Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 3 Seite 1 von 7 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2012 Mathematik, Leistungskurs 1. Aufgabenart Analysis 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2012 1. Inhaltliche Schwerpunkte  Untersuchung von ganzrationalen Funktionen, Exponentialfunktionen einschließlich Funktionenscharen und Logarithmusfunktionen sowie notwendiger Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel) in Sachzusammenhängen  Integrationsregeln (partielle Integration, Substitution)  Flächenberechnung durch Integration 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 2 von 7 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) (1) Nullstellen: Offensichtlich ist x0  0 einzige Nullstelle der Funktion fa . Extrempunkte: 1 ax x ax  ax  1 Es gilt fa  x   e  a e  e   x  . a a a  1 1 Nun ist fa  x E   0   x E  0  x E   . a a Wegen e  0 für alle x  IR besitzt fa in x E einen Vorzeichenwechsel von „minus“ ax nach „plus“. Demnach ist fa  x E   a e 2 1 ein lokales Minimum der Funktion fa .  2 1 Insgesamt gesehen ist der lokale Tiefpunkt Ta  | a e 1 a  einziger Extrempunkt der Funktion fa . Wendepunkte: 1   ax ax Es gilt fa x   e    x  a e  e  2  ax  . a  ax 2 Man erhält fa xw   0  2  axw  0  xw   . a Wegen e  0 für alle x  IR besitzt fa in xw einen Vorzeichenwechsel. ax  2 2 2  Damit ist Wa   | 2a e  einziger Wendepunkt der Funktion fa .  a   1 2 1  (2) Aus a) (1) ergibt sich: Ta   |  a e  ist ein lokaler Tiefpunkt der Funktion fa ,  a  1 wobei x E   einzige Lösung der Gleichung fa  x   0 ist. Demnach ist Ta ein a globaler Tiefpunkt. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 7 Modelllösung b) (1) l  a  ist der Abstand der Punkte Ta und Wa . Daher ergibt sich l  a 2 2  1 2 2 1 2 2        a e  2a e  a a   2 2 1 1 1 2  1 k  2 4  2  2 4 a a e e  a a mit k   e  2  e . 2 4 (2) Es sei q  a    l  a   für alle a  IR . Nach dem Hinweis in der Aufgabenstellung ist 2  l  a  genau dann extremal, wenn q  a  extremal ist. Es gilt lim q  a    und a0 lim q  a   0 . Demnach kann l  a  nicht extremal werden. a Modelllösung c) (1) Mit Hilfe partieller Integration erhält man x ax x 1 ax 1 1 ax 1 1 ax 1 ax  1 ax  e dx    e    e dx  x e  e  c  e x   c .   2 3 2 a  a a a a a a a a  fa ( x ) (2) xu x Man betrachtet eine Parallele k zur y-Achse mit der Gleichung x  u , wobei u  0 gilt. I a  u  sei der Inhalt der Fläche, die im III. Quadranten von dem Graphen der Funktion fa , der Geraden k und der x-Achse eingeschlossen wird. Mit Hilfe von c) (1) ergibt sich u u 1  1 au  1 1  1 ax  I a  u    fa  x  dx   2 e  x     2 e  u    3 . a a a a a       0 0 1 au 1 au 1 Also ist I a  u    3 e  3  au  3 . a a e a au 1 au Wegen lim e  0 und lim  au  0 ergibt sich I a  lim I a  u   3 . u  u  u  e a Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 3 Seite 4 von 7 Modelllösung d) (1) Es gilt h  x   e  1 . Da die e-Funktion streng monoton steigend ist, gilt e  e  1 x x 0 für alle x  0 . Demnach ist h  x   0 für alle x  0 . Folglich ist die Funktion h im Intervall 0,  streng monoton steigend. Sei x  0 beliebig gewählt. Dann besitzt die Funktion h auf dem abgeschlossenen Intervall  0, x  ein absolutes Minimum m. Wegen des zuvor gezeigten Monotonie- verhaltens der Funktion h ist m  h  0   1 . Also gilt h  x   1 . x ax (2) Es gilt: p  x   fa  x   x  e . Sicherlich ist x  0 eine Lösung. Für x  0 erhält a 2 man die Gleichung e  a x  0 . Für x  0 besitzt diese Gleichung wegen a  0 und ax e  0 keine Lösung. Für x  0 gilt e  a x  1 wegen d) (1). Insgesamt gesehen ax ax folgt die Behauptung. 6.2 Teilleistungen – Kriterien Teilaufgabe a) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) bestimmt die Nullstellen der Funktion fa in Abhängigkeit von a. 2 2 (1) berechnet die erste und zweite Ableitung der Funktion fa . 4 3 (1) bestimmt die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion fa in Abhängigkeit von a. 8 4 (2) begründet, dass der in der Aufgabenstellung genannte Punkt Ta ein globaler Tiefpunkt der Funktion fa ist. 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 3 Seite 5 von 7 Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) zeigt die Behauptung aus der Aufgabenstellung. 4 2 (2) untersucht, ob die Länge der Stecke TaWa extremal werden kann. 5 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe c) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) begründet mit Hilfe von Integrationsverfahren, dass die Funktion Fa eine Stammfunktion der Funktion fa ist. 6 2 (2) zeigt die Behauptung aus der Aufgabenstellung. 