M GK HT 5 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 2 von 8 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a)   2  2       (1) Aus AB    2  und AC    2  ergibt sich AB  AC  0 .  0  0     Damit ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei A, da das Skalarprodukt der beiden obigen Vektoren gleich 0 ist. Beide Vektoren sind gleich lang mit der Länge 8 ; damit ist das Dreieck auch gleichschenklig. (2) Berechnung der Ortsvektoren der Bildpunkte:   0,6 0,8 0   3    1,8         0,8 0,6 0    0    2,4        0 0 1 2  2    0,6 0,8 0   1   2,2        0,8 0,6 0   2   0, 4        0      0 1  2   2     0,6 0,8 0   5    4,6         0,8 0,6 0     2    2,8  .       0 0 1 2 2         0,4    2,8        Aus A' B'    2,8  und A' C '   0,4  ergibt sich A ' B '  A ' C '  0 .  0   0      Damit ist auch das Bilddreieck rechtwinklig. Beide Vektoren sind gleich lang mit der Länge 8 ; damit ist auch das Bilddreieck gleichschenklig. [Die beiden Dreiecke sind sogar kongruent.] (3) Die Dreiecke ABC sowie A’B’C’ liegen in einer Ebene parallel zur x1x2-Ebene mit der Gleichung x3  2 . [Alternative Formulierungen sind hier vorstellbar.] Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 5 Seite 3 von 8 Modelllösung b) (1) Setzt man die Koordinaten des Ursprungs O(0 ; 0 ; 0) in die Gleichung der Ebene E ein, so ist die Gleichung erfüllt. Damit verläuft E durch den Ursprung. (2) Ein Vergleich der dritten Komponenten der Vektoren zeigt, dass die Vektoren nicht kollinear sind. Da die Ebene E durch den Ursprung verläuft, sind die beiden Vektoren genau dann Richtungsvektoren von E, wenn ihre Komponenten die Ebenengleichung erfüllen. Dieser Sachverhalt ist gegeben.   0,6 0,8 0   0   0        (3)  0,8 0,6 0    0    0        0 0 1 1 1    0,6 0,8 0   1   1         0,8 0,6 0    2    2        0 0 1 0 0  Beide Richtungsvektoren von E werden durch f auf sich selbst abgebildet.   (4) Da sich die Ortsvektoren aller Punkte von E als Linearkombinationen von v1 und v2 schreiben lassen und die Abbildung f durch eine Matrix gegeben ist, werden alle Punkte von E durch f auf sich selbst abgebildet. [Alternative: Die Gleichung der Ebene E wird mit Hilfe von b) (2) in Parameterform angegeben. Dann folgt durch eine Rechnung, dass f die Ebene E auf sich selbst abbildet.] Modelllösung c)  0,6 0,8 0   3  2a   1  2a   1   2             (1)  0,8 0,6 0    1  a    3  a   g : x   3   a   1  , a  IR .  0          0 1 4 4 4 0           Die betrachteten Richtungsvektoren von g und g sind Vielfache voneinander. Damit verlaufen g und g’ parallel. Setzt man a  2 in der Gleichung der Geraden g ein, so ergibt sich, dass der Punkt P(3 ; 1 ; 4) auf der Geraden g liegt. Da P offensichtlich auf der Geraden g liegt, gilt g  g . Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 5 Seite 4 von 8  p1  2      (2) Jede zu g parallele Gerade h hat die Gleichung x   p2   a   1  , a  IR . p  0  3   Nun gilt  0,6 0,8 0   p1  2a   0,6 p1  1,2a  0,8 p2  0,8a   0,6 p1  0,8 p2  2a           f  x    0,8 0,6 0    p2  a    0,8 p1  1,6a  0,6 p2  0,6a    0,8 p1  0,6 p2  a   0        0 1   p3   p3 p3      0,6 p1  0,8 p2   2       Die Gerade h hat somit die Gleichung x   0,8 p1  0,6 p2   a   1  , a  IR .     p3   0 Damit verlaufen h und h parallel. Setzt man a  0,8 p1  0, 4 p2 in der Gleichung von h ein, so erhält man den Stütz-  p1    vektor  p2  der Geraden h. Damit sind h und h gleich. p   3 [Alternative Lösungen sind hier vorstellbar.] Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 5 Seite 5 von 8 6.2 Teilleistungen – Kriterien Teilaufgabe a) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) zeigt, dass das Dreieck ABC rechtwinklig und gleichschenklig ist. 7 2 (2) berechnet die Koordinaten der Bildpunkte A  , B , C  . 3 3 (2) untersucht das Bilddreieck A BC  auf Rechtwinkligkeit und Gleichschenkligkeit. 7 4 (3) prüft, ob die Dreiecke ABC sowie A BC  eine besondere Lage einnehmen. 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe b) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 2 (1) begründet, dass die Ebene E durch den Ursprung verläuft.   (2) zeigt, dass v1 und v2 zwei nicht kollineare Richtungsvektoren von E sind. 4 3   (3) bestimmt f  v1  und f  v 2  . 6 4 (4) weist nach, dass jeder Punkt der Ebene E durch die Abbildung f auf sich selbst abgebildet wird. 4 1 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe c) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) bestimmt das Bild g von g. 4 2 (1) untersucht die Lagebeziehung von g und g . 4 3 (2) zeigt, dass h und h parallel sind. 3 4 (2) zeigt, dass h  h gilt. 2 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 5 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 8 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) zeigt, dass das … 7 2 (2) berechnet die Koordinaten … 3 3 (2) untersucht das Bilddreieck … 7 4 (3) prüft, ob die … 3 EK 2 ZK DK sachlich richtige Alternativen: (20) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe a) 20 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) begründet, dass die … 3 2  (2) zeigt, dass v1 … 4 3  (3) bestimmt f  v1  und … 6 4 (4) weist nach, dass … 4 sachlich richtige Alternativen: (17) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe b) 2 17 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 5 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 8 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt das Bild … 4 2 (1) untersucht die Lagebeziehung … 4 3 (2) zeigt, dass h … 3 4 (2) zeigt, dass h  h … 2 EK ZK DK sachlich richtige Alternativen: (13) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe c) 13 Summe insgesamt 50 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 100 EK ZK DK aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ___________ ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: _____________ Die Klausur wird abschließend mit der Note: ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 5 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 8 von 8 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus 15 100 – 95 sehr gut 14 94 – 90 sehr gut minus 13 89 – 85 gut plus 12 84 – 80 gut 11 79 – 75 gut minus 10 74 – 70 befriedigend plus 9 69 – 65 befriedigend 8 64 – 60 befriedigend minus 7 59 – 55 ausreichend plus 6 54 – 50 ausreichend 5 49 – 45 ausreichend minus 4 44 – 39 mangelhaft plus 3 38 – 33 mangelhaft 2 32 – 27 mangelhaft minus 1 26 – 20 ungenügend 0 19 – 0 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 6 Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2012 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: Ein Reisebüro pflegt eine Datei mit Adressen von 4400 langjährigen Stammkunden, die ihren Urlaub über dieses Reisebüro buchen. Zum Ende eines jeden Jahres untersucht die Geschäfts- leitung das Buchungsverhalten der Kunden im Hinblick auf die Anzahl der Urlaube, die die Kunden im abgelaufenen Jahr bei dem Reisebüro gebucht haben. Dabei wird unterschieden zwischen den Kunden, die im abgelaufenen Jahr genau einen Urlaub bei dem Reisebüro gebucht haben (Kundengruppe E), Kunden, die im abgelaufenen Jahr mehr als einen Urlaub bei dem Reisebüro gebucht haben (Kundengruppe M), und Kunden, die im abgelaufenen Jahr keinen Urlaub bei dem Reisebüro gebucht haben (Kundengruppe K). Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass sich die Stammkundschaft mit der Zeit nicht ändert. a) Die Geschäftsleitung hat festgestellt, dass das Buchungsverhalten der Stammkunden während eines Jahres vom Buchungsverhalten im vorangegangenen Jahr abhängt. So wurde in früheren Jahren von folgendem Buchungsverhalten der Stammkunden bei dem Reisebüro ausgegangen:    Von den Kunden der Gruppe E eines Jahres buchen im folgenden Jahr 75 % ebenfalls genau einen Urlaub; 10 % der Gruppe buchen mehr als einen Urlaub und 15 % keinen Urlaub. Von den Kunden, die in einem Jahr mehr als einen Urlaub gebucht haben, buchen 60 % im Folgejahr ebenfalls mehr als einen Urlaub, 20 % buchen genau einen Urlaub und 20 % buchen keinen Urlaub. 57 % der Kunden der Gruppe K buchen bei dem Reisebüro im nächsten Jahr genau einen Urlaub, 28 % sogar mehr als einen Urlaub, während 15 % auch im Folgejahr keinen Urlaub bei dem Reisebüro buchen. Stellen Sie dieses Buchungsverhalten durch ein Übergangsdiagramm dar und bestimmen Sie eine Übergangsmatrix, die dieses Verhalten beschreibt. (12 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 6 Seite 2 von 3 Name: _______________________ b) Aufgrund einer Änderung des Urlaubsverhaltens gilt aktuell die folgende Übergangs- matrix A: von: nach: E M K E M K  0,8 0,2 0,6    A   0,1 0,6 0,3   0,1 0,2 0,1    (1) Geben Sie drei Änderungen im Buchungsverhalten an, die gegenüber den früheren Jahren erkennbar sind. Im Jahr 2011 buchten 2624 Kunden genau einen Urlaub, 1206 Kunden buchten mehr als einen Urlaub, während 570 Kunden keine Buchung bei dem Reisebüro durchführten. (2) Bestimmen Sie unter den Übergangsbedingungen, die durch die Matrix A gegeben sind, die zu erwartende Verteilung für das Jahr 2012. (3) Bestimmen Sie unter den Übergangsbedingungen, die durch die Matrix A gegeben sind, die Verteilung für das Jahr 2010. (16 Punkte) c) Die Geschäftsleitung strebt aus Gründen der Planungssicherheit an, dass die Anzahl der Kunden der einzelnen Gruppen E, M und K von Jahr zu Jahr gleich bleibt. Zeigen Sie durch Berechnung, dass es bei dem durch die Matrix A beschriebenen Buchungsverhalten eine Verteilung der Kunden des Reisebüros auf die Gruppen E, M und K so gibt, dass die Anzahl der Kunden der einzelnen Gruppen E, M und K von Jahr zu Jahr gleich bleibt. (11 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 6 Seite 3 von 3 Name: _______________________ d) Durch gezielte Werbemaßnahmen wird während des Jahres 2012 das Buchungsverhalten der Kunden der Gruppe K so beeinflusst, dass von diesem Jahr an jeweils gegenüber dem vorangegangenen Jahr nur noch 5 % der Kunden der Gruppe K keinen Urlaub buchen. Dabei wird das Buchungsverhalten der Kunden der beiden anderen Kundengruppen E und M nicht beeinflusst. Es wird weiterhin von einer konstanten Anzahl von Stamm- kunden ausgegangen. (1) Erklären Sie, dass das Buchungsverhalten dann durch eine Matrix q   0,8 0,2   Β   0,1 0,6 0,95  q  mit 0  q  0,95 beschrieben werden kann.  0,1 0,2  0,05   (2) Gehen Sie von den in Teilaufgabe b) für das Jahr 2011 angegebenen Buchungen aus und ermitteln Sie den Wert von q für den Fall, dass sich am Ende des Jahres 2012 herausstellt, dass 2699 Kunden im Jahr 2012 genau einen Urlaub gebucht haben. (11 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!