Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 2 Seite 6 von 8 Teilaufgabe d) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) gibt die Bedingungen an, die die Funktion h erfüllen muss. 4 2 (1) leitet aus den Bedingungen eine Gleichung der Funktion h her. 4 3 (2) bestimmt die Stelle, an der der durch den Graphen der Funktion h modellierte Aufsprunghügel die betragsmäßig größte Steigung hat. 6 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 2 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 8 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) berechnet die Höhe … 2 2 (2) berechnet die Koordinaten … 4 3 (3) prüft die Angabe … 3 4 (3) zeigt, dass dieser … 4 5 (3) erklärt, warum die … 3 EK 2 ZK DK sachlich richtige Alternativen: (16) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe a) 16 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt die globale … 8 2 (1) berechnet die y-Koordinate … 2 3 (2) berechnet den Absprungwinkel. 2 sachlich richtige Alternativen: (12) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe b) 2 12 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 2 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 8 von 8 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) gibt eine Gleichung … 3 2 (2) berechnet das Erdvolumen. 5 EK ZK DK sachlich richtige Alternativen: (8) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe c) 8 Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) gibt die Bedingungen … 4 2 (1) leitet aus den … 4 3 (2) bestimmt die Stelle … 6 EK ZK sachlich richtige Alternativen: (14) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe d) 14 Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe 2. Nur für den Dienstgebrauch! DK

M GK HT 3 Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2013 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f  x   x  3 x , x  IR . Der Graph der Funktion f wird in der Abbildung auf Seite 2 dargestellt. 3 2 a) (1) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f . (2) Berechnen Sie die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion f. (13 Punkte) b) Man betrachtet die Verschiebung, welche den Wendepunkt W  1 | 2  der Funktion f auf den Ursprung des Koordinatensystems abbildet. (1) Zeigen Sie rechnerisch: Durch die genannte Verschiebung wird der Graph der Funktion f auf den Graphen der Funktion h mit der Gleichung h  x   x  3 x , x  IR , abgebildet. 3 (2) Begründen Sie nun, dass der Graph der Funktion f punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt W  1 | 2  ist. (8 Punkte) c) (1) Die Graphen der Funktionen f und h schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt. (2) Es sei p die Parallele zur x-Achse durch den Wendepunkt W  1 | 2  der Funktion f. Bestimmen Sie (zum Beispiel mit Hilfe von b) (1)) den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion f und der Geraden p eingeschlossen wird. (14 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 Seite 2 von 3 Name: _______________________ d) Für eine beliebige positive reelle Zahl a ist die Funktion fa mit der Gleichung 3 2 fa  x   x  ax , x  IR , gegeben. Für a  3 erhält man z. B. die zuvor betrachtete Funktion f . (1) Es sei w a die Tangente im Wendepunkt Wa der Funktion fa . Ermitteln Sie eine Gleichung von w a in Abhängigkeit von a. 1 2 1 3 [Zur Kontrolle: wa  x    a x  a , x  IR ] 3 27 (2) Die Tangente w a schließt im III. Quadranten eine Fläche mit den Koordinatenachsen ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von a . (15 Punkte) x Abbildung Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 Seite 3 von 3 Name: _______________________ Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 3 Seite 1 von 7 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2013 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Analysis 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2013 1. Inhaltliche Schwerpunkte  Untersuchung von ganzrationalen Funktionen einschließlich Funktionenscharen und Exponentialfunktionen einschließlich notwendiger Ableitungsregeln (Produkt- und Kettenregel) in Sachzusammenhängen  Flächenberechnung durch Integration 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 2 von 7 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) (1) Nullstellen: f  x   0  x  3 x  0  x  x  3   0  x  0  x  3 . 