M GK HT 3 Seite 3 von 3 Name: _______________________ (4) Es sei f die auf Seite 1 definierte Funktion mit der Gleichung f  x   3x  e x 2 , x  IR . Im I. Quadranten spannen der Ursprung O und die Punkte P  a | f  a   und Q  a | 0  für a  0 ein Dreieck auf. Untersuchen Sie (z. B. mit Hilfe von d) (3)), ob ein a > 0 existiert, für das das Dreieck OQP einen maximalen Flächeninhalt besitzt. (15 Punkte) f x x Abbildung Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 3 Seite 1 von 8 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2012 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Analysis 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2012 1. Inhaltliche Schwerpunkte  Untersuchung von ganzrationalen Funktionen einschließlich Funktionenscharen und Exponentialfunktionen einschließlich notwendiger Ableitungsregeln (Produkt- und Kettenregel) in Sachzusammenhängen  Flächenberechnung durch Integration 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 2 von 8 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) (1) Wegen f   x   3   x   e   x  2  3 x  e  x2   f  x  für alle x  IR ist der Graph von f symmetrisch zum Ursprung. (2) Wegen f   x   3e  x2 Wegen f   x   6 xe    x2 f 0,5 2  1,5 2 e   1  2x 2  ist f   x   0  x  0,5   3  2 x 0,5 2 2  x  0,5 2 .  ergibt sich f   0,5 2   6 2 e 0,5  0 . Daher ist ein lokales Maximum der Funktion f. Also besitzt die Funktion f   . Da der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung ist, erhält man den zugehörigen Tiefpunkt T  0,5 2 | 1,5 2 e  . den Hochpunkt H 0,5 2 | 1,5 2 e 0,5 0,5 Modelllösung b) (1) Durch Ableiten erhält man F   x   f  x  für alle x  IR . (2) Sei AF der gesuchte Flächeninhalt. Dann gilt 0,5 2 AF   0 0,5 2 1  3  x2  0,5 f  x  dx   0,5 2  1,5 2 e    e  2  2 0 1,5  1,5 e   0,75 e 0,5 0,5  0,135 [FE]. Nur für den Dienstgebrauch!  0,75 e 0,5 =

M GK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 8 Modelllösung c) 3 3  3  (1) Man erhält die Punkte A  1 |  und B  1 |   . Wegen f  1    gilt e e  e  3 3 3 6 t A  x     x  1     x  , x  IR . Aufgrund der Punktsymmetrie des Graphen e e e e 3 6 der Funktion f zum Ursprung gilt t B  x    x  , x  IR . e e 6 (2) Wegen t A  x   0  x  2 und t A  0   schneidet die Tangente t A die Koordinaten- e  6 achsen in den Punkten Ax  2 | 0  und Ay  0 |  . Wegen der genannten Punktsymmetrie  e 6  schneidet die Tangente t B die Koordinatenachsen in den Punkten Bx  2 | 0  und By  0 |   . e  f x (3) Skizze: Ay A Bx x Ax B By (4) Aus den Koordinaten der Punkte Ax , Ay , Bx und By folgt sofort, dass das Viereck Ax Ay Bx By aus vier rechtwinkligen Dreiecken besteht, die paarweise kongruent sind. Demnach ist das Viereck Ax Ay Bx By eine Raute. (5) Für den Flächeninhalt AR der Raute Ax Ay Bx By erhält man wegen der geometrischen 1 6 24  8,83 [FE]. Überlegung aus c) (4) AR  4   2   2 e e Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 4 von 8 Modelllösung d) (1) Mögliche Skizze: h( x ) Pu x Qu u (2) Das genannte Dreieck ist rechtwinklig mit den Kathetenlängen u und h  u  . Hieraus folgt unmittelbar die Aussage aus der Aufgabenstellung. 1 (3) Es gilt A  u    h  u   u  h  u   . Wegen der notwendigen Bedingung für Extrem- 2 h  uE  . stellen gilt A   uE   0 . Dieses ist wegen uE  0 äquivalent zu h  uE    uE Damit ist die erste Behauptung bewiesen. 1 Es gilt A  u   h  u   u  h  u  . Da die Aufgabenstellung A   uE   0 impliziert, folgt 2 die zweite Behauptung mit Hilfe eines hinreichenden Kriteriums für lokale Maxima. (4) Man wendet d) (3) an. [Alternative Lösungswege sind auch möglich.] Nach der ersten f  aE  Behauptung aus d) (3) lautet eine notwendige Bedingung   f   aE  , d. h. aE 3e  aE 2  3e  aE 2 1  2a  und somit 1  1  2a 2 E E 2 . Hieraus folgt ( a  0 ) aE  1 . Nun wendet man die zweite Behauptung aus d) (3) an: 1 1 Wegen f  1    1  f  1   6e  0 besitzt das Dreieck OQP für aE  1 einen lokalen 2 maximalen Flächeninhalt. Da aE  1 die einzige Extremstelle der Funktion A (vgl. d) (3)) ist, ist der lokale maximale Flächeninhalt auch global. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 3 Seite 5 von 8 6.2 Teilleistungen – Kriterien Teilaufgabe a) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) weist die Symmetrie des Graphen der Funktion f zum Ursprung nach. 3 2 (2) ermittelt die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte der Funktion f. 6 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) zeigt, dass die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f ist. 3 2 (2) berechnet den Inhalt der in der Aufgabenstellung beschriebenen Fläche. 6 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe c) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) bestimmt eine Gleichung der Tangenten t A und t B . 5 2 (2) berechnet die Koordinaten der Schnittpunkte von t A und t B mit den Koordinaten- achsen. 4 3 (3) erstellt eine geeignete Skizze. 3 4 (4) begründet, dass das genannte Viereck eine Raute ist. 3 5 (5) berechnet den Flächeninhalt des genannten Vierecks. 2 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 3 Seite 6 von 8 Teilaufgabe d) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) erstellt eine geeignete Skizze. 2 2 (2) begründet die Aussage aus der Aufgabenstellung. 2 3 (3) zeigt die erste Aussage aus der Aufgabenstellung. 4 4 (3) zeigt die zweite Aussage aus der Aufgabenstellung. 3 5 (4) untersucht, ob ein a > 0 existiert, für das das Dreieck OQP einen maximalen Flächeninhalt besitzt. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 8 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) weist die Symmetrie … 3 2 (2) ermittelt die Koordinaten … 6 EK 2 ZK DK sachlich richtige Alternativen: (9) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe a) 9 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) zeigt, dass die … 3 2 (2) berechnet den Inhalt … 6 sachlich richtige Alternativen: (9) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe b) 2 9 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 8 von 8 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt eine Gleichung … 5 2 (2) berechnet die Koordinaten … 4 3 (3) erstellt eine geeignete … 3 4 (4) begründet, dass das … 3 5 (5) berechnet den Flächeninhalt … 2 EK ZK DK sachlich richtige Alternativen: (17) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe c) 17 Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) erstellt eine geeignete … 2 2 (2) begründet die Aussage … 2 3 (3) zeigt die erste … 4 4 (3) zeigt die zweite … 3 5 (4) untersucht, ob ein … 4 EK ZK sachlich richtige Alternativen: (15) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe d) 15 Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe 2. Nur für den Dienstgebrauch! DK

M GK HT 4 Seite 1 von 4 Name: _______________________ Abiturprüfung 2012 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: Bei der Kunstausstellung „Licht und Schatten“ ist in der Mitte der Ausstellungshalle eine gerade, 1 m hohe Pyramide mit quadratischer Grundfläche von 1 m Seitenlänge ausgestellt. Die Grundfläche der Pyramide befindet sich (gehalten von vier Stützen) einen Meter über dem Boden der Halle. Die quaderförmige Halle selbst ist 5 m hoch und hat eine quadrati- sche Grundfläche von 9 m Seitenlänge. In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung in einer Hallenecke und entlang der Hallenkanten verlaufenden Koordinatenachsen hat die Grundfläche der Pyramide die Eck- punkte A(5 | 4 | 1) , B(5 | 5 | 1) , C (4 | 5 | 1) und D(4 | 4 | 1) . Die Gegebenheiten sind in der Abbildung 1 auf Seite 3 dargestellt. a) (1) Zeigen Sie, dass die Pyramidenspitze die Koordinaten S(4,5 | 4,5 | 2) hat. (2) Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks ABS. (3) Bestimmen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt der Pyramide. (14 Punkte) b) Die Pyramide wird von einer an der rechten Hallenwand in der Position L  4,5 | 9 | 1  befestigten punktförmigen Lichtquelle angestrahlt (siehe Abbildung 1). Der Pyramiden- schatten auf der gegenüberliegenden Hallenwand  y  0  hat die Form eines Dreiecks. Ermitteln Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Schattendreiecks. Zeigen Sie, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, und berechnen Sie seinen Flächen- inhalt. (12 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!