die Aussage h  uE   uE  h  uE   0 , so ist A  uE  ein lokales 2 Maximum der Funktion A. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 Seite 3 von 3 Name: _______________________ (4) Es sei f die auf Seite 1 definierte Funktion mit der Gleichung f  x   3x  e x 2 , x  IR . Im I. Quadranten spannen der Ursprung O und die Punkte P  a | f  a   und Q  a | 0  für a  0 ein Dreieck auf. Untersuchen Sie (z. B. mit Hilfe von d) (3)), ob ein a > 0 existiert, für das das Dreieck OQP einen maximalen Flächeninhalt besitzt. (15 Punkte) f x x Abbildung Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 3 Seite 1 von 8 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2012 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Analysis 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2012 1. Inhaltliche Schwerpunkte  Untersuchung von ganzrationalen Funktionen einschließlich Funktionenscharen und Exponentialfunktionen einschließlich notwendiger Ableitungsregeln (Produkt- und Kettenregel) in Sachzusammenhängen  Flächenberechnung durch Integration 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!