3 2 2 (2) Extrempunkte: Notwendig für eine Extremstelle x E ist f   xE   0 . Es gilt f   x   3 x  6 x . Dieses impliziert: f   x   0  3 x  x  2   0  x  0  x  2 . 2 Somit sind x E1  0 und x E2  2 mögliche Extremstellen der Funktion f . Man wendet das hinreichende Kriterium für Extremstellen mit Hilfe der 2. Ableitung an: Aus f   x   6 x  6 ergibt sich f   0   6  0 und f   2   6  0 . Damit besitzt die Funktion f den Tiefpunkt T  0 | 0  und den Hochpunkt H  2 | 4  . Wendepunkte: Notwendig für eine Wendestelle xW ist f   xW   0 . Es gilt: f   x   0  x  1 . Wegen f   x   6  0 ist W  1 | 2  der einzige Wendepunkt der Funktion f . Modelllösung b) (1) Es gilt nach Aufgabenstellung h  x   f  x  1   2 für alle x  IR . Hieraus ergibt sich   h  x    x  1  3  x  1  2   x  1  x  2   2  x  2 x  1  x  2   2 = 3 2 2 2 x  2 x  x  2 x  4 x  2  2  x  3 x . Damit ist die Behauptung aus der Aufgaben- 3 2 2 3 stellung gezeigt. (2) Da in der Funktionsgleichung von h die Potenzen von x nur ungerade Exponenten be- sitzen, ist der Graph der Funktion h symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensys- tems. Nach b) (1) ist dieser Graph das Bild des Graphen der Funktion f bzgl. einer Verschiebung, durch die der Wendepunkt der Funktion f auf den Ursprung des Koordi- natensystems abgebildet wird. Insgesamt gesehen folgt die Aussage aus der Aufgaben- stellung. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 7 Modelllösung c) (1) Man berechnet zuerst die Schnittstellen der Funktionen f und h : x  3 x  x  3 x  x  x  1  0  x  0  x  1 . 3 2 3 Der gesuchte Flächeninhalt beträgt dann 1 I x   3 0 1   3 x  x  3 x dx  3   2 3 0  1   x x 1 2 x  x dx  3       FE  . 2  3 2 0 3  2 (2) Wegen b) (1) berechnet man den Inhalt A der Fläche, die von dem Graphen der Funk- tion h und der x-Achse eingeschlossen wird. Man bestimmt zuerst die Nullstellen der Funktion h : h  x   0  x  3 x  0  x  x  3   0  x  0  x  3  x   3 . 3 2 Aufgrund der Symmetrie des Graphen der Funktion h zum Ursprung des Koordinaten- systems erhält man für den gesuchten Flächeninhalt: 3 A  2 x   0 3   3 x dx  2  0,25 x  1,5 x   2  2,25  4,5  FE  . 0 4 2 3 [Alternative Lösungswege, z. B. mit Hilfe einer Polynomdivision, sind denkbar.] Modelllösung d) (1) Bestimmung der Koordinaten des Wendepunktes Wa der Funktion fa : Notwendig für eine Wendestelle xa der Funktion fa ist fa  xa   0 . 2  Es gilt fa  x   3 x  2ax und somit fa  x   6 x  2a . Nun folgt: a 3 a 2 3 a 2   fa  xa   0  xa   . Wegen fa  x   6  0 und fa   3   27 a ist Wa   3 | 27 a  3 einziger Wendepunkt der Funktion fa . Bestimmung einer Gleichung der Wendetangente wa : a  Die Steigung von wa ist fa   3   3     2 a 3  2  a   a 3  1 3 Steigungsform von Geradengleichungen“ erhält man wa ( x )  Dieses impliziert wa  x    a x  1 3 2 1 27 a , x  IR . 3 Nur für den Dienstgebrauch! 2 a . Nach der „Punkt- 2 27 a   a x  3 1 3 2 a 3 .

M GK HT 3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 4 von 7 (2) Offensichtlich schneidet die Wendetangente wa die y-Achse im Punkt Pa  0 |  wa schneide die x-Achse im Punkt Qa  xa | 0  , d. h., 0   a xa  1 3 2 1 27 1 27 3  a . 3 a . Diese lineare Gleichung hat die Lösung xa   a . 1 9 Es sei O der Ursprung des Koordinatensystems. Dann ist nach Aufgabenstellung der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks Qa PaO zu bestimmen. Das genannte Dreieck hat wegen a  0 den Flächeninhalt F   a  a  1 2 1 9 1 27 3 1 486 4 a . 6.2 Teilleistungen – Kriterien Teilaufgabe a) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) berechnet die Nullstellen der Funktion f. 3 2 (2) berechnet die Koordinaten der Extrempunkte der Funktion f. 6 3 (2) berechnet die Koordinaten der Wendepunkte der Funktion f. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) zeigt rechnerisch die Aussage aus der Aufgabenstellung. 5 2 (2) begründet die Aussage aus der Aufgabenstellung. 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!