8 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe d) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) beweist die Aussage aus der Aufgabenstellung. 6 2 (2) begründet mit Hilfe von d) (1) die in der Aufgabenstellung gemachte Aussage. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 7 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt die Nullstellen … 2 2 (1) berechnet die erste … 4 3 (1) bestimmt die Koordinaten … 8 4 (2) begründet, dass der … 3 EK 2 ZK DK sachlich richtige Alternativen: (17) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe a) 17 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) zeigt die Behauptung … 4 2 (2) untersucht, ob die … 5 EK ZK DK sachlich richtige Alternativen: (9) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe b) 9 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) begründet mit Hilfe … 6 2 (2) zeigt die Behauptung … 8 sachlich richtige Alternativen: (14) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe c) 2 14 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M LK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 7 Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) beweist die Aussage … 6 2 (2) begründet mit Hilfe … 4 EK ZK sachlich richtige Alternativen: (10) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe d) 10 Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe 2. Nur für den Dienstgebrauch! DK

M LK HT 4 Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2012 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenstellung: Bei der Kunstausstellung „Licht und Schatten“ ist in der Mitte der Ausstellungshalle eine gerade, 1 m hohe Pyramide mit quadratischer Grundfläche von 1 m Seitenlänge ausgestellt. Die Grundfläche der Pyramide befindet sich (gehalten von vier Stützen) einen Meter über dem Boden der Halle. Die quaderförmige Halle selbst ist 5 m hoch und hat eine quadratische Grundfläche von 9 m Seitenlänge. In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung in einer Hallenecke und entlang der Hallenkanten verlaufenden Koordinatenachsen hat die Grundfläche der Pyramide die Eck- punkte A(5 | 4 | 1) , B(5 | 5 | 1) , C (4 | 5 | 1) und D(4 | 4 | 1) . Die Gegebenheiten sind in der Abbildung auf Seite 3 dargestellt. a) (1) Zeigen Sie, dass die Pyramidenspitze die Koordinaten S(4,5 | 4,5 | 2) hat. (2) Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks ABS. (3) Bestimmen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt der Pyramide. (11 Punkte) b) Ermitteln Sie, unter welchem Winkel die Seitenfläche ABS der Pyramide gegen ihre Grundfläche ABCD geneigt ist. [Zur Kontrolle: EABS : 2 x  z  11 ] Nur für den Dienstgebrauch! (7 Punkte)

M LK HT 4 Seite 2 von 3 Name: _______________________ c) Die Pyramide wird von einer an der rechten Hallenwand  y  9  befestigten punktförmigen Lichtquelle angestrahlt (siehe Abbildung). (1) Die Lichtquelle befindet sich zuerst in der Position L1  4,5 | 9 | 1  . Der Pyramiden- schatten auf der gegenüberliegenden Hallenwand  y  0  hat die Form eines Dreiecks. Ermitteln Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Schattendreiecks. Zeigen Sie, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, und berechnen Sie seinen Flächeninhalt. (2) Die Lichtquelle wird nun in die Position L2 (5 | 9 | 1) gebracht. Beschreiben Sie ohne weitere Rechnung die Form des neuen Pyramidenschattens im Vergleich zum Schatten aus c) (1). (12 Punkte) Nachts werden die Kunstwerke in der Halle durch Laser-Lichtschranken gesichert. d) Einer der Laserstrahlen ist auf den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten des Dreiecks ABS gerichtet. (1) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten von M. [Zur Kontrolle: M  4,8 | 4,5 | 1, 4  ] (2) Der Laserstrahl trifft im Punkt M orthogonal auf die Seitenfläche ABS der Pyramide. Ermitteln Sie die Koordinaten der Position P der zugehörigen Laser-Lichtquelle an einer der Hallenwände. (13 Punkte) e) Eine zweite Laser-Lichtquelle befindet sich in der Position Q(9 | 7 | 3) . Ihr Laserstrahl ist auf den Punkt R(1 | 3 | 0) gerichtet. Zeigen Sie, dass dieser Laserstrahl die Seitenfläche BCS der Pyramide trifft. (7 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 4 Seite 3 von 3 Name: _______________________ z 1m 1m y S 1m D A x C B L2 Abbildung Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch! L1 Positionen der Lichtquelle aus c)